人教版八年級下冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)訓(xùn)練：平行四邊形拔高訓(xùn)練

八年級（下）重難點(diǎn)專題訓(xùn)練：平行四邊形拔高訓(xùn)練

1.如圖，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,△ABO,△ACE,ABCF都是等邊三角

形，下列結(jié)論中：?AB±AC；②四邊形AEFD是平行四邊形；③NQFE=150°；④5四

邊形AEFO=8.錯誤的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，平行四邊形4BCO中，對角線AC、BQ相交于0,BD=2AD,E、F、G分別是

OC、OD、4B的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①四邊形BEFG是平行四邊形；?BE1AC；③EG=

FG；④EA平分NGEF.其中正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②@D.①③④

3.如圖所示，在RlZ\ABC外作等邊△?!￡>￡：,點(diǎn)￡在AB邊上，AC=5,NABC=30°,AD

=3.將△/1￡>后沿AB方向平移，得到AA'D'E',連接B。'.給出下列結(jié)論：①AB

=10;②四邊形ADD'A'為平行四邊形；③48平分/O'BC-,④當(dāng)平移的距離為4

其中正確的是_______（填上所有正確結(jié)論的序號）

B

:

AC

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8,49=6,以AB為邊向右作等邊△ABE,F為邊

C。上一點(diǎn)，DF=2,連接ER則EF的最小值為

BC

/D

5.如圖，在oABCD中，/ABC=45°,48=12料，CB=28,點(diǎn)M,N分別是邊AB,AD

的中點(diǎn)，連接CM,BN,并取CM,BN的中點(diǎn)，分別記為點(diǎn)E,F,連接EF,則EF的

長為.

6.如圖，分別以RtaABC的斜邊A8,直角邊AC為邊向外作等邊△AB。和等邊△ACE,F

為A8的中點(diǎn)，分別連接。F,EF,DE,OE與AB相交于點(diǎn)G,若/8AC=30°,下列

四個結(jié)論：?EF±AC；②四邊形AOFE為平行四邊形；③CE=2揚(yáng)G；④ADBF名△

EFA.其中結(jié)論正確的是（填序號即可）.

7.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=5,8c=3,將△A8C繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)得

到AA'BC,其中點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'、C',連接44'、CC',直線

CC交44'于點(diǎn)，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接OE.則。E的最小值為.

8.正方形A8CD中，點(diǎn)E是邊AO的中點(diǎn).連接3E,在8E上找一點(diǎn)F,連接AF,將AF

繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90°到AG,點(diǎn)尸與點(diǎn)G對應(yīng).AG,8￡＞延長線交于點(diǎn)H.若4B=4,

當(dāng)F、E、G三點(diǎn)共線時，求SAB”=

9.如圖，A8CO為平行四邊形，。尸EC和8CG”為正方形.求證：ACLEG.

10.如圖1,已知/EOF,點(diǎn)8、C在射線O尸上，四邊形ABC。是平行四邊形，AC、BD

相交于點(diǎn)M,連接OM.

(1)當(dāng)OM_LAC時，求證：OA=OC.

(2)如圖2,當(dāng)NEO尸=45°時，且四邊形ABCD是邊長為a的正方形時，求OM的

長.(結(jié)果保留根號)

11.四邊形ABC。，E為8C上一動點(diǎn)，EF〃對角線8。，交C￡＞于F,連AE、AF,分別交

8。于點(diǎn)G,點(diǎn)H.

(1)若四邊形488為正方形，判斷圖中除正方形的邊之外所有相等的線段，選擇一組

證明；

(2)若四邊形A8C。為平行四邊形，判斷BG等于哪條線段，并說明理由.

12.如圖，以四邊形A8CQ的邊AB、AO為邊分別向外側(cè)作等邊三角形A2F和4OE,連接

BE、DF.

圖1圖2

(1)當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(如圖1),則線段BE與。F的數(shù)量關(guān)系是.

(2)當(dāng)四邊形ABC。為平行四邊形時(如圖2),問(1)中的結(jié)論是否還成立？若成

立，請證明；若不成立，請說明理由.

13.如圖，以△A8C的邊A&AC為邊的等邊三角48。和等邊三角形ACE,四邊形AOFE

是平行四邊形.

(1)當(dāng)/8AC滿足什么條件時，四邊形AOFE是矩形；

(2)當(dāng)/BAC滿足什么條件時，平行四邊形AOFE不存在；

(3)當(dāng)△ABC分別滿足什么條件時，平行四邊形AOFE是菱形，正方形？

14.如圖，0ABe。中，CGLAB于點(diǎn)、G,ZABF=45°,尸在CO上，BF交CG于點(diǎn)、E,

連接AE,AELAD.

