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文檔簡介

四川省成都市郫都四中2024屆高考仿真卷數(shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務,要求是:任務A必須排在前三項執(zhí)行,且執(zhí)行任務A之后需立即執(zhí)行任務E,任務B、任務C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種2.在棱長為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點,又P、Q分別在線段、上,且,設(shè)平面平面,則下列結(jié)論中不成立的是()A.平面 B.C.當時,平面 D.當m變化時,直線l的位置不變3.已知點P不在直線l、m上,則“過點P可以作無數(shù)個平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓,其軌道的離心率為,設(shè)地球半徑為,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為,則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為()A. B.C. D.5.一個頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有()A. B. C. D.6.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為A. B.C. D.8.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則9.數(shù)列{an},滿足對任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.9910.雙曲線的一條漸近線方程為,那么它的離心率為()A. B. C. D.11.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成,若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.12.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,且,則______.14.電影《厲害了,我的國》于2018年3月正式登陸全國院線,網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲,我為我是中國人驕傲!”《厲害了,我的國》正在召喚我們每一個人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國》,并把標識為的四張電影票放在編號分別為1,2,3,4的四個不同的盒子里,讓四位好朋友進行猜測:甲說:第1個盒子里放的是,第3個盒子里放的是乙說:第2個盒子里放的是,第3個盒子里放的是丙說:第4個盒子里放的是,第2個盒子里放的是丁說:第4個盒子里放的是,第3個盒子里放的是小明說:“四位朋友你們都只說對了一半”可以預測,第4個盒子里放的電影票為_________15.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且,,,則_______.16.已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是_______________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)拋物線的焦點為,準線為,為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過點.(1)求的值及該圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點,過點作的切線,切點為,證明:.18.(12分)已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,是數(shù)列的前項和,且、、成等比數(shù)列,.設(shè)數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列、的通項公式;(2)令,證明:.19.(12分)平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,點.(1)求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線交于點,曲線與曲線交于點,求的面積.20.(12分)已知,,動點滿足直線與直線的斜率之積為,設(shè)點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若過點的直線與曲線交于,兩點,過點且與直線垂直的直線與相交于點,求的最小值及此時直線的方程.21.(12分)已知橢圓E:()的離心率為,且短軸的一個端點B與兩焦點A,C組成的三角形面積為.(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)若點P為橢圓E上的一點,過點P作橢圓E的切線交圓O:于不同的兩點M,N(其中M在N的右側(cè)),求四邊形面積的最大值.22.(10分)已知函數(shù),.(1)若不等式對恒成立,求的最小值;(2)證明:.(3)設(shè)方程的實根為.令若存在,,,使得,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

分三種情況,任務A排在第一位時,E排在第二位;任務A排在第二位時,E排在第三位;任務A排在第三位時,E排在第四位,結(jié)合任務B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項不同的任務分別為A、B、C、D、E、F,如果任務A排在第一位時,E排在第二位,剩下四個位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個空位中插入B、C,此時共有排列方法:;如果任務A排在第二位時,E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務A排在第三位時,E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點睛】本題考查了排列組合問題,考查了學生的邏輯推理能力,屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立;因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選:C【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】點不在直線、上,若直線、互相平行,則過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.4、A【解析】

由題意畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義,結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率:,(c為半焦距;a為長半軸),設(shè)衛(wèi)星近地點,遠地點離地面距離分別為r,n,如圖:則所以,,故選:A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法,注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、B【解析】

計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選:B.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式,判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因為每一個單音與前一個單音頻率比為,所以,又,則故選D.點睛:此題考查等比數(shù)列的實際應用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.8、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】對于,當為內(nèi)與垂直的直線時,不滿足,錯誤;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,但,錯誤;對于,由,知:,又,,正確;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,錯誤.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由為定值,可得,則是以3為周期的數(shù)列,求出,即求.【詳解】對任意的,均有為定值,,故,是以3為周期的數(shù)列,故,.故選:.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.10、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,列出方程,求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為,可得,∴,∴雙曲線的離心率.故選:D.【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).12、D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解:因為直線與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

數(shù)列滿足知,數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列,再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】,數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列,又,,.故答案為:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列定義,考查了對數(shù)的運算性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項公式,是中檔題.14、A或D【解析】

