高中數(shù)學(xué)選修22人教版練習(xí)第一章1.71.7.2定積分在物理中的應(yīng)用

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7定積分的簡單應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用1.7.2A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．曲線y＝x3與直線y＝x所圍成的圖形的面積等于()Aeq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－1)(x－x3)dx B.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－1)(x3－x)dxC．2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(x－x3)dx D．2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－1)(x－x3)dx解析：由圖象可知，當(dāng)x∈(0，1)時，y＝x的圖象在y＝x3圖象的上方，根據(jù)對稱性知，選項C正確．答案：C2．由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積是()A.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(x2－1)dxB．|eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(x2－1)dx|C.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)|x2－1|dxD.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(x2－1)dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(x2－1)dx解析：y＝|x2－1|將x軸下方陰影反折到x軸上方，其定積分為正，選項C正確．答案：C3．如圖所示，陰影部分的面積是()A．2eq\r(3)B．2－2eq\r(3)C.eq\f(32,3)D.eq\f(35,3)解析：S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－3)(3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,3)x3－x2))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(1,－3)＝eq\f(5,3)＋9＝eq\f(32,3)，故應(yīng)選C.答案：C4．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1處運動到x＝3處(單位：m)，則力F所做的功是()A．8JB．10JC．12JD．14J解析：W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)(4x－1)dx＝(2x2－x)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(3,1)＝14(J)．答案：D5．一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止，在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2解析：令7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，解得t＝－eq\f(8,3)(舍去)或t＝4.則eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln（1＋t）))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(4,0)＝4＋25ln5.答案：C二、填空題6．直線x＝eq\f(π,2)，x＝eq\f(3π,2)，y＝0及曲線y＝cosx所圍成圖形的面積________．解析：由題意作出圖形如圖所示，由圖形面積為答案：27．已知質(zhì)點的速度v＝10t，則從t＝t1到t＝t2質(zhì)點的平均速度為________．解析：由s＝eq\a\vs4\al(∫)t2t110tdt＝5t2|t2t1＝5(teq\o\al(2,2)－teq\o\al(2,1))，得平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s,t2－t1)＝5(t2＋t1)．答案：5(t2＋t1)8．曲線y2＝x與直線y＝eq\f(1,2)x所圍圖形的面積為________．解析：如圖所示，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝\f(1,2)x))得交點坐標(biāo)為O(0，0)，A(4，2)，所以S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)x))dx＝eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up13(\f(3,2))－))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x2))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(4,0)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)三、解答題9．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表達(dá)式；(2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積．解：(1)因為y＝f(x)是二次函數(shù)，且f′(x)＝2x＋2，所以設(shè)f(x)＝x2＋2x＋c.又f(x)＝0有兩個等根，所以4－4c＝0，得c＝1所以f(x)＝x2＋2x＋1.(2)y＝f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－1)(x2＋2x＋1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2＋x))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(0,－1)＝eq\f(1,3).10．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[0，1），,\r(x)，x∈[1，2]，))求曲線y＝f(x)與x軸、直線x＝0、x＝2所圍成的圖形的面積．解：作出函數(shù)圖象如圖所示，S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)f(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)f(x)dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)f(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)x3dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)eq\r(x)dx＝eq\f(x4,4)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(1,0)＋eq\f(2,3)xeq\s\up13(\f(3,2))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,1)＝－eq\f(5,12)＋eq\f(4\r(2),3).B級能力提升1．直線l過拋物線C：x2＝4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于()A.eq\f(4,3) B．2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)解析：因為拋物線方程為x2＝4y，所以其焦點坐標(biāo)為F(0，1)，故直線l的方程為y＝1.如圖所示，可知l與C圍成的圖形的面積等于矩形OABF的面積與函數(shù)y＝eq\f(1,4)x2的圖象和x軸正半軸及直線x＝2圍成的圖形的面積的差的2倍(圖中陰影部分的2倍)，即S＝4－2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)eq\f(x2,4)dx＝4－2·eq\f(x3,12)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).答案：C2．一物體在變力F(x)＝5－x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向做直線運動，則由x＝1運動到x＝2時F(x)做的功為________．解析：W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)F(x)cos30°dx＝eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(5－x2)dx＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,3)x3))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,1)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,3)))＝eq\f(4\r(3),3)(J)．答案：eq\f(4\r(3),3)J3．一物體做變速直線運動，其v－t曲線如圖所示，求該物體在eq\f(1,2)～6s間的運動路程．解：v(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0≤t≤1，,2，1<t<3，,\f(1,3)t＋1，3≤t≤6，))則所求路程s＝eq\a\vs4\al(∫)6eq\s\do9(\f(1,2))v(t)dt＝eq\a\vs4\al(∫)1eq\s\do9(\f(1,2))2tdt＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)2dt＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(6,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＋1))