2024屆四川省大數(shù)據(jù)學(xué)考聯(lián)盟高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2四川省大數(shù)據(jù)學(xué)考聯(lián)盟2024屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.2.已知集合，則集合的子集有（）個A.3 B.4 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗，故集合的子集有個.故選：D.3.有一組樣本數(shù)據(jù)，其樣本平均數(shù)為,現(xiàn)加入一個數(shù)據(jù)，組成新的一組樣本數(shù)據(jù)，與原數(shù)據(jù)相比，關(guān)于新的樣本數(shù)據(jù)下列說法一定錯誤的是（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.眾數(shù)不變 D.極差不變〖答案〗A〖解析〗對A，因為加入一個數(shù)據(jù)，故平均數(shù)一定變大，故A錯誤；對B，如樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，中位數(shù)為2，平均數(shù)為2，加入一個新數(shù)據(jù)3后，中位數(shù)仍為2，故中位數(shù)可能不變，故B正確；對C，眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多次的數(shù)據(jù)，故加入一個數(shù)據(jù)后，眾數(shù)可能不變，故C正確；對D，加入后整組數(shù)據(jù)最大最小值的差不一定改變，即極差可能不變，故D正確.故選：A.4.若為第二象限角且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為為第二象限角且，所以，所以，所以.故選：A.5.若，滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，滿足約束條件，則可行域如下圖所示：由，解得，則，令，則，平移直線，可知當(dāng)直線在軸上的截距最小時，取得最小值，由圖可知當(dāng)過點直線在軸上的截距最小，則，即的最小值為.故選：C6.若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為243，則展開式中項的系數(shù)為（）A.40 B.60 C.80 D.160〖答案〗A〖解析〗令，可得，則，所以的展開式的通項為，令，可得.所以展開式中項的系數(shù)為40.故選：A.7.將函數(shù)圖象上各點橫坐標縮短到原來的，再向右平移個單位得到曲線．若曲線的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)的一條對稱軸可以為（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗將函數(shù)圖象上各點橫坐標縮短到原來的得到，再將向右平移個單位得到，又曲線的圖象關(guān)于原點對稱，所以，解得，又，所以當(dāng)時，所以函數(shù)即，令，，解得，，即函數(shù)的對稱軸為，，所以函數(shù)的一條對稱軸可以為.故選：B.8.已知函數(shù)，，在同一平面直角坐標系的圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為圖象過，故由圖象可得，又圖象過，故由圖象可得，又圖象過，故由圖象可得.故，，，故.故選：B9.已知為坐標原點，點為拋物線的焦點，點，直線交拋物線于，兩點（不與點重合），則以下說法正確的是（）A. B.存在實數(shù)，使得C.若，則 D.若直線與的傾斜角互補，則〖答案〗D〖解析〗由題意可知，拋物線焦點為，準線方程為，又直線恒過，如下圖所示：設(shè)，作垂直于準線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可知，，易知，所以，但當(dāng)時，此時與坐標原點重合，直線與拋物線僅有一個交點，因此，所以，即A錯誤；聯(lián)立直線和拋物線，消元、理得，由，所以，則，此時，所以，即，所以不存在實數(shù)，使得，故B錯誤；若，由幾何關(guān)系可得，結(jié)合，可得或，即或，將點坐標代入直線方程可得，所以C錯誤；若直線與的傾斜角互補，則，即，整理得，代入，解得或，當(dāng)時，直線過點，與點重合，不符合題意，所以；即D正確.故選：D.10.為了深化教育改革，堅持“五育并舉”融合育人．某學(xué)校準備組建書法、音樂、美術(shù)、體育4個不同的社團．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)分配到這4個社團進行培訓(xùn)，每名同學(xué)只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學(xué)，且甲乙兩名同學(xué)不能在同一個社團培訓(xùn)，則不同的分配方案共有（）A.192種 B.216種 C.240種 D.432種〖答案〗B〖解析〗由題意可得，將5名同學(xué)分配到這4個社團進行培訓(xùn)每名同學(xué)只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學(xué)，則不同的分配方案共有種，當(dāng)甲乙兩名同學(xué)在同一個社團培訓(xùn)，則不同的分配方案有種，綜上可得，不同的分配方案共有種.故選：B11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，對任意的，都有成立，且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，因為對任意的，都有成立，所以，所以函數(shù)的周期為4，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示：若在區(qū)間內(nèi)方程有5個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個交點，顯然，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D．