專題2 函數性質的靈活應用（講義）2024高考總復習壓軸題《數學》函數與導數解析版

第第頁專題2函數性質的靈活應用1．周期性的常用結論—對f(x)定義域內任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,則T＝2a(a>0)．(4)若,則T＝6a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝,則T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,則T＝4a(a>0)．2．函數對稱性與函數周期性的關系（類比三角函數）(1)若函數的圖象既關于直線對稱,又關于直線對稱,則是周期函數,且是它的一個周期.(2)若函數的圖象既關于點對稱,又關于點對稱,則是周期函數,且是它的一個周期.(3)若函數的圖象既關于直線對稱,又關于點對稱,則是周期函數,且是它的一個周期.3.復合函數設是定義在M上的函數,若與的單調性相反,則在M上是減函數；若與的單調性相同,則在M上是增函數,簡稱同增異減.4.對稱性的一般結論=1\*GB3①若,則圖像關于直線對稱；=2\*GB3②，函數關于點對稱.(一)函數單調性的靈活應用例1.（1）、（2021·廣東·統(tǒng)考模擬預測）下列函數中，既是奇函數又在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數奇偶性的定義和函數的解析式判斷.【詳解】A.函數的定義域是，所以函數是非奇非偶函數，故錯誤；B.在上單調遞減，故錯誤；C.因為，所以函數是奇函數，且在上單調遞增，正確；D.因為，所以函數是偶函數，故錯誤；故選：C．（2）、（2022·安徽蚌埠·高一期末）若函數在R上單調遞減，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要保證函數在R上單調遞減，需使得和都為減函數，且x=1處函數值滿足,由此解得答案.【詳解】由函數在R上單調遞減，可得，解得，故選：D.（3）、（2021·嘉峪關市第一中學高三（理））函數在上單調遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據復合函數的同增異減原理，只要保證在上單調遞增，且滿足定義，即可得解.【詳解】函數為復合函數，令，為增函數，故只要在上為增函數即可，只要：，解得：，故選：A.【點睛】本題考查了復合函數的同增異減原理，同時注意滿足定義域，有一定的計算量，屬于基礎題.（4）、（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，若成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構造函數，根據函數的奇偶性及復合函數的單調性可得函數為偶函數且在單調遞增，進而關于直線對稱，且在單調遞增，結合條件可得，解不等式即得.【詳解】因為的定義域為R，又，故函數為偶函數，又時，，單調遞增，故由復合函數單調性可得函數在單調遞增，函數在定義域上單調遞增，所以在單調遞增，所以，所以關于直線對稱，且在單調遞增．所以，兩邊平方，化簡得，解得．故選：C．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是構造函數，然后根據函數的單調性及對稱性化簡不等式進而即得.1、（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）下列函數中既是奇函數又是增函數的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據奇偶性和單調性逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：為定義在上的奇函數且在定義域內單調遞增，故A正確；對于選項B：為定義在上的偶函數，故B錯誤；對于選項CD：、均為非奇非偶函數，故CD錯誤；故選：A.2、（2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預測）已知函數在區(qū)間上單調遞增，則的最小值為．【答案】/【分析】根據在上恒成立，再根據分參求最值即可求出．【詳解】因為，所以，所以函數在區(qū)間上單調遞增，即在上恒成立，顯然，所以問題轉化為在上恒成立，設，所以，所以在上單調遞增，所以，故，所以的最小值為：.故答案為：.3、（2020·全國高一課時練習）若函數在上是單調增函數，則的取值范圍是____________．【答案】【分析】利用復合函數單調性的判斷方法,分內層和外層分別判斷,解出的取值范圍.【詳解】由題意得，設，根據對數函數及復合函數單調性可知：在上是單調增函數，且，所以，所以．故答案為:【點睛】本題考查復合函數單調性的應用,考查對數函數的性質,考查學生運算求解能力,屬于中檔題.4、（2022·浙江·玉環(huán)市坎門中學高一開學考試）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題可得，解之即得.【詳解】∵在上單調遞增，∴，解得.故選：B.

(二)函數奇偶性的靈活應用例2．（1）、（2023·新疆·校聯(lián)考一模）若函數是偶函數，則實數的值為．【答案】/【分析】根據偶函數定義，結合對數運算化簡可得.【詳解】的定義域為R，，因為函數是偶函數，所以，所以恒成立，故，即.故答案為：（2）．（2014·湖南高考真題（理））已知分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，則A.B.C.1D.3【答案】C【解析】試題分析：分別令和可得和,因為函數分別是定義在上的偶函數和奇函數,所以,即,則,故選C.考點：奇偶性（3）、（2022·全國·模擬預測）已知定義在R上的函數滿足，且是奇函數，則（

