最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)胡壽松版課后習題答案

被積函數(shù)L=1+i2,,故x=c?其通解為：x=ct+c?2-6已知狀態(tài)的初值和終值為x(1)=4,x(ts)=4x(t):歐拉方程：根據(jù)橫截條件可得：值軌線x(t)。99移動。試證：當泛函取極值時，橫截條件為證：根據(jù)題意可知，此題屬于起點固定，末端受約束情況，由P,將(2)代入(1)式，得：2-13設系統(tǒng)狀態(tài)方程x?(t)=u(t),x?(O)=1性能指標如下：構造H:正則方程：可求得得有(2)若t,自由由哈密頓函數(shù)在最優(yōu)軌線末端應滿足的條件因為時間總為正值，所以此題無解。3-2設二階系統(tǒng)的狀態(tài)方邊界條件能指標的極小值：解：由題可知構造H:試求下列性x?(0)=1,x?(0)=1試求下列性x?(2)=0,x,(2)=0由協(xié)態(tài)方程和極值條件：得代入狀態(tài)方程得：即,代入初始故i(t)=-x(t)+u(t),x(0)=1哈密頓函數(shù)達到極小值就相當于使性能指標極小，因5解得于是，最優(yōu)軌線最優(yōu)解曲線如下：3-5控制系統(tǒng)試求最優(yōu)控制μ(t),u,(t)以小值。解：哈密爾頓函數(shù)為H=x+μ2+u2+Aμ+3?(x?+u?由協(xié)態(tài)方程：由極值條件：解得由狀態(tài)3-6已知二階系統(tǒng)方程式中構造哈密頓函數(shù)為：,由哈密頓函數(shù)矛盾),由協(xié)態(tài)方程有：由所給狀態(tài)方程及初始條件解得：3-7已知二階系統(tǒng)方程,式中控制約束為使性能指標解：由題可知按照最小值原理，最優(yōu)控制應取由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線的變化規(guī)律H(I)=H(f)=0可得可以求出u(0)=0由協(xié)態(tài)方程時(試取),代入初始條,故最優(yōu)控制為,(O≤t≤3)相應的最優(yōu)性能指標為999跡x(t)。,解得：u(t)=12t-6,3-28已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程,控制約束為(t)|≤1。由協(xié)態(tài)方程得：λ(t)=c?λ(t)=-ct+c?,知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，①若u(t)=1時，代入狀態(tài)方程考慮到初始狀態(tài)(xo,X):9取開關曲線為過(2,1)的那條曲線，即開關曲線x2試求使系統(tǒng)由已知初態(tài)最快地轉移到坐標原點的時間最優(yōu)控制u*(t)和開關曲線。(注：本題書上的x,(t)=-x?(t)+u(t)是錯的，因為按書上的x,(t)得解：本例為二次積分模型的最小時間控制問題。容易判定系統(tǒng)可知最優(yōu)控制：知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】,【-1】,【+1,-1】,【-1,②同理，若u(t)=-1時，解得：消t得：開關曲線圖如下：本題初始點A(1,1),最優(yōu)控制曲線如上圖，最優(yōu)控制律為{-1,3-33已知受控系,目標集為s={(x,x,)|x2+x2=1,試求由目標集外的任意初態(tài)(ξi,5)轉移到目標集的時間最優(yōu)控制律u(t)c解：哈密爾頓函數(shù)為H=1+λxs+λu,協(xié)態(tài)方程邊由極小值條件知，最優(yōu)控制律：u(I)=-sgn[a,()]由相軌跡方程與目標集相切且滿足末態(tài)要求的相軌跡曲線：ii、當初態(tài)(5與)在Q?區(qū)域或y,Uy:上時，知最優(yōu)控制為3-42已知系統(tǒng)方程x?(t)=x?(t),x?(0)=2,x?(8)=0控制約束|u(t)|≤1。試求以切換時間表示的時間-燃料最優(yōu)控制u*(t),使性能指標取極小值，并求最優(yōu)控制J*。