高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點與練習(xí)合情推理和演繹推理

1．合情推理歸納推理①定義：從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，稱為歸納推理 (簡稱歸納法)．②特點：歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理．類比推理①定義：根據(jù)兩個 (或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理 (簡稱類比法)．②特點：類比推理是由特殊到特殊的推理．合情推理：合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程．歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理．2．演繹推理演繹推理：一種由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．“三段論”是演繹推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．()“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的．()一個數(shù)列的前三項是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是an＝n(n∈N*)．()專注·專業(yè)·口碑·極致 -1-(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確． ( )1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，，則a10＋b10＝________.2．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是________．①使用了歸納推理；②使用了類比推理；③使用了“三段論”，但推理形式錯誤；④使用了“三段論”，但小前提錯誤．3．(2014·建福)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個關(guān)系：① a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一個正確，則 100a＋10b＋c＝________.4．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為 1∶2，則它們的面積比為 1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為 1∶2，則它們的體積比為 __________．5．(教材改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列 {bn}中，若b9＝1，則b1b2b3b4 bn＝________________.題型一 歸納推理命題點1 與數(shù)字有關(guān)的等式的推理例1 (2015·陜西)觀察下列等式：1－1＝1，221－1＋1－1＝1＋1，234341－1＋1－1＋1－1＝1＋1＋1，，23456456據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_______________．命題點2 與不等式有關(guān)的推理專注·專業(yè)·口碑·極致 -2-例214xx427xxx＋27≥4，，已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋≥2，x＋2＝＋＋2≥3，x＋3＝＋＋x3xx22xx333a*類比得x＋xn≥n＋1(n∈N)，則a＝________.命題點3與數(shù)列有關(guān)的推理例3古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，，第n個三角形數(shù)為nn＋11212＝n＋n，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表22達(dá)式：三角形數(shù)121n，N(n,3)＝n＋22正方形數(shù)N(n,4)＝n2，五邊形數(shù)321n，N(n,5)＝n－22六邊形數(shù)N(n,6)＝2n2－n可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計算N(10,24)＝____________.命題點4 與圖形變化有關(guān)的推理例4 某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為°；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來段與原線段兩夾角為120°，，依此規(guī)律得到n級分形圖．n級分形圖中共有________條線段；(2)n級分形圖中所有線段長度之和為 ________．

1，兩兩夾角為1的線段，且這兩條線3思維升華 歸納推理問題的常見類型及解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解．與不等式有關(guān)的推理．觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解．與數(shù)列有關(guān)的推理．通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可．與圖形變化有關(guān)的推理．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕^察下圖，可推斷出“x”處應(yīng)該填的數(shù)字是________．專注·專業(yè)·口碑·極致 -3-如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，，依此類推，如果一個六邊形點陣共有 169個點，那么它的層數(shù)為 ________．題型二類比推理例5已知數(shù)列{anam＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*m＋n＝nb－ma.類比等差}為等差數(shù)列，若)，則an－m數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列nn*m＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可(b>0，n∈N)，若b以得到bm＋n＝________.思維升華(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想．其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵．(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等．在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為P，P，P，我們可以得到結(jié)論：Pa＋Pb＋Pc＝1.把它類比到空間，則三棱錐中的類abchahbhc似結(jié)論為______________________．題型三 演繹推理例6數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2Sn(n∈N*)．證明：nSn(1)數(shù)列 是等比數(shù)列；n(2)Sn＋1＝4an.思維升華 演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立專注·專業(yè)·口碑·極致 -4-的充分條件作為大前提．某國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝．”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為 ________．①大前提錯誤； ②小前提錯誤；③推理形式錯誤； ④非以上錯誤．10．高考中的合情推理問題典例(1)傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù) 1,3,6,10，記為數(shù)列{an}，將可被 5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：b2014是數(shù)列{an}的第________項；②b2k－1＝________.(用k表示)設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y＝f(x)滿足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)對任意x1，x2∈S，當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)．那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”．以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是________．①A＝N*，B＝N；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A＝Z，B＝Q.溫馨提醒(1)解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤．應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況再進(jìn)行歸納．解決類比問題，應(yīng)先弄清所給問題的實質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問題．[方法與技巧]1．合情推理的過程概括為專注·專業(yè)·口碑·極致 -5-從具體問題出發(fā) ―→觀察、分析、比較、聯(lián)想 ―→歸納、類比 ―→提出猜想2．演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論．?dāng)?shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行．[失誤與防范]1．合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進(jìn)一步嚴(yán)格證明．2．演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．3．合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)．A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1．下列推理是歸納推理的是________．①A，B為定點，動點P滿足PA＋PB＝2a>AB，則P點的軌跡為橢圓；②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式；2222x2y2③由圓x＋y＝r的面積πr，猜想出橢圓a2＋b2＝1的面積S＝πab；④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇．2．正弦函數(shù)是奇函數(shù)， f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理________．①結(jié)論正確； ②大前提不正確；③小前提不正確； ④全不正確．3．平面內(nèi)有 n條直線，最多可將平面分成 f(n)個區(qū)域，則 f(n)的表達(dá)式為 f(n)＝__________.4．給出下列三個類比結(jié)論：(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是________．5．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}(bn＝a1＋a2＋＋an)也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正n項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為__________．①dn＝c1＋c2＋＋cn②dn＝c1·c2··cnnn專注·專業(yè)·口碑·極致 -6-nc1n＋c2n＋＋cnn④dn＝n③dn＝nc1·c2··cn6．觀察下列不等式：31＋22<2，151＋22＋32<3，1 1 1 71＋2＋2＋2<，2 3 4 4照此規(guī)律，第五個不等式為 ________________________．x22y7．若P0(x0，y0)在橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在的直線方程是x0xy0y＝1，那么對于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線x2y2a2＋22－2＝1(a>0，babb>0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程是 ________________．8．已知等差數(shù)列 {an}中，有a11＋a12＋＋a20＝a1＋a2＋＋a30，則在等比數(shù)列 {bn}中，會有類似的結(jié)10 30論：______________________.9．設(shè)f(x)＝1，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給3x＋3出證明．B組 專項能力提升(時間：30分鐘)11．已知①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等；③正方形是矩形．根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論．則這個結(jié)論是 ________．(填序號)12．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形 ABC的內(nèi)切圓面積為 S1，外接圓面積為 S2，則S1＝1，推廣S2 4到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體 P—ABC的內(nèi)切球體積為 V1，外接球體積為 V2，則V1＝V2________.專注·專業(yè)·口碑·極致 -7-13．如圖(1)若從點O所作的兩條射線 OM、ON上分別有點 M1、M2與點N1、N2，則三角形面積之比SS

OM1N1＝OM1ON1，若從點O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點OM2·.如圖(2)OM2N2ON2P1、P2，點Q1、Q2和點R1