2024年4月高三數(shù)學(xué)（文）全國卷模擬考試卷附答案解析

年4月高三數(shù)學(xué)（文）全國卷模擬考試卷試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2024.4注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)，則（

）A． B．1 C． D．2．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B． C． D．4．若關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．或0 D．0或15．已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．下圖是某全國性冰淇淋銷售連鎖機(jī)構(gòu)的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月銷售量折線圖（單位：杯），則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）

A．這8個(gè)月月銷售量的極差是3258 B．這8個(gè)月月銷售量的中位數(shù)是3194C．這8個(gè)月中2月份的銷量最低 D．這8個(gè)月中銷量比前一個(gè)月增長最多的是4月份7．已知向量，，則（

）A． B． C． D．8．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．9．某導(dǎo)航通訊的信號可以用函數(shù)近似模擬，若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．11．分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．13 C．40 D．12112．在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，若的概率為，則.14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若不是的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).15．阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，且與橢圓上、下頂點(diǎn)連線的斜率之積為．記橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則的面積可能為．（橫線上寫出滿足條件的一個(gè)值）16．如圖，在中，，為邊上的一點(diǎn)，且，則.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17．某校為了了解學(xué)生每周參加課外興趣班的情況，隨機(jī)調(diào)查了該校1000名學(xué)生在2023年最后一周參加課外興趣班的時(shí)長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．直方圖中成等差數(shù)列，時(shí)長落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為200．(1)求出直方圖中的值；(2)估計(jì)樣本時(shí)長的中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(3)從參加課外興趣班的時(shí)長在和的學(xué)生中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行參加興趣班情況的深入調(diào)查，求被抽到的2人中參加課外興趣班的時(shí)長在和恰好各一人的概率．18．如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．19．已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前10項(xiàng)和．20．已知拋物線的焦點(diǎn)為．點(diǎn)在拋物線上，且．(1)求；(2)過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，原點(diǎn)為，若直線分別交直線：于兩點(diǎn)，求線段長度的最小值．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；(2)已知點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足．(1)求的最小值；(2)求證：.1．B【分析】利用分母實(shí)數(shù)化對進(jìn)行化簡，從而得到答案.【詳解】由題意可得，所以．故選：B．2．C【分析】先化簡集合B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選：C3．B【分析】根據(jù)定義域、特殊值可以對選項(xiàng)進(jìn)行排除，從而得到正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，故排除；又，故排除；，故排除D．故選：B．4．C【分析】由已知，關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，則直線垂直于直線或直線垂直于直線，從而得到值.【詳解】由題意，當(dāng)直線垂直于直線時(shí)，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.當(dāng)直線垂直于直線時(shí)，表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，所以.故選:C．5．A【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的最小值即可求解.【詳解】因?yàn)槊}“”為真命題，所以．令與在上均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，故選：A．6．B【分析】先將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，再根據(jù)極差，中位數(shù)的定義可判斷A和B；根據(jù)折線圖可判斷C和D.【詳解】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，對于A，極差是，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以中位?shù)是第四個(gè)數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故B錯(cuò)誤；對于C，這8個(gè)月中2月份的銷量最低，故C正確；對于D，這8個(gè)月中銷量比前一個(gè)月增長最多的是4月份，增加了1619，故D正確．故選：B．7．B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先求，再分別求和，利用求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，所以．故選：B8．D【分析】利用三角函數(shù)的定義可求出的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以.故選：D.9．A【分析】先求出函數(shù)的零點(diǎn)，然后根據(jù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，可知在上的零點(diǎn)依次為，若在上有3個(gè)零點(diǎn)，則．故選：A．10．A【分析】利用當(dāng)時(shí)，判斷，通過函數(shù)在是減函數(shù)判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，也就是說當(dāng)時(shí)，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故選：A11．C【分析】本題是一個(gè)探究型的題目，從圖①中讀取信息：白球分形成兩白一黑，黑球分型成一白兩黑；由圖②，從第二行起，球的總個(gè)數(shù)是前一行的3倍，白球的個(gè)數(shù)是前一行白球個(gè)數(shù)的兩倍加上黑球的個(gè)數(shù)，黑球的個(gè)數(shù)是前一行黑球個(gè)數(shù)的兩倍加上白球的個(gè)數(shù).由此建立遞推關(guān)系求解得到結(jié)果.