(1)若BG=l,BC=A/1Q,求E尸的長度；

(2)求證：AB-?BE=CF.

BG

15.如圖，平行四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E,滿足ED±AD,且NEBC=NEDC,BE=

CD.證明：NECB=45；

AD

16.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,對角線AC、BO交于點(diǎn)0,且AO=OC,過點(diǎn)。

作交AO于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)、F.

(1)求證：四邊形ABC。為平行四邊形；

(2)連接BE,若NB4Z)=100°,NDBF=2/ABE,求NA8E的度數(shù).

為A',A4,的延長線交BC于點(diǎn)G.

(1)求證：DE//A'F；

(2)求NGA'8的大??；

(3)求證：A'C=2A'B.

18.如圖，AO是△ABC的角平分線，DE±AB,DFLAC,垂足分別是E、F,連接EREF

與AO相交于點(diǎn)”.

(1)求證：AD1EF；

(2)ZVIBC滿足什么條件時，四邊形AEQ尸是正方形？說明理由.

19.如圖，在四邊形ABCO中，BC=CD,NC=2NBAD.。是四邊形A8CO內(nèi)一點(diǎn)，且

OA=OB—OD.求證：

(1)NBOD=NC；

(2)四邊形O8CD是菱形.

20.如圖，在。ABCC中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,尸分別為。8,0力的中點(diǎn),

延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

(1)求證：XNBE瑟△CDF：

(2)當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

21.在AABC中，AB=4C,點(diǎn)P為△A8C為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PF//AC交

A3于點(diǎn)F,PE//AB交BC千點(diǎn)、D,交AC于點(diǎn)E.

EE

出曲)C-----DC

圖1圖2圖3

(1)當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上(如圖1)時，請?zhí)剿骶€段PE,PF,AB之間的數(shù)量關(guān)系式

為.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)(如圖2)時，線段PC,PE,PF,AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，

請說明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在△48C外(如圖3)0寸，線段PD,PE,PF,A8之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，

直接寫出結(jié)論.

22.如圖，在RtAABC中，ZB=90°,BC=尻巧，NC=30°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA

方向以每秒2個單位長的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿A8方向以每秒

1個單位長的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動.設(shè)點(diǎn)。、E運(yùn)動的時間是f秒(r>0).過點(diǎn)。作。F_L8c于點(diǎn)尸，連接。E、EF.

(1)AC的長是,AB的長是

(2)在。、E的運(yùn)動過程中，線段EF與A。的關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變化，那么線

段EF與AD是何關(guān)系，并給予證明；若變化，請說明理由.

(3)四邊形AEFQ能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的“直；如果不能，說明理由.

(4)當(dāng)，為何值，ZSBE尸的面積是2的?

23.如圖1,四邊形ABC。是正方形，點(diǎn)E是邊8C的中點(diǎn)，NAE尸=90°,且所交正方

形外角的平分線CF于點(diǎn)F,過點(diǎn)F做FG±BC于點(diǎn)G,連接AC.易證：AC=&

(EC+FG).(提示：取AB的中點(diǎn)連接

(1)當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)時，如圖2；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時，如圖3.請直

接寫出AC,EC,的數(shù)量關(guān)系，并對圖2進(jìn)行證明；

(2)已知正方形ABC。的面積是27,連接AF,當(dāng)△ABE中有一個內(nèi)角為30°時，則

A尸的長為

24.探究：如圖，分別以△ABC的兩邊AB和AC為邊向外作正方形ANMB和正方形

ACDE,NC、BE交于點(diǎn)P.

求證：NANC=NABE.

應(yīng)用：。是線段BC的中點(diǎn)，若BC=6,則PQ的長度是多少？

25.已知，在平行四邊形中，BC=2AB,M為AC的中點(diǎn)，CELABTE.求證：Z

26.小明在研究正方形的有關(guān)問題時發(fā)現(xiàn)有這樣一道題：“如圖①，在正方形ABCD中，

點(diǎn)E是CQ的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且/以E=NEAD你能夠得出什么樣的正

確的結(jié)論？”

(1)小明經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：E尸，AE.請你對小明所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明；

(2)小明之后又繼續(xù)對問題進(jìn)行研究，將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意

平行四邊形"(如圖②、圖③、圖④),其它條件均不變，認(rèn)為仍然有.你

同意小明的觀點(diǎn)嗎？若你同意小明的觀點(diǎn)，請取圖③為例加以證明；若你不同意小明的

27.如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=25cm,AC=20cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB

的方向勻速運(yùn)動，速度為5CH/S；同時點(diǎn)M由點(diǎn)C出發(fā)，沿C4的方向勻速運(yùn)動，速度

為4c〃加，過點(diǎn)M作MN//AB交BC于點(diǎn)N.設(shè)運(yùn)動時間為ts（0<Z<5）.

