人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第7講 勾股定理綜合復(fù)習(xí)-教案講義及練習(xí)

第七講勾股定理綜合復(fù)習(xí)

適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)

適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）120

知識(shí)點(diǎn)1、數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

2、勾股定理即逆定理的應(yīng)用

3、勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)1、掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法。

2、能運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題。

3、能利用勾股定理逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角

形。

4、通過(guò)實(shí)例了解勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力

和數(shù)字應(yīng)用能力。

教學(xué)重點(diǎn)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)勾股定理及其定理的探索過(guò)程。

教學(xué)過(guò)程

一、課堂導(dǎo)入

平地秋千未起，踏板一尺離地。

送行二步與人齊，五尺人高曾記。

仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉。

良工高士好奇，算出索長(zhǎng)有幾？

這類數(shù)字"詩(shī)題"，初看起來(lái)感覺(jué)一籌莫展，似乎無(wú)處下手，但只要細(xì)品詩(shī)

意（古時(shí)1步=5尺），畫出圖來(lái)，數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用本章所學(xué)內(nèi)容，便可柳岸花

明。

三、知識(shí)講解

考點(diǎn)1數(shù)學(xué)思想方法

應(yīng)用一：方程思想

數(shù)學(xué)思想方

法的應(yīng)用應(yīng)用二：轉(zhuǎn)化思想

應(yīng)用三：數(shù)形結(jié)合思

方程思想

方程是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為方程來(lái)求解。

方程思想在本章中的體現(xiàn):設(shè)直角三角形中某條邊，根據(jù)已知條件表示其他兩邊,

再以勾股定理為依據(jù)列方程求解。

數(shù)形結(jié)合思想

在勾股定理的探索驗(yàn)證中較多地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想勾股定理是以"形"

定"數(shù)"，直角三角形的判定是以"數(shù)"定"形"，因此，此定理有"數(shù)與形的第

一定理"的美稱。

考點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用

當(dāng)遇到含有直角三角形求邊長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，可試著應(yīng)用勾股定理來(lái)求解，而當(dāng)

沒(méi)有直角三角形時(shí)，有時(shí)需先構(gòu)造直角三角形，再應(yīng)用勾股定理求解。

考點(diǎn)3勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用

應(yīng)用一：求線段的長(zhǎng)

應(yīng)用二：折疊問(wèn)題中的勾股定理

應(yīng)用三：求面積

考點(diǎn)4生活中的勾股定理及逆定理

勾股定理及逆定理應(yīng)用于生活

應(yīng)用一：生活中的勾股定理

應(yīng)用二：方位問(wèn)題

四、例題精析

考點(diǎn)一數(shù)學(xué)思想方法

例1

【題干】已知直角三角形的兩直角邊之比為3:4,斜邊為10,求直角三角形的兩

直角邊.

【解析】已知兩直角邊的比，可設(shè)每份為x,根據(jù)勾股定理列方程求解。

【答案】解：設(shè)兩直角邊為3x,4x,由題意知

2

(3x)+(4x)2=IOO,9X2+16x2=100(

，x=2,則3x=6,4x=8.

故直角三角形的兩直角邊為6和8.

例2

【題干】如圖所示，A、B兩村莊在河邊CD的同側(cè)，A、B兩村莊到河的距離

分別為AC=lkm,BD=3km,且CD=3km，現(xiàn)在河邊CD上建一水廠分別向A、B

兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管時(shí)工程費(fèi)用為每千米20000元，在CD上選擇水廠

位置點(diǎn)P,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少。并求出最少費(fèi)用。

【解析】假設(shè)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為A',利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，使OA=OA',

由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)A'、0、B在同一直線上時(shí)，0A=0A,由兩點(diǎn)之間

線段最短可知：當(dāng)鼠0、B在同一直線上時(shí)，0A+0B最小，即鋪設(shè)水管的費(fèi)用

自O(shè)

【答案】解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A連接A'B交CD于。，則。點(diǎn)即為

所求，如圖所示，過(guò)A作A'E_LBD交BD的延長(zhǎng)線于E。

貝！JAE=CD=3km,DE=AC=AC=lkm,

BE=BD+DE=3+l=4(km).

在RUA'EB中，A'B=VA'E2+BE2=V32+42=5(km).

.1.0A+0B=AB=5(km).

,總費(fèi)用為5x20000=100000(元).

考點(diǎn)二勾股定理及其逆定理的運(yùn)用

例1

【題干】如圖在四邊形ABCD中AB=1,BC=2,CD=2AD=3(SzABC=90°,

連接AC.