）A．是偶函數 B．的圖象關于直線對稱C．是奇函數 D．的圖象關于點對稱【答案】C【分析】由周期函數的概念易知函數的周期為2，根據圖象平移可得的圖象關于點對稱，進而可得奇偶性.【詳解】由可得2是函數的周期，因為是奇函數，所以函數的圖象關于點對稱，所以，，所以是奇函數，故選：C.1．（2005·江西·高考真題）若函數為奇函數，則=____________．【答案】【分析】由函數是奇函數,將函數的這一特征轉化為對數方程解出的值.【詳解】函數為奇函數即，即解得：又對數式的底數，則故填【點睛】考查奇函數的定義及利用對數的去處法則解對數方程,主要訓練對定義與法則的理解與掌握.2、（2021·全國·高考真題）已知函數，若，則A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對數的運算性質并結合條件的值可求出的值．【詳解】，，故選C【點睛】本題考查對數的運算，利用對數的運算性質是解本題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題．3．（2015·全國·高考真題）設函數,則使成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，定義域為，∵，∴函數為偶函數，當時，函數單調遞增，根據偶函數性質可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.考點：抽象函數的不等式.【思路點晴】本題考查了偶函數的性質和利用偶函數圖象的特點解決實際問題，屬于基礎題型，應牢記．根據函數的表達式可知函數為偶函數，根據初等函數的性質判斷函數在大于零的單調性為遞增，根據偶函數關于原點對稱可知，距離原點越遠的點，函數值越大，把可轉化為，解絕對值不等式即可．

函數對稱性的靈活應用例3．（1）、（2022·全國高三專題練習）已知函數，則A．在（0，2）單調遞增 B．在（0，2）單調遞減C．的圖像關于直線x=1對稱 D．的圖像關于點（1，0）對稱【答案】C【詳解】由題意知，，所以的圖象關于直線對稱，故C正確，D錯誤；又（），由復合函數的單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以A，B錯誤，故選C．【名師點睛】如果函數，，滿足，恒有，那么函數的圖象有對稱軸；如果函數，，滿足，恒有，那么函數的圖象有對稱中心．（2）、（2015·浙江·高考真題）函數（且）的圖象可能為（）A．B．C． D．【答案】D【詳解】因為，故函數是奇函數，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數的基本性質；2.函數的圖象.（3）、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知函數，則（

）A．B．函數有一個零點C．函數是偶函數D．函數的圖象關于點對稱【答案】D【分析】根據題意，判斷函數的單調性，結合單調性性質判斷A，由指數函數的性質可得，結合零點定義判斷B，舉反例判斷C，證明，由此可得函數的對稱性，判斷D，綜合可得答案．【詳解】函數的定義域為，對于A，函數，函數在R上為增函數，易得在R上為增函數，則有，A錯誤；對于B，，有，則有，所以沒有零點，B錯誤；對于C，，，所以，不是偶函數，C錯誤；對于D，因為，所以所以，所以函數的圖象關于點對稱，D正確；故選：D．1、（2021·四川宜賓·三模）已知是定義在上的奇函數，滿足，下列說法：①的圖象關于對稱；②的圖象關于對稱；③在內至少有個零點；④若在上單調遞增，則它在上也是單調遞增．其中正確的是（

）A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④【答案】C【分析】推導出，可判斷①②的正誤；分析得出，可判斷③的正誤；利用函數的單調性與奇偶性、周期性的關系可判斷④的正誤.【詳解】因為且是定義在上的奇函數，則，故函數是周期為的周期函數，且，所以，，故函數的圖象關于對稱，①錯誤，②正確；由題意可知，，因為，令，可得，即，所以，，從而，故函數在內至少有個零點，③正確；因為，，且函數在上單調遞增，則函數在上也為增函數，故函數在上也是單調遞增，④正確.故選：C.2、（2017·全國·高考真題）函數的部分圖像大致為A．B．C．D．【答案】C【詳解】由題意知，函數為奇函數，故排除B；當時，，故排除D；當時，，故排除A．故選C．點睛:函數圖像問題首先關注定義域，從圖像的對稱性，分析函數的奇偶性，根據函數的奇偶性排除部分選擇項，從圖像的最高點、最低點，分析函數的最值、極值，利用特值檢驗，較難的需要研究單調性、極值等，從圖像的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．3、（2023·全國·模擬預測）已知是定義域為R的奇函數，滿足，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．的圖象關于直線對稱 D．是偶函數【答案】B【分析】利用是奇函數、可判斷C；利用奇函數求出，令可判斷A；判斷出是以4為周期的周期函數，利用是奇函數可判斷D；舉反例可判斷B.【詳解】由是定義域為R的奇函數，滿足，得，故C正確；由是定義域為R的奇函數，得．令，則，即，故A正確；由，得．將兩式相減，得，所以是以4為周期的周期函數，所以，因為，所以，即．由是奇函數，得，所以是偶函數，所以也是偶函數，故D正確；設，則滿足已知條件，但，，故B錯誤．故選：B．

