湖南省岳陽市大口段中學高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析

湖南省岳陽市大口段中學高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.三棱錐中，平面，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】球的體積和表面積．G8A

解析：取PC的中點O，連結OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中線OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB內的相交直線∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB，因此Rt△BSC中，中線OB=PC∴O是三棱錐P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半徑R=PC=∴外接球的表面積S=4πR2=5π故選A．【思路點撥】根據(jù)題意，證出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中線OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱錐S﹣ABC的外接球心．利用勾股定理結合題中數(shù)據(jù)算出PC=，得外接球半徑R=，從而得到所求外接球的表面積.2.已知a＞0，x，y滿足約束條件，若z=2x+y的最小值為1，則a=(

)A． B． C．1 D．2參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內的點B時，從而得到a值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設z=2x+y，將最大值轉化為y軸上的截距，當直線z=2x+y經過點B時，z最小，由得：，代入直線y=a（x﹣3）得，a=故選：B．【點評】本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數(shù)形結合的思想，屬中檔題．借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．3.設（a，，i是虛數(shù)單位），且，則有（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】將,再和的實部和虛部對比，得出結果.【詳解】因為，所以，，解得或，所以，故選D.【點睛】此題考查了復數(shù)的乘法運算，屬于基礎題。4.已知角的終邊經過點，則（

）A.

B.－2

C.

D.參考答案：D5.設等比數(shù)列的前項和為，若，則下列式子中數(shù)值不能確定的是(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：D略6.在等差數(shù)列，則a5的值是參考答案：B7.已知單位向量和的夾角為,記,,則向量與的夾角為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：【知識點】平面向量數(shù)量積的運算．F3C

解析：由于單位向量和的夾角為，則=1×1×cos60°=，則，，，即有，則由于，則向量與的夾角為．故選C．【思路點撥】運用向量的數(shù)量積的定義，求得單位向量和的數(shù)量積，再求向量與的數(shù)量積和模，運用向量的夾角公式計算即可得到夾角．8.設函數(shù)在區(qū)間，是單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

B.

C.,

D.

參考答案：C略9.當a≠0時，函數(shù)y=ax+b和y=bax的圖象只可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】先從一次函數(shù)y=ax+b進行入手，通過觀察圖形確定a，b的范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性是否能夠滿足條件，進行逐一排除即可得到答案．【解答】解：由一次函數(shù)的圖象和性質可得：A中，b＞1，a＞0，則ba＞1，y=bax=（ba）x為單調增函數(shù)，故A不正確；B中，0＜b＜1，a＞0，則0＜ba＜1，y=bax=（ba）x為單調減函數(shù)，故B正確；C中，b＞1，a＜0，則0＜ba＜1，y=bax=（ba）x為單調減函數(shù)，C不對；D中，0＜b＜1，a＜0，則ba＞1，y=bax=（ba）x為單調增函數(shù)，D不對故選B．10.在△ABC中，角A、B、C的對邊長分別a、b、c，滿足，，則△ABC的面積為A. B. C. D.參考答案：C【分析】由二次方程有解，結合三角函數(shù)性質可得只有△，此時可求，進而可求，然后結合余弦定理可求，代入可求．【詳解】把看成關于的二次方程，則，故若使得方程有解，則只有△，此時，，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解可得，，．故選：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的存在條件的靈活應用及同角平方關系，二倍角公式，輔助角公式及余弦定理的綜合應用，屬于中檔試題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若是的最小值，則的取值范圍為_______.參考答案：[0,2]略12.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2與共線，則t=

．參考答案：1考點：平面向量共線（平行）的坐標表示．專題：平面向量及應用．分析：由向量減法的坐標運算及數(shù)乘運算求得若﹣2的坐標，再由向量共線的坐標表示列式求得t的值．解答： 解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2與共線，則，解得：t=1．故答案為：1．點評：平行問題是一個重要的知識點，在2015屆高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別．若=（a1，a2），=（b1，b2），則⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0，是基礎題．13.過雙曲線的一個焦點F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為

