拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（原卷版）

3.：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e＝1通徑長(zhǎng)2p考點(diǎn)二：直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若Δ＝0，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若Δ<0，直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)．考點(diǎn)三：直線和拋物線1．拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長(zhǎng)為2p.2．拋物線的焦點(diǎn)弦過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點(diǎn)技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、范圍）1．（2023·全國(guó)·高二專題）對(duì)拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1，則p的取值范圍是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞23．（2017秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谥校┮阎獟佄锞€：，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為A． B． C． D．4．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．題型二：拋物線的對(duì)稱性5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直拋物線的軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，則，則（）A．4 B．3 C．2 D．16．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原，且的面積為，則（

）A． B． C． D．題型三：拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題7．（2023春·云南楚雄·高二?？茧A段練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸上一點(diǎn)滿足，若的面積為，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知A，B，M，N為拋物線上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為（

）A． B． C． D．題型四：拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)問(wèn)題10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，是拋物線在第一象限的一點(diǎn)，過(guò)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，的中點(diǎn)為，若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C． D．311．（2023春·江西吉安·高二江西省萬(wàn)安中學(xué)?？计谥校┻^(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若，則l的斜率為（

）A．2 B． C．1 D．12．（2023春·全國(guó)·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F且斜率為的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，且于點(diǎn)M，AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，四邊形DMFN的面積為，則（

）A． B．4 C． D．題型五：拋物線中的參數(shù)范圍13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上三點(diǎn)A，B，C，且當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．14．（2022春·北京·高二北京二中?？计谀?，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．6415．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A．1 B． C． D．題型六：拋物線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題16．（2023秋·全國(guó)·高二期中）如圖，設(shè)直線與拋物線(為常數(shù))交于不同的兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)，則直線過(guò)點(diǎn)（

）A． B． C． D．17．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，點(diǎn)，設(shè)直線l與C交于不同的兩點(diǎn)P，Q.(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)．18．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【雙基達(dá)標(biāo)】單選題19．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．20．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A． B． C．8 D．221．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則（

）A．4 B． C．8 D．22．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線E：，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線E的漸近線的距離為，過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．8 D．23．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)拋物線：上一點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率為2，直線，的斜率倒數(shù)之和為3，則（

）A． B．5 C． D．1524．（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，過(guò)圓心的直線與拋物線和圓相交于四點(diǎn)，從左往右依次為，若成等差數(shù)列，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于，兩點(diǎn).求證：(1)，；(2)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.26．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖，是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作拋物線的弦AB，交拋物線于A，B.(1)若，求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)M作拋物線的另一條弦CD，若AD與y軸交于點(diǎn)E，連接ME，BC，求證：.【高分突破】一、單選題27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．628．（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線的漸近線和拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．229．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．430．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)M，N是拋物線：和動(dòng)圓C：的兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)F是的焦點(diǎn)，當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．631．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在準(zhǔn)線l上，滿足軸．若，則（

）A．2 B． C．3 D．32．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且位于第一象限，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作QF的平行線交軸于點(diǎn)，若，且四邊形PQKR的面積為，則直線QR的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題33．（2023春·全國(guó)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，是C上相異兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則的最小值為34．（2023秋·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以下結(jié)論中正確的有（

）A．直線l的方程為B．原點(diǎn)到直線l的距離為C．D．以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)35．（2023秋·高二單元測(cè)試）如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若B是AC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．36．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為拋物線的頂點(diǎn)，直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M，N分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，則N，O，P三點(diǎn)不共線B．若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，則C．若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點(diǎn)在某定直線上D．若，則直線l恒過(guò)點(diǎn)三、填空題37．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），的焦點(diǎn)為，則.38．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線C的方程為，若傾斜角為銳角的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的傾斜角為．39．（2023秋·四川眉山·高二仁壽一中校考期末）過(guò)的直線l與拋物線E：交于，兩點(diǎn)，且與E的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，點(diǎn)F是E的焦點(diǎn)，若的面積是的面積的3倍，則40．（2023秋·河北唐山·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則當(dāng)最大時(shí)，．四、解答題41．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于拋物線C：上，且到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求的最小值以及此時(shí)直線l的方程．42．（2023秋·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