福建省廈門市第六中學(xué)2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

福建省廈門市第六中學(xué)2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（）A． B． C．8 D．62．是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐的體積為（）A． B． C． D．3．已知集合,，則A． B．C． D．4．已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．不充分不必要5．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減6．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最大值為()A．7 B．15 C．31 D．639．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．10．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使得成立的概率為等差數(shù)列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．1111．我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤12．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，將與分別沿、向上折起，使、重合為點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若，則a的取值范圍是______．14．某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為______.15．已知平面向量，的夾角為，且，則=____16．“”是“”的__________條件.（填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件，根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖，若尺寸落在區(qū)間之外，則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件，其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求樣本平均數(shù)的大小；（2）若一個(gè)零件的尺寸是100cm，試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.18．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）19．（12分）已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對(duì)任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.20．（12分）記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項(xiàng)和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.21．（12分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：加工1個(gè)零件用時(shí)（分鐘）20253035頻數(shù)（個(gè)）15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過100分鐘的概率.22．（10分）已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線Γ上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L，問直線NL是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，半焦距為，則，，設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.2、D【解析】

首先由題意得，當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí)，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現(xiàn)，的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心，也即四棱錐的外接球球心，則可得到，進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖，四邊形為等腰梯形，則其必有外接圓，設(shè)為梯形的外接圓圓心，當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí)，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)必在上，、分別為、的中點(diǎn)，則必有，，即為直角三角形.對(duì)于等腰梯形，如圖：因?yàn)槭堑冗吶切?，、、分別為、、的中點(diǎn)，必有，所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，，所以四棱錐底面的高為，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置，這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力，是一道難度較大的題目.3、D【解析】

因?yàn)?,所以,,故選D．4、B【解析】

由線面關(guān)系可知，不能確定與平面的關(guān)系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，，當(dāng)時(shí)，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.5、C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

對(duì)分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)含有個(gè)元素的集合，有個(gè)子集，有個(gè)真子集，計(jì)算可得；【詳解】解：集合含有個(gè)元素，則集合的真子集有（個(gè)），故選：C【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對(duì)于含有個(gè)元素的集合，有個(gè)子集，有個(gè)真子集，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】試題分析：由程序框圖可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后輸出，此時(shí)，則的最大值為15，故選B.考點(diǎn)：程序框圖.9、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長(zhǎng)度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長(zhǎng)度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數(shù)列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間長(zhǎng)度為6，使得成立的的范圍為，區(qū)間長(zhǎng)度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有長(zhǎng)度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題目.11、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選C12、A【解析】

由題意等腰梯形中的三個(gè)三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正四面體，設(shè)是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設(shè)外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

函數(shù)等價(jià)為，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增，即為，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】，等價(jià)為，且時(shí)，遞增，時(shí)，遞增，且，在處函數(shù)連續(xù)，可得在R上遞增，即為，可得，解得，即a的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長(zhǎng)為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.15、1【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得；將化簡(jiǎn)并代入即可求得.【詳解】，則，平面向量，的夾角為，則由平面向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量模的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）66.5（2）屬于【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解；（2）求出，即可判斷得解.【詳解】（1）（2）所以該零件屬于“不合格”的零件【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.（2）同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.【詳解】（1）令，，則，而，，故.（2）令，，則，而，，故，化簡(jiǎn)得到.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的導(dǎo)數(shù)，本題屬于容易題.19、（1）（2）存在，【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出,進(jìn)而求出;由題意得，，，兩式相減得，，據(jù)此可得,當(dāng)時(shí),,進(jìn)而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進(jìn)而可得,結(jié)合，得到關(guān)于的不等式,再由時(shí)，且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，所以，故，兩式相減得，在中令，則可得，故所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列，所以，因?yàn)椋?（2）由題意得，故，兩式相減得所以，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)樗援?dāng)時(shí),所以成立,所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí),成立,所以，所以在中令，因?yàn)?，所以可得，所以，由時(shí)，且為整數(shù)，可得,把分別代入不等式可得,，所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列遞推公式的運(yùn)用;考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力和對(duì)新定義的理解能力;通過反復(fù)利用遞推公式,得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.20、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項(xiàng)和.（2）推導(dǎo)出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，，是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：∵無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，，，是遞增數(shù)列，∴，∴的前項(xiàng)和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，，根據(jù)，的定義，得：，，且兩個(gè)不等式中至少有一個(gè)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，必有，∴，∴是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，∴是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則必有，∴，∴是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，∴，，∴，∴.∴是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，∵，中必有一個(gè)為0，根據(jù)上式，一個(gè)為0，為一個(gè)必為0，∴，，∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.21、（1）分布列見解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列，并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出劉師傅講座及加工個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過分鐘的概率.【詳解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）設(shè)，分別表示講座前、講座后加工該零件所需時(shí)間，事件表示“留師傅講座及加工兩個(gè)零件示范的總時(shí)間不超過1