【詳解】設(shè)題圖②中第行白心圈的個(gè)數(shù)為，黑心圈的個(gè)數(shù)為，依題意可得，且有，所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，①；又，，故有，∴為常數(shù)數(shù)列，且，所以是以為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，②；由①②相加減得：，；所以．故選：C．12．C【分析】根據(jù)線面垂直判定定理，證明線面垂直并作圖，明確外接球的球心位置，利用正弦定理求得底面外接圓的半徑，結(jié)合圖中的幾何性質(zhì)，求得外接球的半徑，可得答案.【詳解】由題意可知，．且平面，平面，所以平面．設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，即，所以．設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的表面積為．故選：C．13．2【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式，根據(jù)長度之比即可求解.【詳解】顯然．區(qū)間長度是7，區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)的解集為，區(qū)間長度為，所以的概率為，所以．故答案為：214．3【分析】設(shè)，依題意有，解出的值并檢驗(yàn)即可.【詳解】由，設(shè)，若不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則必有，即，所以．當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此是的極值點(diǎn)，不是極值點(diǎn)，滿足題意，故．故答案為：315．2（答案不唯一，在內(nèi)的任何數(shù)都可以）【分析】根據(jù)給定條件，求出，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式求出，再求出焦點(diǎn)三角形面積的范圍即得.【詳解】由橢圓的面積為，得，解得，設(shè)點(diǎn)，顯然，由，得，橢圓的上、下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，即，解得，半焦距，的面積，而且，因此，所以的面積可能為2.故答案為：216．【分析】在中由正弦定理求出，即可求出，再代入求出，最后由為等腰直角三角形得解.【詳解】由題可知，在中，由正弦定理得，即，得，又，由圖可得為鈍角，所以，所以，則，則，又，所以為等腰直角三角形，則．故答案為：17．(1)(2)71.7，73(3)【分析】（1）先求出c,再利用面積和為1求出，再結(jié)合等差數(shù)列求解a，b;（2）利用左右面積相等求中位數(shù)，由頻率乘組距求和得平均數(shù)；（3）由分層抽樣確定和的人數(shù)，再利用列舉法求解概率.【詳解】（1）由已知可得，則，即，又成等差數(shù)列，，解得．（2），設(shè)中位數(shù)為，且，，解得，即中位數(shù)為71.7;平均數(shù)為;（3）由（1）知，按照分層抽樣隨機(jī)抽取6人中，參加課外興趣班的時(shí)長在內(nèi)的有人，記為，參加課外興趣班的時(shí)長在內(nèi)的有人，記為．從中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件有:，，共15種，其中，被抽到的2人中參加課外興趣班的時(shí)長在和的恰好各一人的事件有:，共8種．所以被抽到的2人中參加課外興趣班的時(shí)長在和的恰好各一人的概率為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，再得到線線垂直，利用勾股定理求出線段長度，最后利用線段長度符合勾股定理證明線線垂直；（2）轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，以為頂點(diǎn)，以為底面，從而即可得到體積.【詳解】（1）連接，平面平面，平面平面，面，平面，又平面，則，是直角三角形，即．在梯形中，作于，則，則．又，則，．（2），平面平面，平面平面，面，平面．由（1）知，.19．(1)(2)【分析】（1）已知與的關(guān)系求通項(xiàng)公式，用退位作差，再利用平方差公式進(jìn)行化簡，最后對時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，得到數(shù)列是等差數(shù)列，從而寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)得到，觀察數(shù)列通項(xiàng)公式特點(diǎn)，裂項(xiàng)，進(jìn)而得到前10項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意知：，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，因?yàn)?，可得．又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，解得或（舍去），所以（符合），從而，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由題意得，所以，所以.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上符合拋物線的方程和拋物線的定義得到兩個(gè)方程，聯(lián)立可解得p；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程得到兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線，分別與直線方程聯(lián)立得到兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由距離公式表示出線段長度，整理后轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值問題，進(jìn)而得到線段長度的最小值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，因?yàn)?，所以由拋物線定義得，解得或（舍）．所以．（2）由（1）知，拋物線的方程為，．若直線的斜率不存在，則與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，，，則直線的方程為，聯(lián)立消去得，所以，從而有．由得直線的方程，聯(lián)立解得，同理．所以令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以線段長度的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中線段（距離）類的最值（范圍）問題（1）幾何法：利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；（2）代數(shù)法：把要求最值的幾何量或代數(shù)式表示為一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)、不等式的知識(shí)進(jìn)行求解.21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得斜率，再利用點(diǎn)斜式求直線并化簡即可；（2）由導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)得和，得到，轉(zhuǎn)化為證明，換元，證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則切線方程為，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）證明：函數(shù)是的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，則有，且，由，得．要證，只要證明，即證．記，則，因此只要證明，即．記，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，則，即，則在上單調(diào)遞增，，即成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵是利用零點(diǎn)代換得，進(jìn)而換元求解函數(shù)最值即可證明.22．(1)，(2)【分析】（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程，利用消參法可得曲線的普通方程；（2）求出直線l的參數(shù)方程（其中為參數(shù)），聯(lián)立曲線的普通方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，利用t的幾何意義，即可求得答案.