高考數(shù)學(xué)壓軸專(zhuān)題2020-2021備戰(zhàn)高考《矩陣與變換》全集匯編附答案解析

【高中數(shù)學(xué)】高考數(shù)學(xué)《矩陣與變換》解析一、151．已知曲線(xiàn)C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩陣A＝所對(duì)應(yīng)的變換T把曲線(xiàn)C變成曲線(xiàn)C1，求曲線(xiàn)C1的方程．【答案】x2＋y2＝2【解析】試題分析：由矩陣變換得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系x＝y(tǒng)′，y＝，再代入已知曲線(xiàn)C方程，得x2＋y2＝2．試題解析：解：設(shè)曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)P(x，y)，P在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q(x′，y′)．則，即x＋2y＝x′，x＝y(tǒng)′，所以x＝y(tǒng)′，y＝．代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′＋2()2＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲線(xiàn)C1的方程為x2＋y2＝2．考點(diǎn)：矩陣變換，相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程2．已知直線(xiàn)：，：，分別求實(shí)數(shù)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，直線(xiàn)與相交？平行？重合？【答案】當(dāng)且時(shí)，相交；當(dāng)時(shí)，平行；當(dāng)時(shí)，重合【解析】【分析】計(jì)算出，，討論是否為0得到答案.【詳解】，（1）當(dāng)且時(shí)，，方程組有唯一解，與相交（2）當(dāng)時(shí)，，與平行（3）當(dāng)時(shí)，，與重合【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3．用行列式解關(guān)于的二元一次方程組：.【答案】時(shí),方程組無(wú)解;時(shí),【解析】【分析】由題方程組中,的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)求出,然后再討論的值進(jìn)行求解方程組的解.【詳解】由題意可得:=,,,∴當(dāng)即時(shí),方程組有唯一解即,;當(dāng)即時(shí),方程組無(wú)解.綜上所述:時(shí),方程組有唯一解;時(shí),方程組無(wú)解.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的矩陣形式、線(xiàn)性方程組解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.4．設(shè)點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)．（1）求矩陣；（2）若直線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下得到直線(xiàn)，求直線(xiàn)的方程．【答案】（1）；（2）3x-4y-10=0.【解析】【分析】（1）設(shè)出矩陣，利用矩陣變換得到關(guān)于、的方程組，利用等式恒成立求出矩陣；（2）設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，利用矩陣變換得到點(diǎn)，代入直線(xiàn)中，求得直線(xiàn)的方程．【詳解】解：（1）設(shè)，由題意，，所以，且恒成立；所以，，，；所以矩陣；（2）設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，，所以，；代入直線(xiàn)中，可得；所以直線(xiàn)的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣變換的計(jì)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，請(qǐng)分別運(yùn)用行列式、向量、平面解析幾何知識(shí)，用其中兩種不同方法求的面積.【答案】【解析】【分析】解法一：用行列式求解，面積公式為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可；解法二：平面解析幾何知識(shí)求解，先求出直線(xiàn)的方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及，利用計(jì)算即可.【詳解】解法一：行列式求解，；解法二：平面解析幾何知識(shí)求解，直線(xiàn)的方程為：，即：，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用三階行列式計(jì)算三角形面積、利用平面向量知識(shí)計(jì)算三角形面積、利用平面解析幾何知識(shí)求解三角形面積，屬于基礎(chǔ)題.6．已知是關(guān)于的方程組的解.（1）求證：；（2）設(shè)分別為三邊長(zhǎng)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)為不全相等的實(shí)數(shù)，試判斷是“”的條件，并證明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）等邊，見(jiàn)解析（3）④，見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將行列式的前兩列加到第三列上即可得出結(jié)論；（2）由方程組有非零解得出0，即0，將行列式展開(kāi)化簡(jiǎn)即可得出a＝b＝c；（3）利用（1），（2）的結(jié)論即可答案．【詳解】（1）證明：將行列式的前兩列加到第三列上，得：（a+b+c）?．（2）∵z0＝1，∴方程組有非零解，∴0，由（1）可知（a+b+c）?0．∵a、b、c分別為△ABC三邊長(zhǎng)，∴a+b+c≠0，∴0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．（3）若a+b+c＝0，顯然（0，0，0）是方程組的一組解，即x02+y02+z02＝0，∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分條件；若x02+y02+z02＞0，則方程組有非零解，∴（a+b+c）?0．∴a+b+c＝0或0．由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要條件．故答案為④．【點(diǎn)睛】本題考查了行列式變換，齊次線(xiàn)性方程組的解與系數(shù)行列式的關(guān)系，屬于中檔題．