函數周期性的靈活應用例4．（1）、（2021·宜賓市翠屏區(qū)天立學校（文））已知函數是定義在上的奇函數，對任意的都有，當時，，則A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，對變形可得，則函數是周期為的周期函數，據此可得，，結合函數的解析式以及奇偶性求出與的值，相加即可得答案．【詳解】根據題意，函數滿足任意的都有，則，則函數是周期為的周期函數，，又由函數是定義在上的奇函數，則，時，，則，則；故；故選A．【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性、對稱性的應用，關鍵是求出函數的周期，屬于基礎題．（2）、（2022·四川·鹽亭中學模擬預測（文））已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則（

）A．3 B．0 C． D．【答案】D【分析】利用函數的周期性、奇偶性、對稱性以及函數的解析式進行求解處理.【詳解】因為，所以，所以的周期為4，所以，又是定義在上的奇函數，所以，所以，又因為在中，令，得，所以，又當時，，所以令，，所以.故A，B，C錯誤.故選：D.（3）、（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知定義在上奇函數滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據已知推導出函數的周期，的范圍，利用已知和推導出的關系將所求轉化為內求解.【詳解】因為為奇函數且滿足.所以，即，所以，所以是周期為4的周期函數.因為,所以所以.故選：B1．（2023·山東日照·校聯(lián)考模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，且，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，求出函數的周期，再結合函數的奇偶性求值即得.【詳解】定義在上的奇函數，由，得，則函數是以4為周期的周期函數，又當時，，所以.故選：D2．（2020·四川閬中中學）已知函數，則（）A．在單調遞增 B．在單調遞減C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱【答案】C【分析】利用復合函數的單調性可判斷出A、B選項的正誤；利用函數對稱性的定義可判斷出C、D選項的正誤.【詳解】對于函數，，解得，則函數的定義域為，且，由于內層函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，外層函數為增函數，所以，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，A、B選項均錯；，所以，函數的圖象關于直線對稱，C選項正確；由上可知不恒為零，所以，函數的圖象不關于點對稱，D選項錯誤.故選：C.【點睛】本題考查對數型復合函數單調性與對稱性的判斷，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知函數的定義域為，若為偶函數，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件推導出函數周期為4，，可求.【詳解】由，令得．令，得，，．因為為偶函數，，即，曲線關于直線對稱．又，圖像關于點中心對稱，，可得，即，又，的周期．，，．故選：A．(五)函數性質的綜合應用例5．（1）、（2022·全國高三專題練習）已知函數，則（）A．4040 B．4038 C．2 D．9【答案】B【分析】根據函數不等式可得，然后分組配對可求和.【詳解】，則故選：B【點睛】關鍵點睛：本題考查利用函數性質解決求和問題，解答本題的關鍵是由，根據，屬于中檔題.（2）、（2022·廣西南寧·三模）函數，則的圖象在內的零點之和為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由題可知函數與函數的圖象在內交點的橫坐標即為函數的零點，利用數形結合及函數的對稱性即得.【詳解】由可得，則函數與函數的圖象在內交點的橫坐標即為函數的零點，又函數與函數的圖象都關于點對稱，作出函數與函數的大致圖象，由圖象可知在內有四個零點，則零點之和為4．故選：B.（3）、（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預測）已知是定義在上的奇函數，若為偶函數且，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據給定的奇偶性，推理計算得，再結合已知值及周期性求解作答.【詳解】因為是定義在R上的奇函數，則，且，又為偶函數，則，即，于是，則，即是以為周期的周期函數，由，得，，，，所以.故選：D1．（2023·全國·模擬預測）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，若，則．【答案】5【分析】根據函數奇偶性的性質分析得出該函數的對稱性，借助雙對稱性的周期將求轉換為求即可得.【詳解】由為奇函數，可得，則的圖象關于點對稱，又的定義域為，則有．由為偶函數得，則的圖象關于直線對稱，則，從而，則，則，故是周期為4的偶函數，所以．而，所以，，故.故答案為：5.2．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考一模）已知函數是R上的奇函數，對任意，都有成立，當，且時，都有，有下列命題：①；②函數圖象關于直線對稱；③函數在上有5個零點；④函數在上為減函數．則以上結論正確的是．【答案】①②【分析】由題意分析的對稱性、單調性、周期性，對結論逐一判斷.【詳解】根據題意，函數是上的奇函數，則；由得，即所以是函數的一條對稱軸；又由為奇函數，則，變形可得，則有，故函數是周期為4的周期函數，當，且時，都有，則函數在區(qū)間上為增函數，又由是上的奇函數，則在區(qū)間上單調遞增；據此分析選項：對于①，，則，，故①正確；對于②，是函數的一條對稱軸，且函數是周期為