材料力學專題一梁的內(nèi)力和內(nèi)力圖

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專題一梁的內(nèi)力和內(nèi)力圖

例1求圖1(a)所示梁截面A、C的剪力和彎矩。解：1〕求反力

FA5kN，F(xiàn)B4kN

2〕求A左截面的內(nèi)力，如圖(a)所示。

Yi0，F(xiàn)pFSA左0，F(xiàn)SA左3kN

MO0，F(xiàn)p2MA左0，MA左6kNm

3〕求A右截面的內(nèi)力，如圖(b)所示。

Yi0，F(xiàn)pFSA左FA0，F(xiàn)SA左2kN

MO0，F(xiàn)p2MA右0，MA右6kNm

4〕求C左截面的內(nèi)力，如圖(c)所示。

Yi0，F(xiàn)AFPq2FSC左0，F(xiàn)SC左0

MO0，F(xiàn)p4FA2q21MC左0，MC左4kNm

5〕求C右截面的內(nèi)力，如圖(d)所示。

Yi0，F(xiàn)AFPq2FSC右0，F(xiàn)SC右5320

MO0，F(xiàn)p4FA2q21M1MC右0，MC右6kNm

(a)

(b)

(c)

(d)(e)

圖

1

【小結(jié)】①求指定截面上的內(nèi)力時，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計算結(jié)果全都。一般取外力比較簡約的一段進行分析。②在解題時，通常假設(shè)截面上把內(nèi)力為正，假設(shè)最末計算結(jié)果是正，那么表示假設(shè)的內(nèi)力方向〔轉(zhuǎn)向〕與實際是相同的，否那么是相反的。③該題也可以不畫受力圖，不寫平衡方程而由前面的結(jié)論徑直求得結(jié)果。

材料力

例2試計算圖2所示各梁指定截面〔標有細線者〕的剪力與彎矩。

(b)(a)

q

B

圖2圖(d)(c)

解：(a)取A+截面左段討論，F(xiàn)SAF,MA

0

取C截面左段討論，F(xiàn)SCF,MC取B-截面左段討論，F(xiàn)SBF,MB

Fl

(b)求A、B處約束反力

如圖(d)所示，F(xiàn)AFBMe/l

取A+截面左段討論，F(xiàn)SAFAMe,MAMe

l

取C截面左段討論，

MlM

FSCFAe,MAMeFAe

l22

M

取B截面右段討論，F(xiàn)SBFBe,MB0

l

(c)求A、B處約束反力取A截面右段討論，F(xiàn)SA

+

B

Fl2

lqll3l3ql2

q,MAq

22248

2

取C-截面右段討論，F(xiàn)SCqlql,MCqllql

22248

lqlllql2

取C截面右段討論，F(xiàn)SCq,MCq

22248

-取B截面右段討論，F(xiàn)SB0,MB0

+

材料力

例3試寫出圖3所示梁的內(nèi)力方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。

(b)(a)

圖

3

解：(a)求支反力

MC0：FAy6121030，F(xiàn)Ay7kN

Y0：

列內(nèi)力方程，

FAyFBy100，F(xiàn)By3kN

7*12kNm0*30*37kNM(*)，F(xiàn)S(*)

3(6*)kNm3*63*63kN

作剪力圖和彎矩圖。(b)求支反力

1l

MB0：FAyl2ql2ql20，F(xiàn)Ay=0Y0：FAyFByqlql0，F(xiàn)By2ql

列內(nèi)力方程

q*0*l

FS(*)

qll*3l2

0*lq*2M(*)

l*3l2ql(3l2*)

作剪力圖和彎矩圖。

材料力

例4利用內(nèi)力方程作圖4(a)所示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：AC段有：q(*)5*

〔0*2〕FS(*)102.5*2，

(a)53，

M(*)10**〔0≤*≤2〕

6

其剪力圖和彎矩圖如圖(b)(c)所示。

由于結(jié)構(gòu)是對稱的，荷載也是對稱的，

BC段與AC段的FS圖是反對稱的，M圖是對稱的，據(jù)此特點可方便地作出AC段

(b)的剪力圖和彎矩圖。

例5試用剪力、彎矩與荷載集度之間的微分關(guān)系判斷圖5所示各梁的內(nèi)力圖形態(tài)，畫出剪力圖和彎矩圖。

解：(a)依據(jù)微分關(guān)系：dM*FS*和(c)

d*

dFS*d2M*qd*d*2圖4

AC段：q為常數(shù)，且q0，F(xiàn)S圖從左到右為向下的斜直線，M圖為向上凸的拋物線。CB段：q為常數(shù)，且q0，F(xiàn)S圖從左到右為向上的斜直線，M圖為向下凹的拋物線。在C截面處，F(xiàn)S圖連續(xù)，M圖光滑。

