第8章 離散模型-數(shù)模講座51

第8章離散模型8.1層次分析模型8.2循環(huán)比賽的名次8.3

效益的合理分配y離散模型離散模型：差分方程（第7章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對(duì)策論、網(wǎng)絡(luò)流、……

分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具

只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識(shí)8.1層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問(wèn)題

涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素

作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化

Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過(guò)程的歸納

將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，

各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。

通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問(wèn)題的定量結(jié)果。層次分析法的基本步驟成對(duì)比較陣和權(quán)向量

元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度

設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A~成對(duì)比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地成對(duì)比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對(duì)比較陣和權(quán)向量成對(duì)比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根

的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對(duì)比較陣和權(quán)向量2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。

便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對(duì)比較陣和權(quán)向量一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過(guò)一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過(guò)一致性檢驗(yàn)w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對(duì)第1層的權(quán)向量第3層對(duì)第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對(duì)第1層的組合權(quán)向量第s層對(duì)第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對(duì)第p-1層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問(wèn)題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。2）構(gòu)造成對(duì)比較陣用成對(duì)比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的成對(duì)比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過(guò)，則特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。二.層次分析法的廣泛應(yīng)用

應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問(wèn)題類型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。國(guó)家綜合實(shí)力國(guó)民收入軍事力量科技水平社會(huì)穩(wěn)定對(duì)外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國(guó)工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國(guó)家實(shí)力分析例2

工作選擇過(guò)河的效益

A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過(guò)河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過(guò)河的代價(jià)

A經(jīng)濟(jì)代價(jià)

B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對(duì)水的污染C8對(duì)生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過(guò)河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇待評(píng)價(jià)的科技成果直接經(jīng)濟(jì)效益

C11間接經(jīng)濟(jì)效益

C12社會(huì)效益

C13學(xué)識(shí)水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評(píng)價(jià)例4科技成果的綜合評(píng)價(jià)三.層次分析法的若干問(wèn)題

正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡(jiǎn)化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權(quán)向量？

當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對(duì)比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法？1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根

是正單根，對(duì)應(yīng)正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根

n,

=n是A為一致陣的充要條件。

正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標(biāo)定義合理2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算

精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要

簡(jiǎn)化計(jì)算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度

2)計(jì)算3）歸一化5)計(jì)算簡(jiǎn)化計(jì)算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)23.

特征向量作為權(quán)向量——成對(duì)比較的多步累積效應(yīng)問(wèn)題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與

aij相差盡量?。▽?duì)所有i,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對(duì)數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同

按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。成對(duì)比較Ci:Cj

(直接比較）aij

~1步強(qiáng)度aisasj~Ci通過(guò)Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強(qiáng)度更能反映Ci對(duì)Cj

的強(qiáng)度多步累積效應(yīng)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)當(dāng)k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第2層對(duì)第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對(duì)第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計(jì)算第3層對(duì)第1層權(quán)向量w(3）的方法貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2P1P3P4例:評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等

不考慮支配元素?cái)?shù)目不等的影響仍用計(jì)算

支配元素越多權(quán)重越大用支配元素?cái)?shù)目n1,n2對(duì)w(2)加權(quán)修正若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評(píng)價(jià)應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用計(jì)算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研任務(wù)由上級(jí)安排教學(xué)、科研靠個(gè)人積極性考察一個(gè)特例：5.

殘缺成對(duì)比較陣的處理mi~A第i行中

的個(gè)數(shù)

為殘缺元素輔助矩陣6.

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)

遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨(dú)立，無(wú)相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無(wú)反饋和循環(huán)。

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動(dòng)底盤(pán)車輪方向盤(pán)發(fā)動(dòng)機(jī)減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運(yùn)行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例層次分析法的優(yōu)點(diǎn)

系統(tǒng)性——將對(duì)象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策——系統(tǒng)分析（與機(jī)理分析、測(cè)試分析并列）；

實(shí)用性——定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問(wèn)題；

簡(jiǎn)潔性——計(jì)算簡(jiǎn)便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；

粗略——定性化為定量，結(jié)果粗糙；主觀——主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。8.2循環(huán)比賽的名次

n支球隊(duì)循環(huán)賽，每場(chǎng)比賽只計(jì)勝負(fù)，沒(méi)有平局。

根據(jù)比賽結(jié)果排出各隊(duì)名次方法1：尋找按箭頭方向通過(guò)全部頂點(diǎn)的路徑。123456312456146325方法2：計(jì)算得分：1隊(duì)勝4場(chǎng)，2,3隊(duì)各勝3場(chǎng)，4,5隊(duì)各勝2場(chǎng)，6隊(duì)勝1場(chǎng)。無(wú)法排名2,3隊(duì)，4,5隊(duì)無(wú)法排名6支球隊(duì)比賽結(jié)果……32，45排名132456合理嗎123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循環(huán)比賽的結(jié)果——競(jìng)賽圖每對(duì)頂點(diǎn)間都有邊相連的有向圖3個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖名次{1，2，3}{(1,2,3)}并列{1,2,3,4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4),2}4個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖名次{(1,2),(3,4)}{1,2,3,4}?123412341234(1)(2)(3)1234(4)競(jìng)賽圖的3種形式