（1）用含f的代數(shù)式表示線段MN的長；

（2）連接PN,是否存在某一時刻f,使S叫邊彩AMNP=48?若存在，求出f的值；若不存

在，請說明理由；

（3）連接尸M、PN,是否存在某一時刻K使點(diǎn)P在線段的垂直平分線上？若存在，

求出此時r的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖）（備用圖）

28.在等邊△ABC中，AB=6,BD±AC,垂足為。，點(diǎn)E為4B邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為直線8。

上一點(diǎn)，連接EF,將線段EF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG,連結(jié)FG.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且G尸的延長線過點(diǎn)C時，連接力G,則線段。G的長

為;

②如圖2,點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合，GF延長線交BC邊于點(diǎn)H,連接EH,則皿阻

BF

29.如圖，已知NAOB=60°,在乙4OB的平分線上有一點(diǎn)C,ZDC￡=120°,當(dāng)/

CCE的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線。A、OB相交于點(diǎn)。、E.

（1）當(dāng)NDCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至UCD與OA垂直時（如圖1）,請猜想OE+OD與OC的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；

（2）由（圖1）的位置將NOCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)。角（0<。<90°）,線段。。、OE

與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并說明理由.

AA

D

C/MC/M

B0^-------------B

圖1備用圖1備用圖2

30.如圖，在邊長為6的正方形ABC。內(nèi)部有兩個大小相同的長方形AEFG、HMCN,HM

與E尸相交于點(diǎn)尸，與G尸相交于點(diǎn)。，AG=CM=x,AE=CN=y.

(1)用含有x、y的代數(shù)式表示長方形AEFG與長方形HMCN重疊部分的面積S四邊形

HPFQ，并求出X應(yīng)滿足的條件；

(2)當(dāng)4G=AE,E尸=2PE時，

①AG的長為.

②四邊形AEFG旋轉(zhuǎn)后能與四邊形HMCN重合，請指出該圖形所在平面內(nèi)能夠作為旋轉(zhuǎn)

中心的所有點(diǎn)，并分別說明如何旋轉(zhuǎn)的.

31.如圖，在等邊△8CO中，OF,8c于點(diǎn)F,點(diǎn)A為直線。F上一動點(diǎn)，以8為旋轉(zhuǎn)中

心，把BA順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至BE,連接EC.

(1)當(dāng)點(diǎn)A在線段QF的延長線上時，

①求證：DA=CE；

②判斷NOEC和NEQC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)NDEC=45°時，連接4C,求NBAC的度數(shù).

32.己知如圖，△4￡)(?和△8OE均為等腰三角形，NCAD=NDBE,AC=AD,BD=BE,

連接CE,點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AC的平行線與線段AG延長線交于點(diǎn)立

(1)當(dāng)A,D,8三點(diǎn)在同一直線上時(如圖1),求證：G為A尸的中點(diǎn)；

(2)將圖1中△BQE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，點(diǎn)A,D,G,F在同一直線上，點(diǎn)”

在線段AF的延長線上，且EF=EH,連接AB,BH,試判斷△A8H的形狀，并說明理

33.如圖，將矩形ABC。繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG,E點(diǎn)正好落在邊CZ)

上，連接BE,BG,且8G交4E于P.

(1)求證：NCBE=LNBAE；

2

(2)求證：BG=2PB；

(3)若我，BC=3,直接寫出BG的長.

34.如圖，已知正方形ABC。，E是AB延長線上一點(diǎn)，尸是。C延長線上一點(diǎn)，且滿足

=EF,將線段EF繞點(diǎn)廠順時針旋轉(zhuǎn)90°得尸G,過點(diǎn)3作FG的平行線，交D4的延長

線于點(diǎn)N,連接NG.

(1)求證：BE=2CF；

(2)試猜想四邊形BFGN是什么特殊的四邊形，并對你的猜想加以證明.

35.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖1,我們把一個四邊形A8C。的四邊中點(diǎn)

E,F,G,H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？

小敏在思考問題是，有如下思路：連接AC.

四邊形EFGH

是平行四邊形

結(jié)合小敏的思路作答

（1）若只改變圖1中四邊形ABCO的形狀（如圖2）,則四邊形E/G”還是平行四邊形

嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決以下問題：

（2）如圖2,在（1）的條件下，若連接AC,BD.

