2023-2024學(xué)年福建省福州市三校聯(lián)盟高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學(xué)年福建省福州市三校聯(lián)盟高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.2.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且A、B兩點在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.3.我國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”這個問題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這位女子每天分別織布多少?根據(jù)上述問題的已知條件,若該女子共織布尺,則這位女子織布的天數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.14.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.5.函數(shù)的定義域為,集合,則()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后,得到的圖像關(guān)于軸對稱,,當(dāng)取得最小值時,函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.7.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.08.已知隨機變量的分布列是則()A. B. C. D.9.如圖所示,三國時代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計,?。瑒t落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.10810.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.11.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動,也叫桌球(中國粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國地區(qū)的叫法)控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術(shù),一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中,在臺球桌上,畫出如圖正方形ABCD,在點E,F(xiàn)處各放一個目標(biāo)球,表演者先將母球放在點A處,通過擊打母球,使其依次撞擊點E,F(xiàn)處的目標(biāo)球,最后停在點C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長為()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm12.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.10二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的最小值為2,則_________.14.已知函數(shù)有且只有一個零點,則實數(shù)的取值范圍為__________.15.已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限,則實數(shù)的范圍為______.16.下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧,兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù),人數(shù)如下表所示:不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個人做進一步的調(diào)研,若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人,則的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大?。唬á颍┤?,求面積的最大值.18.(12分)求函數(shù)的最大值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若對于任意恒成立,求的取值范圍.20.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.21.(12分)已知不等式的解集為.(1)求實數(shù)的值;(2)已知存在實數(shù)使得恒成立,求實數(shù)的最大值.22.(10分)已知為橢圓的左、右焦點,離心率為,點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線分別交橢圓于和,且,問是否存在常數(shù),使得成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.2、C【解析】

直線恒過定點,由此推導(dǎo)出,由此能求出點的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,直線恒過定點,如圖過A、B分別作于M,于N,由,則,點B為AP的中點、連接OB,則,∴,點B的橫坐標(biāo)為,∴點B的坐標(biāo)為,把代入直線,解得,故選:C.【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法,考查拋物線的性質(zhì),是中檔題,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用,屬于中檔題.3、B【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實際問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,在等比數(shù)列中,公比,前項和為,,,求的值.因為,解得,,解得.故選B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用,難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計算,對于解決實際問題很有幫助.4、A【解析】

先化簡求出,即可求得答案.【詳解】因為,所以所以故選:A【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運算,注意計算的準(zhǔn)確度,屬于簡單題目.5、A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點睛】本題考查了交集及其運算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.6、A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式,結(jié)合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關(guān)于軸對稱,所以,所以,的最小值是.,則,所以.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.7、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法,是基本知識的考查.9、B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為,

則小正方形的邊長為,小正方形的面積,

則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,

故選:B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.10、B【解析】

由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點,使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點,然后得到一個含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.11、D【解析】

過點做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),利用直線三角形中的邊角關(guān)系,將用表示出來,根據(jù),列方程求出,進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),則,,則,因為,則,整理化簡得,又,得,.即該正方形的邊長為.故選:D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系,關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形,是中檔題.12、C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點中心對稱是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

首先利用絕對值的意義去掉絕對值符號,之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式,對照函數(shù)值等于2的時候?qū)?yīng)的自變量的值,從而得到分段函數(shù)的分界點,從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式,求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時是分界點,結(jié)合函數(shù)的解析式,可以判斷0不可能,所以只能是是分界點,故,解得,故答案是.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)最值的求解等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14、【解析】

當(dāng)時,轉(zhuǎn)化條件得有唯一實數(shù)根,令,通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時,,故不是函數(shù)的零點;當(dāng)時,即,令,,,當(dāng)時,;當(dāng)時,,的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,可作出的草圖,如圖:則要使有唯一實數(shù)根,則.故答案為:.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.15、【解析】

由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點,在第二象限,得,且,從而求出實數(shù)的范圍.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限,∴,且,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系,解不等式,且是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16、32【解析】

由已知可得抽取的比例,計算出所有被調(diào)查的人數(shù),再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知,抽取的比例為,被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人,則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為:32【點睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

分析:(1)利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式與和角公式,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值,求得角C;(2)運用向量的平方就是向量模的平方,以及向量數(shù)量積的定義,結(jié)合基本不等式,求得的最大值,再由三角形的面積公式計算即可得到所求的值.詳解:(1)∵,,(Ⅱ)取中點,則,在中,,(注:也可將兩邊平方)即,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.此時,其最大值為.點睛:該題考查的是有關(guān)三角形的問題,涉及到的知識點有正弦定理,誘導(dǎo)公式,和角公式,向量的平方即為向量模的平方,基本不等式,三角形的面積公式,在解題的過程中,需要正確使用相關(guān)的公式進行運算即可求得結(jié)果.18、【解析】

試題分析:由柯西不等式得試題解析:因為,所以.等號當(dāng)且僅當(dāng),即時成立.所以的最大值為.考點:柯西不等式求最值19、(1)或;(2).【解析】

(1)時,分類討論,去掉絕對值,分類討論解不等式.(2)時,分類討論去絕對值,得到解析式,由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值,通過恒成立問題,得到關(guān)于的不等式,得到的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以,所以不等式等價于或或,解得或.所以不等式的解集為或.(2)因為,所以,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最小值為,因為恒成立,所以,解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查分類討論去絕對值,分段函數(shù)求最值,不等式恒成立問題,屬于中檔題.20、(1)(2)特征值為或.【解析】

(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(1)設(shè)矩陣由題意,因為,所以,即所以,(2)矩陣的特征多項式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【點睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力.21、(1);(2)4【解析】

(1)分類討論,求解x的范圍,取并集,得到絕對值不等式的解集,即得解;(2)轉(zhuǎn)化原不等式為:,利用均值不等式即得解.【詳解】(1)當(dāng)時不等式可化為當(dāng)時,不等式可化為;當(dāng)時,不等式可化為;綜上不等式的解集為.(2)由(1)有,,,,即而當(dāng)且僅當(dāng):,即,即時等號成立∴,綜上實數(shù)最大值為4.【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解與不等式的恒成立問題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.22、(1);(2)存在,.【解析】

(1)由條件建立關(guān)于的方程組,可求得,得出

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