12.如圖，在棱長為1的正方體中，點是該正方體對角線上的動點，給出下列三個結(jié)論：①；②點到直線的距離的最小值是；③當(dāng)時，三棱錐外接球的表面積為．其中所有結(jié)論正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因為在正方體中，，所以平面，因為平面，所以，故①正確；設(shè)，連接，因為平面，所以，即為到直線的距離，當(dāng)時，最小，此時，，故②正確；三棱錐外接球主視圖如圖所示，，，關(guān)于直徑的對稱點為，，設(shè)，則即，解得，故，所以，故③錯誤；故選：C二、填空題13.平面向量，滿足，，且，則的值為______．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，又，所以，解得.故〖答案〗為：14.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______．〖答案〗〖解析〗，，，故函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故〖答案〗為：15.在中，，，延長到點，使得，，則的長為______．〖答案〗〖解析〗在中，，，延長到點，使得，，在由正弦定理得，可得，又，所以或，若，則，則，在中，由正弦定理得，即，所以．若，則，則，不符合題意，故舍去；綜上可得．故〖答案〗為：．16.已知雙曲線的右焦點到它的一條漸近線的距離為，過雙曲線上一點作雙曲線的一條切線交其漸近線于兩點，若兩點的橫坐標之積為4，則雙曲線的標準方程為__________．〖答案〗〖解析〗雙曲線漸近線的方程為：，因為右焦點到漸近線的距離為，所以，即.設(shè)，則過點的切線方程為：，聯(lián)立得：，化簡可得：，解得：，，即，因為在雙曲線上，滿足，即，所以，解得，所以雙曲線方程為：.故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.已知為等差數(shù)列，公差，且、、成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，證明：．（1）解：依題意，，又、、成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.（2）證明：由（1）可得，所以.18.如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為，所以點四點共面，又四邊形為菱形，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因為，，所以，又因為，所以平面，設(shè)交于，則以為軸，為軸，過點且平行于的方向為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,因為，四邊形為菱形，，則，所以有，則，不妨設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19.甲、乙兩醫(yī)院到某醫(yī)科大學(xué)實施“小小醫(yī)生計劃”，即通過對畢業(yè)生進行筆試，面試，模擬診斷這3項程序后直接簽約一批畢業(yè)生．已知3項程序分別由3個部門獨立依次考核，且互不影響，當(dāng)3項程序全部通過即可簽約．假設(shè)該?？谇会t(yī)學(xué)系170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”的具體情況如下表（不存在通過3項程序考核后放棄簽約的現(xiàn)象）．性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計男生582785女生424385合計10070170該?？谇会t(yī)學(xué)系的小華準備參加兩醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”，小華通過甲醫(yī)院的每項程序的概率均為，通過乙醫(yī)院的每項程序的概率依次為，，，其中．（1）判斷是否有的把握認為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”能否簽約與性別有關(guān)；（2）若小華通過甲、乙兩醫(yī)院程序的項數(shù)分別記為X，Y．當(dāng)時，求小華參加乙醫(yī)院考核并能成功簽約的概率．參考公式與臨界值表：，．0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635解：（1）因為，且，所以有把握認為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”能否簽約與性別有關(guān)；（2）因為小華通過甲醫(yī)院各程序結(jié)果相互不影響，所以，則，的可能取值為0，1，2，3.，，，，隨機變量Y的分布列：Y0123P，因為，所以，即，小華參加乙醫(yī)院考核并能成功簽約的概率為.20.已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．點在直線上運動，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．（1）求的方程；（2）若點A、B在橢圓上，為坐標原點，且，求面積的最小值．解：（1）設(shè)，所以，由直線的斜率與直線的斜率之商為2，可得，所以，又離心率，所以，則，所以的標準方程為.