由極小值條件知：9因為初態(tài)由狀態(tài)方程解得：③當t,<t<8時，1,初態(tài)為：4-4設二階離散系統(tǒng)x;(k+1)=2x;(k)+u(k),x?(0)=1試求使性能指標：x?(k+1)=x?(k)+x?(k),x?(O)=0②令1,0時：J[x(=1)],xmi?nt?,代入初始9…9于是本題的最優(yōu)控制，最優(yōu)軌線及最優(yōu)代價分別為：試用連續(xù)動態(tài)規(guī)劃求最優(yōu)控制ua)和最優(yōu)軌線x(t)。解：解：(1)由題意可得：,將u(t)代入狀態(tài)方程，得閉環(huán)系統(tǒng)方程：代入初始解得：u(t)=-2e'(cost-sint)。,試確定該系統(tǒng)的哈密頓-雅可比方程。解：令哈密頓函數(shù)為：代入u(t),得：因為系統(tǒng)是時不變的，并且性能指標的被積函數(shù)不是時間的顯函數(shù)，故則有225-8給下列二階系統(tǒng)：性能指標極?。航猓涸擃}為有限時間狀態(tài)調節(jié)器問題。由題意得：95-10已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,性能指標極?。航猓涸擃}為無限時間狀態(tài)調節(jié)器問題。由題意得：.R=1,9控，{A,D}可觀，故u(t)存在且唯一。函數(shù)。其中α>0,F滿足式P(A+al)+(A?+aD)P-PBR1B′P+Q=0。iu)=x(O[d~FBR1B2+F(A-BR`B^F)K()=6-2設有二次積分模型：x,()=u(1),性能指標：,]所以，{}可控，{}可觀，{}可觀，故可以構造漸近穩(wěn)定的最優(yōu)輸最優(yōu)性能指標：6-3已知系統(tǒng)的動態(tài)方程：y(t)=[10]x?(t)試求使性能指標極小并使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最優(yōu)控制u()。].9解得閉環(huán)系統(tǒng)特征值為：所以閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。6-10設用控制系統(tǒng)可以自動地保持潛艇的深度，潛艇從艇尾水平角0α)到實際深度●●●●●●●●●●●●●●●●●(指標t,構造哈密頓函數(shù)：根據(jù)極小值原理可知，相應于正?；《蔚淖顑?yōu)控制為如下邦-邦邦-邦弧段滿足下列正則方程：函數(shù)H線性依賴于u,所以可能存在奇異弧。在奇異弧上必有：解方程組知：得異最優(yōu)解：,即系統(tǒng)有奇異解。8-6已知系統(tǒng)方程試用奇異調節(jié)器方法求奇異最優(yōu)控制u(t).此時u*(()=-K,()A(I)x(I),式中K(Q)=[B'QBJ'B'[A^P+Q]=[-1-2],即u*(I)=-K?(Dx?(I)=[12]x;(),9-3設隨機系統(tǒng)狀態(tài)方程為：x(t)=F(t)x(t)+G(t)u(t)+w(t)試證明：x(t)的均值和方差陣分別為：證明：x(t)的均值滿足以下矩陣微分方程：其解為：證得一式。=E[(x?-E[x(t?)])(x?-E[x(t?)])′]應滿足P(t)=F(t)P(t)+P(t)F?(t)+G(t)Q?(t)G1(t)Px(t,t+t)=P(t)φ?(t+t,t)又可得證畢。9-5設隨機系統(tǒng)方程為式中w(t)與v(t)為互不相關的零均值高斯白噪聲，其方差為q2和r2。試求最優(yōu)控制u(Q),使下列性能指標極·:式中p>0。解：依據(jù)定理9-7(線性連續(xù)隨機系統(tǒng)分離定理),可知而P(t)滿足下列矩陣微分方程及其邊界條件：解…出P(t?)=PA(t?)=m?(6)式中增益矩陣●●●●●P(t?)=P? 其中,a=r√2+q2……(9) 將(9)式代入(7)式得到：其中 將(5)式和(11)代入(1)式，即可算出最優(yōu)控制u(t)=-K(t)A(t)=……φ(k+1,k)P(k|k-1)H(