2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié))：兩角和與差的正弦

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第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

[備考方向要明白]

[歸納·知識(shí)整合]

1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_βcos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_βtan(α±β)＝

tanα±tanβ

1?tanαtanβ

[探究]1.兩角和與差的正切公式對(duì)任意角都適用嗎？假設(shè)涌現(xiàn)不適用的狀況如何化簡(jiǎn)？提示：在T(α＋β)與T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋π

2(k∈Z)，即保證tanα，tanβ，tan(α

＋β)都有意義；假設(shè)α，β中有一角是kπ＋π

2

(k∈Z)，可利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)．

2．二倍角余弦公式的常用變形是什么？它有何重要應(yīng)用？提示：二倍角余弦公式的常用變形是：cos2α＝

1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α

2

，這就是運(yùn)用極其廣泛的降冪擴(kuò)角公式．在三角恒等變換中，這兩個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)三角式的“次數(shù)”降低，利于問(wèn)題的討論．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sin_αcos_α

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

tan2α＝2tanα1－tan2α

[自測(cè)·牛刀小試]

1．計(jì)算cos28°cos17°－sin28°sin17°的結(jié)果等于()A.12

B.22

C.32

D.33

解析：選B原式＝cos(28°＋17°)＝cos45°＝

22.2．已知tan????α－π6＝37，tan????π6＋β＝25

，那么tan(α＋β)的值為()A.

2941B.129C.141

D．1解析：選Dtan(α＋β)＝tan???

?????α－π6＋????π6＋β＝tan????α－π6＋tan????π6＋β1－tan????α－π6·tan????π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．(教材習(xí)題改編)以下各式中，值為12

的是()A．2sin15°cos15°

B．cos215°－sin215°

C．2sin215°－1

D．sin215°＋cos215°解析：選A2sin15°cos15°＝sin30°＝12

；cos215°－sin215°＝cos30°＝

32；2sin215°－1＝－cos30°＝－32；sin215°＋cos215°＝1.4．(教材習(xí)題改編)已知cosα＝35

，0＜α＜π，那么cos????α－π6＝________.解析：∵cosα＝35

，0＜α＜π，∴sinα＝45

，

∴cos????α－π6＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6

＝

32cosα＋12sinα＝32×35＋12×45＝4＋3310

.答案：

4＋33105．(教材習(xí)題改編)在△ABC中，cosA＝45

，tanB＝2，那么tan(2A＋2B)＝________.解析：在△ABC中，∵cosA＝45，0＜A＜π，得sinA＝35

.∴tanA＝sinAcosA＝34

.∴tan2A＝

2tanA1－tan2A＝247，tan2B＝2tanB1－tan2B

＝－4

3，∴tan(2A＋2B)＝

tan2A＋tan2B1－tan2A·tan2B＝44

117.答案：44117

[例1](1)化簡(jiǎn)：(1＋sinθ＋cosθ)????sinθ2－cosθ22＋2cosθ

(0＜θ＜π)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°????1tan5°－tan5°.[自主解答](1)原式＝????2sinθ2cosθ2