（2）當(dāng)直線，直線其中一條直線斜率不存在時，不妨令，此時面積為；當(dāng)直線，直線的斜率均存在時，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點，聯(lián)立方程可得，所以，聯(lián)立方程，可得，所以，所以，因為，又，所以，又，所以面積的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)，時，求證：．（1）解：，，在上單調(diào)遞減，的最小值為.（2）證明：令，則.在上單調(diào)遞減，，又，，，又由（1）知，，.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線的極坐標方程為（為參數(shù)），它與曲線分別相交于，兩點，若，求．解：（1）曲線的極坐標方程為，又，，即，曲線的直角坐標方程為；（2）聯(lián)立，可得，由，則，設(shè)，兩點對應(yīng)的極徑分別為，，則，，，，，，又，又由（1）的直角坐標方程可知的終邊只可能在第一或二象限，或，或．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時，解不等式；（2）若，，，且函數(shù)的最小值為4，證明：．（1）解：當(dāng)，時，所以不等式，即或或，解得或或，綜上可得不等式的解集為.（2）證明：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、時等號成立，所以.四川省大數(shù)據(jù)學(xué)考聯(lián)盟2024屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.2.已知集合，則集合的子集有（）個A.3 B.4 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗，故集合的子集有個.故選：D.3.有一組樣本數(shù)據(jù)，其樣本平均數(shù)為,現(xiàn)加入一個數(shù)據(jù)，組成新的一組樣本數(shù)據(jù)，與原數(shù)據(jù)相比，關(guān)于新的樣本數(shù)據(jù)下列說法一定錯誤的是（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.眾數(shù)不變 D.極差不變〖答案〗A〖解析〗對A，因為加入一個數(shù)據(jù)，故平均數(shù)一定變大，故A錯誤；對B，如樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，中位數(shù)為2，平均數(shù)為2，加入一個新數(shù)據(jù)3后，中位數(shù)仍為2，故中位數(shù)可能不變，故B正確；對C，眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多次的數(shù)據(jù)，故加入一個數(shù)據(jù)后，眾數(shù)可能不變，故C正確；對D，加入后整組數(shù)據(jù)最大最小值的差不一定改變，即極差可能不變，故D正確.故選：A.4.若為第二象限角且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為為第二象限角且，所以，所以，所以.故選：A.5.若，滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，滿足約束條件，則可行域如下圖所示：由，解得，則，令，則，平移直線，可知當(dāng)直線在軸上的截距最小時，取得最小值，由圖可知當(dāng)過點直線在軸上的截距最小，則，即的最小值為.故選：C6.若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為243，則展開式中項的系數(shù)為（）A.40 B.60 C.80 D.160〖答案〗A〖解析〗令，可得，則，所以的展開式的通項為，令，可得.所以展開式中項的系數(shù)為40.故選：A.7.將函數(shù)圖象上各點橫坐標縮短到原來的，再向右平移個單位得到曲線．若曲線的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)的一條對稱軸可以為（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗將函數(shù)圖象上各點橫坐標縮短到原來的得到，再將向右平移個單位得到，又曲線的圖象關(guān)于原點對稱，所以，解得，又，所以當(dāng)時，所以函數(shù)即，令，，解得，，即函數(shù)的對稱軸為，，所以函數(shù)的一條對稱軸可以為.故選：B.8.已知函數(shù)，，在同一平面直角坐標系的圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為圖象過，故由圖象可得，又圖象過，故由圖象可得，又圖象過，故由圖象可得.故，，，故.故選：B9.已知為坐標原點，點為拋物線的焦點，點，直線交拋物線于，兩點（不與點重合），則以下說法正確的是（）A. B.存在實數(shù)，使得C.若，則 D.若直線與的傾斜角互補，則〖答案〗D〖解析〗由題意可知，拋物線焦點為，準線方程為，又直線恒過，如下圖所示：設(shè)，作垂直于準線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可知，，易知，所以，但當(dāng)時，此時與坐標原點重合，直線與拋物線僅有一個交點，因此，所以，即A錯誤；聯(lián)立直線和拋物線，消元、理得，由，所以，則，此時，所以，即，所以不存在實數(shù)，使得，故B錯誤；若，由幾何關(guān)系可得，結(jié)合，可得或，即或，將點坐標代入直線方程可得，所以C錯誤；若直線與的傾斜角互補，則，即，整理得，代入，解得或，當(dāng)時，直線過點，與點重合，不符合題意，所以；即D正確.故選：D.10.為了深化教育改革，堅持“五育并舉”融合育人．某學(xué)校準備組建書法、音樂、美術(shù)、體育4個不同的社團．