①當(dāng)AC與8。滿足什么條件時，四邊形EFG”是菱形，寫出結(jié)論并證明；

②當(dāng)AC與BZ）滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論.

參考答案與試題解析

1.如圖，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/\ABD,△ACE,△8CF都是等邊三角

形，下列結(jié)論中：①4BJ_AC；②四邊形AEFD是平行四邊形；③NOFE=150°；④S叫

邊形AEFO=8.錯誤的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】由AB2+AC2=BC2,得出/BAC=90°,故①正確；再由SAS證得

DBF,得AC=OF=AE=4,同理△ABC絲△￡氏；(SAS),得A8=EF=4O=3,則四邊

形AEFD是平行四邊形，故②正確；然后由平行四邊形的性質(zhì)得NQFE=ND4E=

150°,則③正確；最后求出S〃AEFD=6,故④錯誤；即可得出答案.

【解答】解：?.,A3=3,AC=4,BC=5,32+42=52,

：.AB2+AC1=BC2,

.'△ABC是直角三角形，NBAC=90°,

：.ABLAC,故①正確；

,：/\ABD,△ACE都是等邊三角形，

：.ZDAB=ZEAC=60Q,

：.ZDAE^\50°,

?.?△ABO和△尸8C都是等邊三角形，

：.BD=BA,BF=BC,/DBF+/FBA=/ABC+NABF=60°,

NDBF=ZABC,

在△ABC與△DBF中，

fAB=DB

<ZABC=ZDBF-

BC=BF

AAABC^ADBF(SAS),

：.AC=DF=AE=4,

同理可證：△ABgXEFC(SAS),

：.AB=EF=AD=3,

...四邊形AEFD是平行四邊形，故②正確；

.".ZDFE=ZDA￡=150°,故③正確；

過A作AG_L￡)F于G,如圖所示：

則/AGO=90°,

V四邊形AEFD是平行四邊形，

AZFDA=180°-ZDFE=180°-150°=30°,

.*.AG=AAO=3,

22

???SOAEFD=Z)F?AG=4X3=6,故④錯誤；

錯誤的個數(shù)是1個,

故選：A.

2.如圖，平行四邊形A8CO中，對角線4C、8。相交于O,BD=2AD,E、F、G分別是

OC、OD、AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①四邊形BEFG是平行四邊形；②BE_LAC；③EG=

FG；④EA平分/GER其中正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②?D.①③④

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件可得OB=BC,再由等腰三角形的性質(zhì)可判

斷②正確；然后由直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)和三角形中位線定理判斷③錯誤，可

證四邊形BG五E是平行四邊形，判斷①正確，最后由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)

可判斷④正確.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.BO=DO^1BD,AD=BC,AB^CD,AB//CD,

2

又.；B￡）=24D,

：.OB=BC=OD=DA,

:點(diǎn)E是0C中點(diǎn)，

J.BELAC,故②正確；

■:E、F分別是OC、0。的中點(diǎn)，

是△OCD的中位線，

：.EF//CD,￡F=ACD=A/1B,

22

：.EF//AB,

:點(diǎn)G是Rt/XABE斜邊A8上的中點(diǎn)，

:.EG=1AB=AG=BG,

2

:.EG=EF=AG=BG,

二四邊形BEFG是平行四邊形，故①正確；

無法證明GE=GF,故③錯誤；

'JEF//CD//AB,

：.ZBAC=ZACD=ZAEF,

；AG=GE,

/GAE=AAEG,

ZAEG=ZAEF,

.?.AE平分NGEF,故④正確；

故選：C.

3.如圖所示，在RtZ\ABC外作等邊△AOE,點(diǎn)E在AB邊上，AC=5,ZABC=30°,AD

=3.將△AOE沿AB方向平移，得到△△'D'E',連接80'.給出下列結(jié)論：①48

=10;②四邊形ADD'A'為平行四邊形；③"平分/￡>'BC,④當(dāng)平移的距離為4

時，BD'=373.其中正確的是①②④（填上所有正確結(jié)論的序號）.

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì)；平移

的性質(zhì).

【分析】由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AB=2AC=10,故①正確；再由平移的性質(zhì)

得A7）'=AQ,A'D'/ZAD,則四邊形A。。'A'為平行四邊形，故②正確；當(dāng)平移的距離

為4時，EE=4,證出BE=D'E,則/EB￡>'=/E'D'B=l>/AE77=30°,得/A'DB

2

=60°+30°=90°,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得8￡>'=技。=3?,故④正

確；由④得：當(dāng)平移的距離為4時，ZEBD'=ZABC=30a,故③錯誤；即可得出答

案.