具有唯一的完全路徑，如(1)；

雙向連通圖——任一對(duì)頂點(diǎn)存在兩條有向路徑相互連通，如(4)；其他，如(2)，(3)。競(jìng)賽圖的性質(zhì)

必存在完全路徑；

若存在唯一的完全路徑，則由它確定的頂點(diǎn)順序與按得分排列的順序一致，如(1)。1234(4)雙向連通競(jìng)賽圖G=(V,E)的名次排序鄰接矩陣得分向量雙向連通競(jìng)賽圖的名次排序

對(duì)于n(>3)個(gè)頂點(diǎn)的雙向連通競(jìng)賽圖，存在正整數(shù)r，使鄰接矩陣A滿足Ar

>0，A稱素陣素陣A的最大特征根為正單根

，對(duì)應(yīng)正特征向量s，且排名為{1，2，4，3}用s排名1234(4){1,2,3,4}?1234566支球隊(duì)比賽結(jié)果排名次序?yàn)閧1，3，2，5，4，6}8.3

效益的合理分配例甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元，三人合作獲利11元。又知每人單干獲利1元。問(wèn)三人合作時(shí)如何分配獲利？記甲乙丙三人分配為解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)……

(1)

Shapley合作對(duì)策[I,v]~n人合作對(duì)策，v~特征函數(shù)~n人從v(I)得到的分配，滿足v(s)~子集s的獲利公理化方法

s

~子集s中的元素?cái)?shù)目，

Si~包含i的所有子集~由

s

決定的“貢獻(xiàn)”的權(quán)重Shapley值~i對(duì)合作s的“貢獻(xiàn)”Shapley合作對(duì)策三人(I={1,2,3})經(jīng)商中甲的分配x1的計(jì)算

1/31/61/61/311213I1751101141647

1/312/37/3x1=13/3類似可得x2=23/6,x3=17/61223合作對(duì)策的應(yīng)用例1污水處理費(fèi)用的合理分擔(dān)20km38km河流三城鎮(zhèn)地理位置示意圖123污水處理，排入河流三城鎮(zhèn)可單獨(dú)建處理廠，或聯(lián)合建廠(用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn))Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道長(zhǎng)度建廠費(fèi)用P1=73Q0.712管道費(fèi)用P2=0.66Q0.51L污水處理的5種方案1）單獨(dú)建廠總投資2）1,2合作3）2,3合作4）1,3合作總投資總投資合作不會(huì)實(shí)現(xiàn)5）三城合作總投資D5最小,應(yīng)聯(lián)合建廠

建廠費(fèi)：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道費(fèi)：d2=0.6650.5120=3023管道費(fèi)：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3建議：d1按

5:3:5分擔(dān),d2,d3由城1,2擔(dān)負(fù)城2建議：d3由城1,2按

5:3分擔(dān),d2由城1擔(dān)負(fù)城1計(jì)算：城3分擔(dān)d15/13=174<C(3),

城2分擔(dān)d13/13+d33/8

=132<C(2),

城1分擔(dān)d15/13+d35/8+d2

=250>C(1)不同意D5如何分擔(dān)？特征函數(shù)v(s)~聯(lián)合(集s)建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資~三城從節(jié)約投資v(I)中得到的分配

Shapley合作對(duì)策計(jì)算城1從節(jié)約投資中得到的分配x111213I0400640002504003912231/31/61/61/3

06.7

013

x1=19.7,城1C(1)-x1=210.4,城2C(2)-x2=127.8,城3C(3)-x3=217.8三城在總投資556中的分擔(dān)x2=32.1,x3=12.2x2最大，如何解釋？合作對(duì)策的應(yīng)用例2派別在團(tuán)體中的權(quán)重90人的團(tuán)體由3個(gè)派別組成，人數(shù)分別為40,30,20人。團(tuán)體表決時(shí)需過(guò)半數(shù)的贊成票方可通過(guò)。雖然3派人數(shù)相差很大若每個(gè)派別的成員同時(shí)投贊成票或反對(duì)票，用Shapley合作對(duì)策計(jì)算各派別在團(tuán)體中的權(quán)重。團(tuán)體I={1,2,3}，依次代表3個(gè)派別?íì=否則，的成員超過(guò)定義特征函數(shù)045,1)(ssv優(yōu)點(diǎn)：公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。如n個(gè)單位治理污染