分別假設(shè)每一個人一半是對的,然后分別進行驗證即可.【詳解】解:假設(shè)甲說:第1個盒子里面放的是是對的,則乙說:第3個盒子里面放的是是對的,丙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第4個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是;假設(shè)甲說:第3個盒子里面放的是是對的,則丙說:第4個盒子里面放的是是對的,乙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第3個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是.故第4個盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點睛】本題考查簡單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.15、9【解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和,可得,得,由,,,由正弦定理,得.故答案為:.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用,難度一般.16、【解析】

畫出函數(shù)的圖象,再畫的圖象,求出一個交點時的的值,然后平行移動可得有兩個交點時的的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:因為方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,所以圖象與直線有且只有兩個交點即可,當過點時兩個函數(shù)有一個交點,即時,與函數(shù)有一個交點,由圖象可知,直線向下平移后有兩個交點,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),圓的方程為:.(2)答案見解析【解析】

(1)根據(jù)題意,可知點的坐標為,即可求出的值,即可求出該圓的方程;(2)由題易知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,與拋物線聯(lián)立方程組,根據(jù),求得,化簡解得,進而求得點的坐標為,分別求出,,利用向量的數(shù)量積為0,即可證出.【詳解】解:(1)易知點的坐標為,所以,解得.又圓的圓心為,所以圓的方程為.(2)證明易知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點的坐標為.所以,,.故.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和圓的方程,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,利用聯(lián)立方程組、求交點坐標以及向量的數(shù)量積,考查解題能力和計算能力.18、(1),(2)證明見解析【解析】

(1)利用首項和公差構(gòu)成方程組,從而求解出的通項公式;由的通項公式求解出的表達式,根據(jù)以及,求解出的通項公式;(2)利用錯位相減法求解出的前項和,根據(jù)不等關(guān)系證明即可.【詳解】(1)設(shè)首項為,公差為.由題意,得,解得,∴,∴,∴當時,∴,.當時,滿足上式.∴(2),令數(shù)列的前項和為.兩式相減得∴恒成立,得證.【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用,難度一般.(1)當用求解的通項公式時,一定要注意驗證是否成立;(2)當一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式,優(yōu)先考慮采用錯位相減法進行求和,同時注意對于錯位的理解.19、(1).(2)【解析】

(1)根據(jù)題意代入公式化簡即可得到.(2)聯(lián)立極坐標方程通過極坐標的幾何意義求解,再求點到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解:(1)曲線,即.∴.曲線的極坐標方程為.直線的極坐標方程為,即,∴直線的直角坐標方程為.(2)設(shè),,∴,解得.又,∴(舍去).∴.點到直線的距離為,∴的面積為.【點睛】此題考查參數(shù)方程,極坐標,直角坐標之間相互轉(zhuǎn)化,注意參數(shù)方程只能先轉(zhuǎn)化為直角坐標再轉(zhuǎn)化為極坐標,屬于較易題目.20、(1)(2)的最小值為1,此時直線:【解析】

(1)用直接法求軌跡方程,即設(shè)動點為,把已知用坐標表示并整理即得.注意取值范圍;(2)設(shè):,將其與曲線的方程聯(lián)立,消元并整理得,設(shè),,則可得,,由求出,將直線方程與聯(lián)立,得,求得,計算,設(shè).顯然,構(gòu)造,由導數(shù)的知識求得其最小值,同時可得直線的方程.【詳解】(1)設(shè),則,即整理得(2)設(shè):,將其與曲線的方程聯(lián)立,得即設(shè),,則,將直線:與聯(lián)立,得∴∴設(shè).顯然構(gòu)造在上恒成立所以在上單調(diào)遞增所以,當且僅當,即時取“=”即的最小值為1,此時直線:.(注:1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分;2.若直線方程按斜率是否存在討論,則可以根據(jù)步驟相應給分.)【點睛】本題考查求軌跡方程,考查直線與橢圓相交中的最值.直線與橢圓相交問題中常采用“設(shè)而不求”的思想方法,即設(shè)交點坐標為,設(shè)直線方程,直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元,然后用韋達定理得(或),把這個代入其他條件變形計算化簡得出結(jié)論,本題屬于難題,對學生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求.21、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】

(Ⅰ)結(jié)合已知可得,求出a,b的值,即可得橢圓方程;

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