高中數(shù)學(xué)-第八章-第七節(jié)-拋物線

課時(shí)作業(yè)A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．(2017·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))拋物線y＝4ax2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(0，a) B．(a,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))解析：將y＝4ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2＝eq\f(1,4a)y(a≠0)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a)))，所以選C.答案：C2．(2017·遼寧五校聯(lián)考)已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A．2 B．eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D．eq\f(5,2)解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2).答案：C3．(2017·邯鄲質(zhì)檢)設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A、B、C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，x1＋x2＋x3＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，則|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|＝(x1＋eq\f(1,2))＋(x2＋eq\f(1,2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2)))＝(x1＋x2＋x3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.選C.答案：C4．已知直線l：y＝kx－k與拋物線C：y2＝4x及其準(zhǔn)線分別交于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若2eq\o(FM,\s\up7(→))＝eq\o(MN,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)k等于()A．±eq\f(\r(3),3) B．±1C．±eq\r(3) D．±2解析：拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，直線l：y＝kx－k過拋物線的焦點(diǎn)，如圖．過M作MM′⊥準(zhǔn)線x＝－1，垂足為M′，由拋物線的定義，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN與直線l的傾斜角相等，由2eq\o(FM,\s\up7(→))＝eq\o(MN,\s\up7(→))，得cos∠M′MN＝eq\f(|MM′|,|MN|)＝eq\f(1,2)，則tan∠M′MN＝±eq\r(3)，∴直線l的斜率k＝±eq\r(3)，故選C.答案：C5．已知P為拋物線y2＝4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()A．2eq\r(5)－1 B．2eq\r(5)－2C.eq\r(17)－1 D．eq\r(17)－2解析：由題意得圓x2＋(y－4)2＝1的圓心A(0,4)，半徑r＝1，拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)．由拋物線的幾何性質(zhì)可得：點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是|AF|－r＝eq\r(1＋16)－1＝eq\r(17)－1.選C.答案：C6．(2017·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，過P作PA⊥l于點(diǎn)A，當(dāng)∠AFO＝30°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí)，|PF|＝________.解析：設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝eq\f(2\r(3),3)，設(shè)P(x0，y0)，則x0＝±eq\f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝eq\f(1,3)，從而|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)7．(2017·云南檢測(cè))已知拋物線C的方程為y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程為x2＋y2＋8x＋12＝0，如果拋物線C的準(zhǔn)線與⊙M相切，那么p的值為__________．解析：將⊙M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x＋4)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(－4,0)，半徑r＝2，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴|4－eq\f(p,2)|＝2，解得p＝12或4.答案：12或48.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是__________．解析：分別過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線AE、BD，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E、D(圖略)，則|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，根據(jù)題意得p＝eq\f(3,2)，∴拋物線的方程是y2＝3x.答案：y2＝3x9．已知拋物線y2＝4px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，圓W：(x＋p)2＋y2＝p2的圓心到過點(diǎn)F的直線l的距離為p.(1)求直線l的斜率；(2)若直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，△WAB的面積為8，求拋物線的方程．解析：(1)易知拋物線y2＝4px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(p,0)，依題意直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為x＝my＋p，因?yàn)閃(－p,0)，所以點(diǎn)W到直線l的距離為eq\f(|－p－p|,\r(1＋－m2))＝p，解得m＝±eq\r(3)，所以直線l的斜率為±eq\f(\r(3),3).(2)由(1)知直線l的方程為x＝±eq\r(3)y＋p，由于兩條直線關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨取x＝eq\r(3)y＋p，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)y＋p，,y2＝4px，))消去x得y2－4eq\r(3)py－4p2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4eq\r(3)p，y1y2＝－4p2，所以|AB|＝eq\r(1＋\r(3)2)·eq\r(4\r(3)p2＋4×4p2)＝16p，因?yàn)椤鱓AB的面積為8，所以eq\f(1,2)p×16p＝8，得p＝1，所以拋物線的方程為y2＝4x.10．(2017·合肥質(zhì)檢)已知拋物線C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線C1上異于O點(diǎn)的兩點(diǎn)，以O(shè)A為直徑的圓C2過點(diǎn)B.(1)若A(－2,1)，求p的值以及圓C2的方程；(2)求圓C2的面積S的最小值(用p表示)．解析：(1)∵A(－2,1)在拋物線C1上，∴4＝2p，p＝2.又圓C2的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，半徑為eq\f(|OA|,2)＝eq\f(\r(5),2)，∴圓C2的方程為(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(5,4).(2)記A(x1，eq\f(x\o\al(2,1),2p))，B(x2，eq\f(x\o\al(2,2),2p))．則eq\o(OB,\s\up7(→))＝(x2，eq\f(x\o\al(2,2),2p))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),2p))．由eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0知，x2(x2－x1)＋eq\f(x\o\al(2,2)x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),4p2)＝0.∵x2≠0，且x1≠x2，∴xeq\o\al(2,2)＋x1·x2＝－4p2，∴x1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4p2,x2))).