7．用行列式法解關(guān)于、的二元一次方程組，并對(duì)解的情況進(jìn)行討論.【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】寫(xiě)出，討論，，時(shí)的三種情況得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，原方程組有唯一組解；當(dāng)時(shí)，，，原方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，，，原方程組有無(wú)窮組解.綜上所述：是，有唯一解；時(shí)，無(wú)解；時(shí)，無(wú)窮組解.【點(diǎn)睛】本題考查了利用行列式計(jì)算二元一次方程組，意在考查學(xué)生對(duì)于行列式的應(yīng)用能力.8．設(shè)（，k為正整數(shù)）（1）分別求出當(dāng)，時(shí)方程的解.（2）設(shè)的解集為，求的值及數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）時(shí),方程的解為，;時(shí)，的解為，（2）;前項(xiàng)和為【解析】【分析】（1）根據(jù)定義化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后根據(jù)一元二次方程求出當(dāng)，時(shí)方程的解即可；（2）由即的解集為建立關(guān)系式，然后取，可求出的值，最后根據(jù)進(jìn)行求解即可；【詳解】解：（1），當(dāng)時(shí)，所以方程的解為，；當(dāng)時(shí)，所以方程的解為，；（2）由即的解集為.∴，∴時(shí)，，時(shí)，.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二階行列式的定義，以及數(shù)列的求和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.9．關(guān)于的矩陣，列向量.（1）已知，，，計(jì)算，并指出該算式表示的意義；（2）把反比例函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求得到曲線(xiàn)的方程；（3）已知數(shù)列，，猜想并計(jì)算.【答案】（1），表示把向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的向量；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量與矩陣的乘法可計(jì)算結(jié)果，由旋轉(zhuǎn)變換的運(yùn)算法則即可得到算式表示的意義；（2）由題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣，設(shè)xy=1上的任意點(diǎn)在變換矩陣A作用下為，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求得曲線(xiàn)的方程；（3）分別求出n=1，n=2，n=3時(shí)矩陣相乘的結(jié)果，由此猜想算式關(guān)于n的表達(dá)式，從而可求得所求算式的結(jié)果.【詳解】（1），該算式表示把向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的向量；（2）由題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣，設(shè)xy=1上的任意點(diǎn)在變換矩陣A的作用下為，則，，則，將曲線(xiàn)xy=1繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得曲線(xiàn)的方程為；（3）當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，，當(dāng)n=3時(shí)，，由此猜想：當(dāng)n=k時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量經(jīng)矩陣變換后的向量求法，曲線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)變換和矩陣的乘法，關(guān)鍵掌握住變換的運(yùn)算法則和矩陣的乘法公式，屬中檔題.10．將一枚六個(gè)面的編號(hào)為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后擲兩次，記第一次出的點(diǎn)數(shù)為，第二次出的點(diǎn)數(shù)為，且已知關(guān)于、的方程組.（1）求此方程組有解的概率；（2）若記此方程組的解為，求且的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)方程組有解得關(guān)系，再確定取法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果；（2）先求方程組解，再根據(jù)解的情況得關(guān)系，進(jìn)而確定取法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)榉匠探M有解，所以而有這三種情況，所以所求概率為；（2）因?yàn)榍?，所以因此即有種情況，所以所求概率為；【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率以及二元一次方程組的解，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.11．已知直線(xiàn)l：ax＋y＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€(xiàn)l′：x＋by＝1.(1)求實(shí)數(shù)a、b的值；(2)若點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)l上，且A＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）(1，0)【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)l：ax＋y＝1上任意點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下像是M′(x′，y′)．由＝＝，得.又點(diǎn)M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1即x＋(b＋2)y＝1.依題意，得解得(2)由A＝，得解得y0＝0.，又點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)l上，所以x0＝1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)．