(1)求AC的長(zhǎng)度;

(2)試判斷三角形ACD的形狀.

【解析】(1)根據(jù)勾股定理易求出AC的長(zhǎng)；

(2)在AACD中，再由勾股定理的逆定理，判斷三角形的形狀.

【答案】(1).NB=90°,AB=1,BC=2,

.?.AC2=AB2+BC2=l+4=5,

.,.AC=A/5

(2)MCD是直角三角形.理由如下：

?.AC2+CD2=5+4=9,AD2=9,

.-.AC2+CD2=AD2

??.△ACD是直角三角形.

例2

【題干】如圖，矩形ABCD中，AB=12cm,BC=24cm,如果將該矩形沿對(duì)角

線BD折疊，那么圖中陰影部分3DE的面積cm2.

【答案】90.

【解析】??四邊形ABCD是矩形，.?.AB=CD=12CM,BC=AD=24CM,ADII

BC,zA=90°,

??.NEDB=NCBD.???△CBD與AC'BD關(guān)于BD又寸稱，「.△CBD24CBD,.-.zEBD=

zCBD,

.-.zEBD=zEDB,，BE=DE.

設(shè)DE為x，則AE=24-x,BE=x，由勾股定理，得:122+(24-x)2=x2,x=15,

.1.DE=15cm,

15x122

.".SABDE==90cm.故答案為：90.

例2

【題干】如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB_LBD,ED±BD,

連接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.

(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)度；

(2)請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小？

(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式后n+J(12-x)2+9的

最小值。

【解析X1而于AABC和ACDE都是直角三角形，故AC,CE可由勾股定理求得；

(2)若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和>第三邊知，

AC+CE>AE,故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最??；

(3)由(1)(2)的結(jié)果可作BD=12過(guò)點(diǎn)B作AB_LBD,過(guò)點(diǎn)D作ED,BD,

使AB=2,ED=3,連接AE交BD于點(diǎn)C,則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式

J(12—x)2+9的最小值,然后構(gòu)造矩形AFDB,RfAFE,利用矩形的

直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值。

【答案】解：(1)J(8-X)2+25+GTT

(2)當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小

(3)如圖所示，作BD=12,過(guò)點(diǎn)B作AB±BD,過(guò)點(diǎn)B作AB_LBD,過(guò)點(diǎn)D

作EDJ_BD,使AB=2,ED=3,連結(jié)AE交BD于點(diǎn)C。即為求AC+CE得最小

值，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線時(shí)AC+CE最小AE="T^+JQ2-x)2+9的

最小值。

過(guò)點(diǎn)A作AFIIBD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,得矩形ABDF,

則AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5,

所以AE=>/AF24-EF2=V122+52=13,

即J(12-x)2+9的最小值為13.

考點(diǎn)三勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用

例1

【題干】如圖，某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地，已知AD=4米，CD=3

米，NADC=90。，AB=13米，BC=12米，小區(qū)為美化環(huán)境,欲在空地上鋪草

坪，已知草坪每平方米100元，試問(wèn)用該草坪鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？

A

【解析】連接AC根據(jù)勾股定理求出AC根據(jù)勾股定理的逆定理求出NACB=90。，

求出區(qū)域的面積，即可求出答案.

【答案】連結(jié)AC,

在RfACD中zADC=90°AD=4米,CD=3米，由勾月殳定理得AC=>/32+42=5

（米），

?.AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,.-.AC2+BC2=AB2,.-.zACB=90°,

該區(qū)域面積S=S，ACB-S，ADC=1X5X12-1x3x4=24（平方米），

即鋪滿這塊空地共需花費(fèi)=24x100=2400元.

例2

【題干】在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題

的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根

新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到

達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？

【解析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解得。

【答案】設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為(x+1)尺，由勾股定理得

(X+l)2=X2+(104-2)2

X=12

則水池的深度為12尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺

例3

【題干】如圖，居民樓與馬路是平行的，在一樓的點(diǎn)A處測(cè)得它到馬路的距離

為9m,已知在距離載重汽車41m處就可受到噪聲影響.

BC________P

(1)試求在馬路上以4m/s速度行駛的載重汽車，能給一樓A處的居民帶來(lái)多

長(zhǎng)時(shí)間的噪音影響？

(2)若時(shí)間超過(guò)25秒，則此路禁止該車通行，你認(rèn)為載重汽車可以在這條路

上通行嗎？

【解析】(1)先根據(jù)勾股定理求出BC及DC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出BD的長(zhǎng)，根據(jù)

載重汽車的速度是4m/s即可得出受噪音影響的時(shí)間；

(