【解答】解：,；NACB=90°,4c=5,NABC=30°,

：.AB=2AC=\0,故①正確；

由平移的性質(zhì)得：A'D'=AD,A'D'//AD,

四邊形A。。A'為平行四邊形，故②正確；

當(dāng)平移的距離為4時，EE=4,

：.BE=AB-AE-EE=10-3-4=3,

由平移的性質(zhì)得：ZA'D'E^ZA'E'D'^ZAED=60a,A'D=Q'E=￡>E=AO=3,

：.BE=D'E,

：.AEBD'=ZED'B=1ZA'ED'=30°,

2

AZA'D'B=600+30°=90°,

：.BD'=y/3A'D'=3y/3,故④正確；

由④得：當(dāng)平移的距離為4時，ZEBD'^ZABC^30Q,故③錯誤；

故答案為：①②④.

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=S,AD=6,以AB為邊向右作等邊△4BE,F為邊

CQ上一點(diǎn)，DF=2,連接EF,則EF的最小值為2m-6.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】過E作于“，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，AH^BH=1AB=4,求得

2

HE=g當(dāng)H,F,E三點(diǎn)共線時，F(xiàn)E最小，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：過E作EHLAB于H,在4B上取一點(diǎn)O,使得AO=DF^2,連接OF,

OE.

B

「△ABE是等邊三角形,

：.AH=BH=1AB=4,

2

:.HE=4M，

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

.".AB//CD,

'：AO=DF,AO//DF,

：.四邊形AOFD是平行四邊形，

：.0F=AD=6,

，點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡是以。為圓心，6為半徑的圓，

...當(dāng)點(diǎn)尸在?！晟蠒r，EP的值最小，

;OF=V0H2+EH2=V22+（4>/3）2=

二所的最小值=2萬-6

故答案為：2JW-6

5.如圖，在。ABC。中，/A8C=45°,AB=12圾,CB=28,點(diǎn)M,N分別是邊A8,AD

的中點(diǎn)，連接CM,BN,并取CM,BN的中點(diǎn)，分別記為點(diǎn)E,F,連接EF,則EF的

長為5.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

【分析】連接BE交CD于點(diǎn)G,連接GN,過點(diǎn)G作GHLDN于點(diǎn)H,證

CEG得BE=GE,8W=GC=6&,貝UDG=CD-GC=6M，再勾股定理可得GN的

長，然后由三角形中位線定理即可求解.

【解答】解：如圖，連接BE交CC于點(diǎn)G,連接GN,過點(diǎn)G作GHLDN于點(diǎn)H,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=CB=2^>,CD=AB=12版,

:點(diǎn)M,N分別是邊AB,A。的中點(diǎn)，

.?.AN=￡W=LO=14,BM=^AB=6-J2>

22

,JAB//CD,

：.NBME=ZGCE,ZMBE=ZCGE,

?.,點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，

：.ME=CE,

在和ACEG中，

，ZMBE=ZCGE

,ZBME=ZGCE-

ME=CE

:AMEB經(jīng)4CEG(AAS),

：.BE=GE,BM=GC=6?

:.DG=CD-GC=6近,

?.?/￡>=NABC=45°,GHLDN,

：.DH=GH=?DG=6,

2

：.NH=DN-DH=14-6=8,

'GN=而/與產(chǎn)V82+62=10,

,:BF=FN,BE=EG,

是△BGN的中位線，

:.EF=、GN=5.

2

故答案為：5.

6.如圖，分別以RtAABC的斜邊A8,直角邊AC為邊向外作等邊△48。和等邊△ACE,F

為A8的中點(diǎn)，分別連接。aEF,DE,OE與AB相交于點(diǎn)G,若/8AC=30°,下列

四個結(jié)論：?EF1AC；②四邊形AOFE為平行四邊形；③CE=2砂G；④△￡?「也△

EFA.其中結(jié)論正確的是.①②③⑷(填序號即可).

BC

【考點(diǎn)】全等三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平行四邊形

的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得布=FC,根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)可得E4=EC,根據(jù)線段垂直平分線的判定可得EF是線段4c的垂直平分線；根

據(jù)條件及等邊三角形的性質(zhì)可得/。欣=/￡4尸=90°,DALAC,從而得到DF//AE,

DA//EF,可得到四邊形ADFE為平行四邊形；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得

AF=2AG,由含30°直角三角形的性質(zhì)得到EF=2AF=4AG,由勾股定理可證得CE=

2V3AG；易證DB=DA=EF,NDBF=NEFA=60°,BF=FA,即可得到△。8尸絲^

EFA.