.參考答案：不妨設F為左焦點，過F作漸近線的垂線，垂足為M,若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則說明直角三角形FMO為等腰直角三角形，所以漸近線的的斜率為1，即，所以，所以雙曲線的離心率為。14.已知集合A=，則A∩B=．參考答案：（2，3]【考點】交集及其運算．【專題】計算題；集合．【分析】求出A與B中不等式的解集確定出A與B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：2﹣1≤2x≤23，即﹣1≤x≤3，∴A=（﹣1，3），由B中不等式變形得：log2（x2﹣x）＞1=log22，即x2﹣x＞2，分解得：（x﹣2）（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞2，即B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），則A∩B=（2，3]，故答案為：（2，3]【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．15.已知平面向量，，且，則______參考答案：2【分析】根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出m＝1，從而可求出，從而得出．【詳解】解：∵；∴；解得m＝1；∴；∴．故答案為：2．【點睛】考查向量垂直的充要條件，向量減法及數(shù)量積的坐標運算．16.已知單位圓的圓心在原點，圓周上的六個等分點其中落在x正半軸上，且這六個點分別落在以原點為始點，X非負半軸為始邊的∠的終邊上，所有的∠可表示為__________________（用一個含的式子表示）。參考答案：略17.從集合{1，2，3，4，5，6}中隨機抽取一個數(shù)為a，從集合{2，3，4}中隨機抽取一個數(shù)為b，則b＞a的概率是．參考答案：考點：古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：所有的數(shù)對（a，b）共有6×3=18個，而滿足b＞a的數(shù)對用列舉法求得有6個，由此求得所求事件的概率．解答：解：所有的數(shù)對（a，b）共有6×3=18個，而滿足b＞a的數(shù)對（a，b）有（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3），共計6個，故b＞a的概率是=，故答案為．點評：本題考主要查古典概型問題，可以列舉出試驗發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，列舉法，是解決古典概型問題的一種重要的解題方法，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列中，，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點列在某一直線上.參考答案：（）；………………8分

略19.在直角坐標系xOy中，曲線C1：（φ為參數(shù)，0＜φ＜π），曲線C2與曲線C1關于原點對稱，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為ρ=2（0＜θ＜π），過極點O的直線l分別與曲線C1，C2，C3相交于點A，B，C．（Ⅰ）求曲線C1的極坐標方程；（Ⅱ）求|AC|?|BC|的取值范圍．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（I）利用同角三角函數(shù)的關系消元得到C1的普通方程，在將普通方程轉化為極坐標方程；（II）求出三條曲線的普通方程，設直線方程為y=kx（k＞0），求出A，B，C的坐標，利用三點的位置關系得出|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2．將|AC|?|BC|轉化為關于k的函數(shù)．【解答】解：（I）曲線C1的直角坐標方程為（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0（0＜y≤1）．∴曲線C1的極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ（0＜θ＜π）．（II）曲線C2的普通方程為（x+1）2+y2=1（﹣1≤y＜0），曲線C3的普通方程為x2+y2=4（0＜y≤2）．設直線l的方程為y=kx（k＞0）．則A（，），B（﹣，﹣），C（，）．∵A，B關于原點對稱，∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|，∴|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2=﹣=4﹣．設f（k）=4﹣，則f（k）在（0，+∞）上單調遞增，∵f（0）=0，，∴0＜f（k）＜4．即|AC|?|BC|的取值范圍時（0，4）．20.(本題滿分14分)已知函數(shù).(Ⅰ)若為函數(shù)的零點，求的值；(Ⅱ)求的極值；(Ⅲ)證明：對任意正整數(shù)n，.參考答案：(Ⅰ)解：因為，所以，解得.

(Ⅱ)，令，得，或，又的定義域為.①當，即時，若，則，遞增；若，則，遞減；所以，無極小值.②當，即時，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；

所以，.

③當，即時，，在內遞減，無極值.④當，即時，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；所以，.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知當時，在上遞減，∴，即，

∵，∴，

∴，

∴.21.已知函數(shù)f（x）=ex+﹣1（a∈R且a為常數(shù)）．（1）當a=﹣1時，討論函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）的單調性；（2）設y=t（x）可求導數(shù)，且它的導函數(shù)t′（x）仍可求導數(shù)，則t′（x）再次求導所得函數(shù)稱為原函數(shù)y=t（x）的二階函數(shù)，記為t′′（x），利用二階導函數(shù)可以判斷一個函數(shù)的凹凸性．一個二階可導的函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是凸函數(shù)的充要條件是這個函數(shù)在（a，b）的二階導函數(shù)非負．若g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a﹣）x2在（﹣∞，﹣1）不是凸函數(shù)，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)g（x）的二階導數(shù)，問題轉化為a≥﹣（x+3）ex，令h（x）=﹣（x+3）ex，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣，令f′（x）=0，解得：x=0，設r（x）=ex﹣，則r′（x）=ex+，當x＞﹣1時，r′（x）＞0，r（x）在（﹣1，+∞）上是單調增函數(shù)，故x=0是r（x）在（﹣1，+∞）內的唯一零點，即x=0是f′（x）在（﹣1，+∞）內的唯一零點，所以當﹣1＜x＜0時，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣1，0）上是單調減函數(shù)；當x＞0時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是單調增函數(shù)．（II）g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a﹣）x2=（x+1）ex+（a﹣）x2+ax，g′（x）=（x+2）ex+2（a﹣）x+a，g″（x）=（x+3）ex+2（a﹣），如果g（x）在（﹣∞，﹣1）是凸函數(shù)，那么?x∈（﹣∞，﹣1）都有g″（x）≥