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)分配到這4個社團進行培訓(xùn)，每名同學(xué)只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學(xué)，且甲乙兩名同學(xué)不能在同一個社團培訓(xùn)，則不同的分配方案共有（）A.192種 B.216種 C.240種 D.432種〖答案〗B〖解析〗由題意可得，將5名同學(xué)分配到這4個社團進行培訓(xùn)每名同學(xué)只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學(xué)，則不同的分配方案共有種，當(dāng)甲乙兩名同學(xué)在同一個社團培訓(xùn)，則不同的分配方案有種，綜上可得，不同的分配方案共有種.故選：B11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，對任意的，都有成立，且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，因為對任意的，都有成立，所以，所以函數(shù)的周期為4，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示：若在區(qū)間內(nèi)方程有5個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個交點，顯然，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D．12.如圖，在棱長為1的正方體中，點是該正方體對角線上的動點，給出下列三個結(jié)論：①；②點到直線的距離的最小值是；③當(dāng)時，三棱錐外接球的表面積為．其中所有結(jié)論正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因為在正方體中，，所以平面，因為平面，所以，故①正確；設(shè)，連接，因為平面，所以，即為到直線的距離，當(dāng)時，最小，此時，，故②正確；三棱錐外接球主視圖如圖所示，，，關(guān)于直徑的對稱點為，，設(shè)，則即，解得，故，所以，故③錯誤；故選：C二、填空題13.平面向量，滿足，，且，則的值為______．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，又，所以，解得.故〖答案〗為：14.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______．〖答案〗〖解析〗，，，故函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故〖答案〗為：15.在中，，，延長到點，使得，，則的長為______．〖答案〗〖解析〗在中，，，延長到點，使得，，在由正弦定理得，可得，又，所以或，若，則，則，在中，由正弦定理得，即，所以．若，則，則，不符合題意，故舍去；綜上可得．故〖答案〗為：．16.已知雙曲線的右焦點到它的一條漸近線的距離為，過雙曲線上一點作雙曲線的一條切線交其漸近線于兩點，若兩點的橫坐標之積為4，則雙曲線的標準方程為__________．〖答案〗〖解析〗雙曲線漸近線的方程為：，因為右焦點到漸近線的距離為，所以，即.設(shè)，則過點的切線方程為：，聯(lián)立得：，化簡可得：，解得：，，即，因為在雙曲線上，滿足，即，所以，解得，所以雙曲線方程為：.故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.已知為等差數(shù)列，公差，且、、成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，證明：．（1）解：依題意，，又、、成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.（2）證明：由（1）可得，所以.18.如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為，所以點四點共面，又四邊形為菱形，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因為，，所以，又因為，所以平面，設(shè)交于，則以為軸，為軸，過點且平行于的方向為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,因為，四邊形為菱形，，則，所以有，則，不妨設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19.甲、乙兩醫(yī)院到某醫(yī)科大學(xué)實施“小小醫(yī)生計劃”，即通過對畢業(yè)生進行筆試，面試，模擬診斷這3項程序后直接簽約一批畢業(yè)生．已知3項程序分別由3個部門獨立依次考核，且互不影響，當(dāng)3項程序全部通過即可簽約．假設(shè)該校口腔醫(yī)學(xué)系170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”的具體情況如下表（不存在通過3項程序考核后放棄簽約的現(xiàn)象）．性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計男生582785女生424385合計10070170該校口腔醫(yī)學(xué)系的小華準備參加兩醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”，小華通過甲醫(yī)院的每項程序的概率均為，通過乙醫(yī)院的每項程序的概率依次為，，，其中．（1）判斷是否有的把握認為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”能否簽約與性別有關(guān)；（2）若小華通過甲、乙兩醫(yī)院程序的項數(shù)分別記為X，Y．當(dāng)時，求小華參加乙醫(yī)院考核并能成功簽約的概率．參考公式與臨界值表：，．0.1000.0500.0250.0102.706