【解答】解：連接FC,如圖所示：

VZACB=90°,尸為AB的中點(diǎn)，

:.FA=FB=FC,

?.'△ACE是等邊三角形，

：.EA=EC,

\"FA=FC,EA=EC,

點(diǎn)F、點(diǎn)E都在線段AC的垂直平分線上，

.?.EF垂直平分AC,EFLAC-,故①正確；

?.?△48。和△ACE都是等邊三角形，尸為48的中點(diǎn)，

：.DF±AB即/。磯=90°,BZ)=a4=AB=2AF,ZDBA^ZDAB^ZEAC=ZACE^

60°.

?../BAC=30°,

：.ZDAC^ZEAF=90a,

：.ZDFA=ZEAF=90Q,DAYAC,

：.DF//AE,DA//EF,

四邊形AOFE為平行四邊形；故②正確；

???四邊形ADFE為平行四邊形，

：.AF=2AG,

?..△ACE是等邊三角形，EF1AC,

：.AE=CE,ZA￡F=30°,

VZEAF=90°,

：.EF=2AF=4AG,EF1=AF1+AE1,

：.(4AG)2=(2X02+CE2,

：.12AG2=CE1,

：.CE=2揚(yáng)G；故③正確；

???四邊形ADFE為平行四邊形,

：.DA=EF,

：.BD=DA=EF,

在和△￡：?!中，

rBD=FE

<ZDBF=ZEFA(SAS)，

BF=FA

：./\DBF^/\EFA-,故④正確；

故答案為：①②③④.

7.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,將△4BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得

到AA'BC,其中點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'、C',連接AA'、CC',直線

CC交AA'于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接OE.則的最小值為1.

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理.

【分析】過A作AP〃AC交C,￡>延長線于P,連接AC,先證明/ACP=/A,CZ)=/P,

^AP=AC=A'C',再證明△APO絲△A。。得AO=A'。，￡>E是△A4C的中位線，DE=

LvC,要使。E最小，只需4c最小，此時A、C、8共線，的最小值為4B-8C=

2

AB-BC=2,即可得。E最小值為2AC=1.

2

【解答】解：過A作AP〃A'C交。。延長線于P,連接A'C,如圖：

:△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到AA'BC,

:.BC=BC,ZACB=ZA,CB=90°,AC=A'C,

:./BCC=/BCC,

VZACP=180°-ZACB-ZBCC=90°-ZBCC,

ZA'CD=ZA,CB-ZBCC=90Q-NBCC,

：.ZACP=ZA'CD,

???"〃AC,

：.ZP=ZA'CD9

：.ZP=ZACPf

：.AP=AC,

：.AP=A,C,

在△APO和△ACO中，

<ZP=ZA/C，D

,ZPDA=ZAyDC'，

AP二A'C，

/./\APD^/\A,CD(AAS),

：.AD=A'Df

???。是A4中點(diǎn)，

???點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

???OE是△A/TC的中位線，

：.DE=1A'C9

2

要使。上最小，只需AC最小，此時A、。、3共線，HC的最小值為4B-3C=A3-8C

=2,

二?！?最小為』<4。=1.

2

故答案為：1.

8.正方形A8CO中，點(diǎn)E是邊AO的中點(diǎn).連接BE,在BE上找一點(diǎn)尸，連接4凡將AF

繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°到AG,點(diǎn)尸與點(diǎn)G對應(yīng).AG、80延長線交于點(diǎn)H.若A8=4,

當(dāng)F、E、G三點(diǎn)共線時，求.

—5-

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析】連接OG,過“作“PJ_8G,交8G的延長線于P,判定得出

BF=DG,ZAFB=ZAGD,根據(jù)」iXBEXOG=1^XOEXAB,即可得到DG=-k/7,

22百7b

BG=7BD2-DG2=再設(shè)PH=X,WlJPG=x，根據(jù)DG//PH,可得△BDGs4

BHP,根據(jù)地JI,可得方程，即可得到PH=2正，最后根據(jù)SMFH=』BFXPH進(jìn)

BPPH7Vb2

行計算即可.

【解答】解：如圖所示，連接。G,過H作“PLBG,交2G的延長線于尸，

AF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°到AG,貝IJAF=AG,ZMG=90°,

即AAFG是等腰直角三角形，

5L，：AB=AD,ZBAD=90°,

：.ZBAF=ZDAG,

.,.AABf^AADG,

：.BF=DG,ZAFB=ZAGD,

中，AB=4,AE=2,

:.BE=2近,

?.?/AFG=/AGF=45°,

：.ZAFB=\35°=NAGD,

：.ZDGE=\35°-45°=90°，BPDG±BE,

■:工義BEXDG=LXDEXAB,

22

,,DG=ABXDE=1^

.?.□△BOG中，BG=7BD2-DG2^^

,：ZHGP=ZAGF=45°,ZP=90°,

△GPH為等腰直角三角形，

設(shè)PH=x,則PG=x,

"DG//PH,

:./\BDGSABHP,

故答案為：12.