12．在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的直線(xiàn)仍為，求矩陣的逆矩陣.【答案】.【解析】試題分析：應(yīng)用結(jié)合矩陣變換的定義可得：，據(jù)此求解逆矩陣可得：.試題解析：設(shè)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，其在矩陣對(duì)應(yīng)的變化下得到仍在直線(xiàn)上，所以得，與比較得，解得，故,求得逆矩陣.13．已知二階矩陣的特征值所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為.（1）求矩陣M；（2）設(shè)曲線(xiàn)C在變換矩陣M作用下得到的曲線(xiàn)的方程為，求曲線(xiàn)C的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)特征值和特征向量的定義式寫(xiě)出相應(yīng)的矩陣等式，轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性方程組可得的值，即可得到矩陣M；（2）根據(jù)矩陣對(duì)應(yīng)的變換寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的矩陣恒等式，通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化計(jì)算可得出曲線(xiàn)C的方程．【詳解】解：（1）依題意得，即，解得，所以；（2）設(shè)曲線(xiàn)C上一點(diǎn)在矩陣M的作用下得到曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則，即，因?yàn)?，所以，所以曲線(xiàn)C的方程為．【點(diǎn)睛】本題主要考查特征值和特征向量的定義計(jì)算的能力，以及矩陣對(duì)應(yīng)的變換得出變換前的曲線(xiàn)方程，本題屬中檔題．14．已知矩陣，A的兩個(gè)特征值為，=3.（1）求a，b的值；（2）求屬于的一個(gè)特征向量.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用特征多項(xiàng)式，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求，的值；（2）利用求特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．【詳解】（1）令，于是，．解得，.（2）設(shè)，則，故解得．于是．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．15．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿(mǎn)分10分）已知矩陣A＝(k≠0)的一個(gè)特征向量為α＝，A的逆矩陣A－1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(3，1)變?yōu)辄c(diǎn)(1，1)．求實(shí)數(shù)a，k的值．【答案】解：設(shè)特征向量為α＝對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則＝λ，即因?yàn)閗≠0，所以a＝2．5分因?yàn)?，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝1．綜上，a＝2，k＝1．10分【解析】試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k考點(diǎn)：特征向量,逆矩陣點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，考查逆矩陣．16．已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣．【答案】．【解析】試題分析：，所以．試題解析：B．因?yàn)?，所以?7．己知矩陣.（1）求；（2）若曲線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線(xiàn)，求的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)逆矩陣的求法，求得的逆矩陣.（2）設(shè)出上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出其在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)變換列方程，解方程求得兩者坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系式，再代入方程，化簡(jiǎn)后可求得的方程.【詳解】解（1）設(shè)所求逆矩陣為，則，即，解得，所以.（2）設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，則，即，解得.因?yàn)?，所以，整理得，所以的方程?【點(diǎn)睛】本小題主要考查逆矩陣的求法，考查利用矩陣變換求曲線(xiàn)方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18．已知矩陣，（1）求逆矩陣；（2）若矩陣滿(mǎn)足，試求矩陣．【答案】（1）（2）【解析】【分析】【詳解】（1）設(shè)=，則==．∴解得∴=（2）19．已知矩陣，向量.（1）求矩陣的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量；（2）求.【答案】（1）特征值為，，分別對(duì)應(yīng)的特征向量為和，（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量；（2），即可求．【詳解】（1）矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，可求得特征值為，，設(shè)對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，則由，得，可令，則，所以矩陣的一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，同理可得矩陣的一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為．（2）所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．20．設(shè)函數(shù)（a為實(shí)數(shù)）.（1）若，解不等式；（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式成立，求a的取值范圍；（3）設(shè)，若存在x使不等式成立，求a的取值范圍.【答案】(1)或;(2);(3)【解析