湖南省長沙市國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省長沙市國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知＜x＜，則tan為A.

B.

C.2

D.參考答案：A略2.已知菱形ABCD的邊長為，對角線，點P在邊DC上點Q在CB的延長線上，且，則向量的值是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求結(jié)果.【詳解】以AC，BD所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,所以，故選B【點睛】本題考查利用坐標(biāo)求向量數(shù)量積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.設(shè)全集U是自然數(shù)集N，集合，則如圖所示的陰影部分的集合為A. B. C. D.參考答案：C4.已知直線m,l,平面,,且m^,lì,給出下列命題:①若//,則m^l；②若^,則m//l；③若m^l,則//；④若m//l,則^。其中正確命題的個數(shù)是A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B略5.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，圖中空白執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入（

）

A．

B．

C．

D．開始i=1,S=0S=S+

輸出S結(jié)束否是

2013參考答案：D略6.在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為（）A．11π B．7π C． D．參考答案：D考點：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，則有該三棱錐的外接球的半徑R═=，∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR2=4π×（）2=．故選：D．點評：本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．7.已知直角坐標(biāo)原點O為橢圓C：的中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，在區(qū)間(0,2)任取一個數(shù)e，則事件“以e為離心率的橢圓C與圓O：沒有交點”的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一點P（x0，y0）到左焦點與到右焦點的距離之差為8，且到兩漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的定義知a，根據(jù)雙曲線方程可得它的漸近線方程為bx±ay=0，利用點到直線的距離，結(jié)合已知條件列式，可得b，再用平方關(guān)系可算出c=，最后利用雙曲線離心率的公式，可以計算出該雙曲線的離心率．【解答】解：根據(jù)雙曲線的定義知，2a=8，∴a=4，雙曲線兩條漸近線的方程為bx﹣ay=0或bx+ay=0，點P（x0，y0）到兩條漸近線的距離之積為×=，即=，又已知雙曲線右支上的一點P（x0，y0），∴，∴=，即，∴b=2，∴c==2，則雙曲線的離心率為e==．故選：A．【點評】本題給出雙曲線一個焦點到漸近線的距離與到左焦點的距離與到右焦點的距離之差，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．9.項數(shù)列中，，，，則等于(

)（A）16

（B）8

（C）

（D）4參考答案：D10.若集合，那么（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,若程序框圖輸出的S是126,則判斷框①中應(yīng)為

▲

。參考答案：12.如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是區(qū)間（﹣3，3）的子集，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，5]【考點】一元二次不等式的解法．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)根與不等式解之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等價為x2﹣a＜|x﹣1|，設(shè)f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，則f（x）=，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是區(qū)間（﹣3，3）的子集，則等價為，即，即，解得a≤5，故答案為：（﹣∞，5]【點評】本題主要考查不等式的應(yīng)用，利用不等式和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．13.根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20-80mg/100ml（不含80）之間，屬于酒后駕車；血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時，屬醉酒駕車．據(jù)《法制晚報》報道，2010年3月15日至3月28日，全國查處酒后駕車和醉酒駕車共28800人，如圖是對這28800人酒后駕車血液中酒精含量進行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為_____________．參考答案：4320略14.已知向量與的夾角為，且||=3,||=2，若，且，則實數(shù)的值為____________.參考答案：略15.集合中最小整數(shù)位

.參考答案：不等式，即，，所以集合，所以最小的整數(shù)為。16.正△的邊長為1，向量，且，則動點P所形成的平面區(qū)域的面積為

．參考答案：17.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:車輛駕駛員血液酒精濃度在20-80mg/1OOmL(不含80)之間，屬于酒后駕車；血液酒精濃度在80mg/100mL(含80)以上時,屬醉酒駕車.據(jù)有關(guān)調(diào)査，在一周內(nèi)，某地區(qū)查處酒后駕車和醉酒駕車共100人.如圖是對這100人血液中酒精含量進行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖,則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為有_____

參考答案：15三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知長方形ABCD，，。以AB的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.橢圓以A、B為焦點，且過C、D兩點.（Ⅰ）求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點P（0，2）的直線交橢圓于M，N兩點，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。參考答案：略19.在等差數(shù)列中，，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，公比為，且，． （Ⅰ）求與； （Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)的公差為，因為所以

解得或（舍），．故

，．（Ⅱ），略20.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系x0y，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮彈的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo)．（1）求炮的最大射程；（2）若規(guī)定炮彈的射程不小于6千米，設(shè)在此條件下炮彈射出的最大高度為f（k），求f（k）的最小值．參考答案：解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．﹣（2分）由實際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0．∴x==≤=10，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵炮彈的射程不小于6千米，∴∴y=kx﹣（1+k2）x2=﹣+∴f（k）=（）∴f（k）=5（1﹣）（）又f（k）在上單調(diào)遞增∴f（k）的最小值為略21.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=2sinθ，曲線C3：θ=（ρ＞0），A（2，0）．（1）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)C3分別交C1，C2于點P，Q，求△APQ的面積．參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）先把曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，由此能求出C1的極坐標(biāo)方程．（2）依題意，設(shè)點P、Q的極坐標(biāo)分別為（ρ1，），（ρ2，），將代入ρ=4cosθ，得ρ1=2，將代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，由此能求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），∴C1的普通方程為（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0，∴C1的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（2）依題意，設(shè)點P、Q的極坐標(biāo)分別為（ρ1，），（ρ2，），將代入ρ=4cosθ，得ρ1=2，將代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2﹣1，依題意，點A（2，0）到曲線（ρ＞0）的距離d=|OA|sin=1，∴S△APQ=|PQ|?d=×（2）×1=．【點評】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形面積的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的應(yīng)用，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．22.如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，,(Ⅰ)證明平面(Ⅱ)求二面角的正弦值。參考答案：解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè),依題意得,,,

……1分(Ⅰ)證明：已知,,

……………3分于是·=0，·=0.

……………4分因此，,,又

……………5分所以平面

……………6分(Ⅱ)解：設(shè)平面的法向量，則,即

…………7分不