求得幾處非常截面的內(nèi)力值后即可作出梁的剪力圖與彎矩圖。(a)

(b)

(b)求支反力

qa1

MA0：FBy3aqa22q2a20，F(xiàn)By3

5qa

Y0：FAyFByq2a0，F(xiàn)Ay

3

材料力

判斷內(nèi)力圖形態(tài)并作內(nèi)力圖

AC段：q為常數(shù)，且q0，F(xiàn)S圖從左到右為向下的斜直線，M圖為向上凸的拋物線，在

5

距A端a截面處，M取極大值。

3

CB段：q0，F(xiàn)S圖為水平直線，且FS0，M圖從左到右為向下的斜直線。

在C截面處，F(xiàn)S圖連續(xù)，M圖光滑。

求得幾處非常截面的內(nèi)力值后即可作出梁的剪力圖與彎矩圖。(c)求支反力

1

M0：F3aq2a2qaa0，F(xiàn)ByqaABy

2

Y0：FAyFByq2aqa0，F(xiàn)Ay2qa判斷內(nèi)力圖形態(tài)并作內(nèi)力圖

AC段：q為常數(shù)，且q0，F(xiàn)S圖從左到右為向下的斜直線，M圖為向上凸的拋物線。C

截面處，有集中力F作用，F(xiàn)S圖突變，M圖不光滑。

CD段：q為常數(shù)，且q0，F(xiàn)S圖從左到右為向下的斜直線，M圖為向上凸的拋物線。DB段：q0，F(xiàn)Q圖為水平直線，且FS0；M圖從左到右為向下的斜直線。

(d)

(c)

5圖

(d)求支反力

1

MB0：FAy6826420，F(xiàn)Ay9.33kNY0：FAyFBy640，F(xiàn)By14.67kN判斷內(nèi)力圖形態(tài)，作內(nèi)力圖

FS圖：AD段，q0，為水平直線；

DB段，q0，從左到右為向下的斜直線。

M圖：AC段，q0，且FS0，從左到右為向上的斜直線；C截面處，有集中力偶Me作用，有突變；

材料力

CD段，q0，且FS0，從左到右為向上的斜直線，且bc//ab；DB段，q0，為向上凸的拋物線，且bc與ce在c點相切；

22

在距D端m截面處，F(xiàn)S=0，M取極大值17.93kNm。

9

例6試用疊加法畫出圖6所示梁的彎矩圖。

圖6

解：

(a)

(b)

材料力

例7試用畫出圖7(a)所示梁的剪力圖和彎矩圖。

【解】1〕將梁從鉸B處分開，計

(a)算梁的外約束反力，如圖7(b)。

FA*=FB*=F'B*=0，

FAy=FBy=F'By=FD=qa，MA=qa2

2〕該梁的內(nèi)力圖應(yīng)分成AB，(b)BC和CD三段繪制，各段的起點和終點內(nèi)力值時應(yīng)首先確定，用截面法計算出這些截面的內(nèi)力并列

(c)于表1中，其中2a-和2a+分別為C

偏左和偏右側(cè)截面的坐標。

3〕依據(jù)梁的內(nèi)力微分關(guān)系，逐段判斷內(nèi)力圖的大致外形并作(d)梁的剪力圖和彎矩圖。

①先作剪力圖。按肯定比例，在坐標系中首先確定AB、BC和CD梁段端點的剪力坐標點。AB

dF(*)

段梁無分布載荷，由Sq(*)

d*

可以知道其剪力圖線為水平直線；BC段梁因q0，剪力圖為下斜直線；同理，CD段梁因q0，剪力圖為上斜直線，用上述直線連接這三段梁的端點，即可得到該梁的剪力圖，如圖7(c)所示。

②再作彎矩圖。AB梁段因q=0，剪力圖為水

圖7

2

(*)平線，且其剪力FS=qa0，那么知道彎矩圖為上斜直線；同理，BC梁段因dM2q(*)，

彎矩圖為上凸拋物線，CD梁段由于q0，為下凸拋物線。在C截面作用有集中力偶qa2，

彎矩數(shù)值由qa2/2突變到-qa2/2。依據(jù)關(guān)于梁的彎矩圖的曲線外形的分析，從梁左端A截面開始，連接各梁段端截面的坐標點，即可方便地繪制出梁的彎矩圖，如圖(d)所示。例8試用分段疊加法作圖8(a)所示梁的彎矩圖。