5

9.如圖，A8CD為平行四邊形，OFEC和BCG”為正方形.求證：AC_LEG.

G

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】本題中要證AC_LEG也就是證/CGE+/GC4=90°,我們發(fā)現(xiàn)/GC4+/ACB

=90°,因此證明/CGE=NAC8就是問題的關(guān)鍵，我們可通過證明三角形ABC

ECG全等來實(shí)現(xiàn).

【解答】證明：???四邊形BCGH、EFDC為正方形,四邊形ABC。為平行四邊形，

J.GC//BH,DC//AB,NHBC=NECD=90°,

：.ZHBA^ZGCD(兩邊分別平行的兩角相等或互補(bǔ))，

AZHBC+ZHBA=ZGCD+ZECD,即90°+ZHBA=ZGCD+900,

.'.ZGCE^ZABC,

：.AB=DC=EC,BC=CG,

在△ABC和AECG中，

'AB=EC

<ZABC=ZGCE)

BC=CG

.,.△ABC^AECG(SAS),

J.ZCGE=ZACB,

；NACB+NGC4=90°,

.".ZCG￡+ZGCA=90°,

J.ACLEG.

10.如圖1,已知/EOF,點(diǎn)8、C在射線OF上，四邊形ABC。是平行四邊形，AC.BD

相交于點(diǎn)M,連接OM.

(1)當(dāng)OM_LAC時，求證：OA=OC.

(2)如圖2,當(dāng)NEOF=45°時，且四邊形ABCD是邊長為a的正方形時，求OM的

長.(結(jié)果保留根號)

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；正

方形的性質(zhì).

【分析】(1)若要證明OA=OC,則可轉(zhuǎn)化為證明OM是AC的垂直平分線即可；

(2)過M作MGLOF于G,首先證明四邊形AOBQ是平行四邊形，得到AO=OB,再

利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到8G和MG的長，進(jìn)而利用勾股定理即可求出OM的長.

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AM=CM,

"：OM1.AC,

；.OM是4c的垂直平分線，

：.OA=OC；

(2)過M作MG_LOF于G,

,Z四邊形ABCD是邊長為a的正方形,

J.AD//BC,ZDBC=45°,

VZEOF=45°,

ZAOB=NEOF,

J.AO//DB,

四邊形AOBD是平行四邊形，

?'?AD—OB—ci,

?；OG=冤，

2

'：BC=a,

：.MG=^a,

2

'0M=7MG2+OG2=?

11.四邊形ABC。，E為BC上一動點(diǎn)，EF〃對角線BO,交CD于F,連AE、AF,分別交

BO于點(diǎn)G,點(diǎn)H.

(1)若四邊形ABC。為正方形，判斷圖中除正方形的邊之外所有相等的線段，選擇一組

證明；

(2)若四邊形ABCO為平行四邊形，判斷BG等于哪條線段，并說明理由.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，對角線平分對角，以及E尸〃8。即可得出相等的線段;

（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出菱形，再利用三角形全等的判定得出答案.

【解答】解：（1）EC=FC,DF=BE,AF=AE；

證明：?.?四邊形ABC。為正方形，

，/BOC=NOBC=45°,

'：EF//BD

/FEC=NDBC,/EFC=ZBDC,

：.NFEC=AEFC,

：.EC=FC（等角對等邊），

(2)BG=HD,

證明：做FN〃BE,ME//DF,

,JEF//BD,FN//BE,ME//DF,

四邊形BEFN是平行四邊形，四邊形MEFQ是平行四邊形，且全等，

:.BC=CD,

二四邊形ABC。為菱形，

；.AB=A。，BE=DF,NABE=NADF,

：./\ABF^^ADF,

：.BG=HD.

12.如圖，以四邊形A8C￡＞的邊AB、A￡＞為邊分別向外側(cè)作等邊三角形A8尸和4OE,連接

BE、DF.

E

E

圖1

(1)當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(如圖1),則線段BE與DF的數(shù)量關(guān)系是BE=DF

或相等.