解：1〕計算支座反力

kNFA15kN，F(xiàn)B11

2〕求掌握截面處的彎矩。

本例中掌握截面為C、A、D、E、B、F

(a)各處，其彎矩分別為：

d*

MD661542428kNmMB2214kNm

MF0

MC0

MA6212kNm

ME22311210kNm

(b)圖8

材料力

3〕把整個梁分為CB、AD、DE、EB、BF五段，然后用區(qū)段疊加法繪制各段的彎矩圖。方法是：先用肯定比例繪出CF梁各掌握截面的彎矩縱標，然后看各段是否有荷載作用，假如某段范圍內(nèi)無荷載作用〔例如CA、DE、EB三段〕，那么可把該段端部的彎矩縱標連以直線，即為該段彎矩圖。如該段內(nèi)有荷載作用〔例如AD、BF二段〕，那么把該段端部的彎矩縱標連一虛線，以虛線為基線疊加該段按簡支梁求得的彎矩圖。整個梁的彎矩圖如圖8(b)所示，其中AD段中點的彎矩為：MAD2kNm。

例9圖9(a)為梁的剪力圖，試求此梁的荷載圖與彎矩圖〔已知梁上無集中力偶〕。圖9

解：1〕求荷載圖

由FSA=－50kN知梁在A處有一向下集中力為50kN，B截面兩側(cè)剪力由－50kN突變到50kN，故梁在B截面必有一向上荷載100kN。

AB段、BC段FS圖為水平線，故兩段無分布荷載作用，q=0。CE段為右下斜直線，斜率為常量，故梁上必有向下的均布荷載，荷載集度大小等于剪力圖的斜率，即

q

50

25kN/m2

E截面的剪力由－50kN變到0，故梁上必有向上的集中力50kN。依據(jù)以上分析結(jié)果，可畫出梁的荷載圖如圖9(b)所示。

〔2〕求彎矩圖

AB段：FS為負值，且為水平線，故M為一向上斜直線。MA＝0，MB的大小等于AB間剪力圖面積，即

MB＝－501＝－50kNmBC：FS為正值，且為水平線，故M為一向下的斜直線。

McMBFS(*)d*505010。

b

a

CE段：q0，M為一下凸曲線。q=－25kN/m，D點FSD＝0，M有極值，

1

MDMc(502)05050kNm。

2

E端鉸處無集中力偶，MA＝0。

依據(jù)上述分析，畫出梁的彎矩圖，如圖9(c)所示。

材料力

練習題

1、試求以下各梁在指定1、2、3截面上的剪力和彎矩值。

題1圖

2、試寫出以下各梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。

(a)

(b)

(d)

(e)(f)

題2圖

3、分別用微分法和疊加法作圖示各梁的剪力圖和彎矩圖〔支座反力已給出〕。(a)

(b)

材料力

(c)

(e)

(g)

(i)

(k)

練習題參考答案1、(a)FS10，F(xiàn)S2

(d)

(f)

(h)

(j)

(l)

題3圖

M0M0M0

FM，S3，M1M0，M2M0，32a2a2

323232

(b)FS1ql，F(xiàn)S2ql，F(xiàn)S3ql，M1ql，M2ql，M3ql

222

322

(c)FS1qa，F(xiàn)S2qa，F(xiàn)S3qa，M10，M2qa，M3qa

4

1111

q0l，F(xiàn)S3q0l，M10，M2q0l2，M30(d)FS1q0l，F(xiàn)S2

624316

材料力

(e)FS15kN，F(xiàn)S15kN，F(xiàn)S15kN，M10，M20，M30

(f)FS110kN，F(xiàn)S210kN，F(xiàn)S310kN，M15kNm，M25kNm，

M310kNm

2、(a)(b)(c)(d)

FS(*)2F,(0*a)

M(*)F(2*a),(0*a)M(*)Fa,(a*2a)FS(*)0,(0*a)FS(*)F,(a*2a)M(*)0,(0*a)

FS(*)0,(a*a)

M(*)F(2a*),(a*2a)

(a)

(b)

(c)

(d)

FS(*)q(2a*),(0*2a)

FS(*)q*,(0*a)

2

M(*)q(2a*)2/2qa2,(0*2a)M(*)qa2,(2a*3a)

FS(*)0,(2a*3a)

FS(*)qa,(a*2a)

M(*)qa(*a/2)qa,(a*2a)

1a

FS(*)qa,(*a)

82

a1a

)M(*)qa(a*),(*a)282

2

M(*)q*/2,(0*a)

3a

FS(*)qaq*,(0*)

82

(e)

31

M(*)qa*q*2,(0*

82

材料力

7

F(*)F,(a*2a)SFS(*)F,(0*a)2(f)

M(*)F*,(0*a)1

M(*)F(7*9a),(a*2a)

F)5

S(*2F,(2a*3a)

M(*)5

2

F(3a*),(2a*3a)

(e)

3、(a)

(c)

2

(f)

(b)

(d)

材料力

(e)

(f)