(2)當(dāng)四邊形ABCO為平行四邊形時(如圖2),問(1)中的結(jié)論是否還成立？若成

立，請證明；若不成立，請說明理由.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】(1)先根據(jù)正方形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)得：AB=AD,NBM>=90°,AF=

AB,AE=AD,,再根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)即可；

(2)先利用平行四邊形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)，再運(yùn)用全等三角形判定和性質(zhì)即可.

【解答】解：⑴BE=DF(或相等)

如圖1,：四邊形ABCQ為正方形

：.AB=AD,/BAD=90°

「△ABF、△AQE都是等邊三角形

：.AF=AB,AE=AD,NBAF=NDAE=60°

AZBAE=ZBAD+ZDAE=\50Q,ZDAF=ZBAD+ZBAF=\50°

:.NBAE=NDAF

"：AB=AF=AE=AD

：.^ABE^^AFD(SAS)

：.BE=DF

故答案為：8E=D尸或相等；

(2)成立.

證明：如圖2,?.?△4尸8為等邊三角形

：.AF=AB,ZFAB=60°

?.?△4DE為等邊三角形，

：.AD=AE,ZEAD=60°

：.ZFAB+ZBAD^ZEAD+ZBAD,

在△AFD和△ABE中，

，AF=AB

<ZFAD=ZBAE-

AD=AE

/?/XAFD^/XABE(SAS),

:.BE=DF.

圖2

圖1

13.如圖，以△ABC的邊A3、AC為邊的等邊三角A3。和等邊三角形ACE,四邊形AOFE

是平行四邊形.

（1）當(dāng)/BAC滿足什么條件時，四邊形AOFE是矩形；

（2）當(dāng)/8AC滿足什么條件時，平行四邊形AOFE不存在；

（3）當(dāng)AABC分別滿足什么條件時，平行四邊形A。尸E是菱形，正方形？

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定；正

方形的判定.

【分析】（1）根據(jù)矩形的四角相等為90度求解；

（2）根據(jù)。、A、E在同一條直線上時不能構(gòu)成四邊形求解；

(3)分別根據(jù)菱形的四邊相等和正方形的四邊相等，四角相等的特性解題.

【解答】解：(1)當(dāng)/BAC=150°時，四邊形AOFE是矩形，

.??ZDA￡=360°-120°-150°=90°；

?.?四邊形ADFE是平行四邊形，

...四邊形AOFE是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)；

(2)當(dāng)N8AC=60°時平行四邊形AOEE?不存在，

ZDAE=180°-60°-60°-60°=0°；

(3)當(dāng)AB=AC且NBAC不等于60°時平行四邊形AOFE是菱形.

14.如圖，oABC￡>中，CG_L4B于點(diǎn)G,ZABF=45°,尸在CD上，BF交CG于點(diǎn)、E,

連接AE,AELAD.

(1)若BG=1,BC=JI5，求EF的長度；

(2)求證：AB-4^PE=CF.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)BG=1,利用勾股定理可以得到CG的長，再根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)可以得到GE的長，從而可以得到EF的長；

(2)要證明結(jié)論成立，只要作輔助線E//LA8于點(diǎn)H,利用勾股定理得到8”=血8￡

再利用三角形的全等和平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論成立.

【解答】解：(1)'：CG±AB,BG=\,BC=A/1C，

CG=7BC2-BG2=7(VIO)2-l2=3'

：/AB尸=45°,

???△3GE是等腰直角三角形,

:?EG=BG=1,

：.EC=CG-EG=3-1=2,

???在平行四邊形A8CO中，AB//CD,ZABF=45Q,CG1AB,

：.ZCFE=ZABF=45°,NFCE=NBGE=90°,

???AECF是等腰直角三角形，

￡/?=VEC2<F2=^22+22=2^2;

(2)證明：過E作EH_LBE交AB于H,

'：ZABF=45a,NBEH=90°,

...△BEH是等腰直角三角形，

BH=A/BE2+EH2=V2BE,BE=HE,

：.ZBHE=45°,

AZAHE=\SO°-ZBWE=180°-45°=135°,

由(1)知，和AEC/都是等腰直角三角形，

：.ZBEG=45°,CE=CF,

/.ZBEC=180°-ZBEG=180°-45°=135°,

ZAHE=ZCEB,

'：AELAD,

：.ZDAE=90°,

AZBAD^ZDAE+ZEAB=90Q+ZEAB,

由(I)知，ZFCE=90°,

二ZBCD=NFCE+NBCG=9G°+ZBCG,

?.,在平行四邊形ABC。中，NBAD=NBCD,

；.90°+ZEAB=9Q°+NBCG,

:.NEAB=NBCG,

即/E4H=NBCE,

在△△E4H和ABCE中，

，ZEAH=ZBCE

<ZEHA=Z