∴xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋eq\f(16p4,x\o\al(2,2))＋8p2≥2eq\r(16p4)＋8p2＝16p2，當(dāng)且僅當(dāng)xeq\o\al(2,2)＝eq\f(16p4,x\o\al(2,2))，即xeq\o\al(2,2)＝4p2時(shí)取等號(hào)．又|OA|2＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(x\o\al(4,1),4p2)＝eq\f(1,4p2)(xeq\o\al(4,1)＋4p2·xeq\o\al(2,1))，注意到xeq\o\al(2,1)≥16p2，∴|OA|2≥eq\f(1,4p2)(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.而S＝π·eq\f(|OA|2,4)，∴S≥20πp2，即S的最小值為20πp2，當(dāng)且僅當(dāng)xeq\o\al(2,2)＝4p2時(shí)取得．B組——能力提升練1．已知拋物線C：y2＝mx(m>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，－eq\r(3))．若射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)D，且|FM|∶|MD|＝1∶2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(2\r(3),3)解析：依題意，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(m,4)，0)，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為K，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|，因?yàn)閨FM|∶|MD|＝1∶2，所以|KD|∶|KM|＝eq\r(3)∶1，kFD＝eq\r(3)，kFD＝eq\f(0＋\r(3),\f(m,4)－0)＝eq\f(4\r(3),m)，所以eq\f(4\r(3),m)＝eq\r(3)，解得m＝4，所以直線FM的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立，解得x＝3(舍去)或x＝eq\f(1,3)，所以y2＝eq\f(4,3)，y＝－eq\f(2\r(3),3)或y＝eq\f(2\r(3),3)(舍去)，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(1,3)，－eq\f(2\r(3),3))，故選D.答案：D2．(2018·石家莊質(zhì)檢)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p>0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，則拋物線C2的方程為()A．y2＝eq\f(8,5)x B．y2＝eq\f(16,5)xC．y2＝eq\f(32,5)x D．y2＝eq\f(64,5)x解析：由題意，知直線AB必過原點(diǎn)，則設(shè)AB的方程為y＝kx(k>0)，圓心C1(0,2)到直線AB的距離d＝eq\f(2,\r(k2＋1))＝eq\r(22－\f(4\r(5),5)2)＝eq\f(2\r(5),5)，解得k＝2(k＝－2舍去)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x,x2＋y－22＝4))，可取A(0,0)，B(eq\f(8,5)，eq\f(16,5))，把(eq\f(8,5)，eq\f(16,5))代入拋物線方程，得(eq\f(16,5))2＝2p·eq\f(8,5)，解得p＝eq\f(16,5)，所以拋物線C2的方程為y2＝eq\f(32,5)x，故選C.答案：C3．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓(x＋eq\f(1,2))2＋(y－4)2＝1上，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(3\r(5),2)－1 B．eq\f(3\r(3),2)－1C．2eq\r(3)－1 D．eq\r(10)－1解析：設(shè)點(diǎn)P(y2，y)(y∈R)，圓(x＋eq\f(1,2))2＋(y－4)2＝1的圓心為A(－eq\f(1,2)，4)，則|PA|2＝(y2＋eq\f(1,2))2＋(y－4)2＝y(tǒng)4＋2y2－8y＋eq\f(65,4)，令t＝y(tǒng)4＋2y2－8y＋eq\f(65,4)，則t′＝4y3＋4y－8，令m＝t′＝4y3＋4y－8，則m′＝12y2＋4>0，所以m＝t′＝4y3＋4y－8在R上是增函數(shù)，因?yàn)閠′|y＝1＝0，所以y＝1為t＝y(tǒng)4＋2y2－8y＋eq\f(65,4)的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，所以|PA|2＝t的最小值為eq\f(45,4)，所以|PA|的最小值為eq\f(3\r(5),2)，所以|PQ|的最小值為eq\f(3\r(5),2)－1，故選A.答案：A4．(2018·山西八校聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|FB|＝2|FA|，則AB的長(zhǎng)度為________．解析：依題意知P(－1,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FB|＝2|FA|，得x2＋1＝2(x1＋1)，即x2＝2x1＋1①，∵P(－1,0)，則AB的方程為y＝kx＋k，與y2＝4x聯(lián)立，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，則Δ＝(2k2－4)2－4k4>0，即k2<1，x1x2＝1②，由①②得x1＝eq\f(1,2)，則A(eq\f(1,2)，eq\r(2))，∴k＝eq\f(\r(2)－0,\f(1,2)－－1)＝eq\f(2\r(2),3).∴x1＋x2＝eq\f(5,2)，|AB|＝eq\r(1＋\f(8,9)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(\r(17),2).答案：eq\f(\r(17),2)5．(2018·昆明市檢測(cè))設(shè)F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)與C交于點(diǎn)A，直線FA恰與曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)相切于點(diǎn)A，F(xiàn)A交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)B，則eq\f(|FA|,|BA|)等于________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\f(k,x)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,\r(3,2pk))，,y＝\r(3,2pk).))由y＝eq\f(k,x)，得y′＝－eq\f(k,x2)，所以kFA＝eq\f(\r(3,2pk),\f(k,\r(3,2pk))－\f(p,2))＝－eq\f(k,\f(k2,\r(3,4p2k2)))，化簡(jiǎn)得k＝eq\f(p2,4\r(2))，所以x＝eq\f(k,\r(3,2pk))＝eq\f(p,4)，eq\f(|FA|,|AB|)＝eq\f(|xF－xA|,|xA－xB|)＝eq\f(\f(p,2)－\f(p,4),\f(p,4)－－\f(p,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．(2017·唐山統(tǒng)考)已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過點(diǎn)C(－2,0)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝12.(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程．解析：(1)設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＝4.因?yàn)閑q\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x.(2)(1)中(*)式可化為y2－4my＋8＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝8.設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝eq\r(1＋m216m2－32)，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±eq\r(3).所以，直線l的方程為x＋eq\r(3)y＋2＝0或x－eq\r(3)y＋2＝0.7．如圖，由部分拋物線：y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圓x2＋y2＝r2(x≤0)所組成的曲線稱為“黃金拋物線C”，若“黃金拋物線C”經(jīng)過點(diǎn)(3,2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求“黃金拋物線C”的方程；(2)設(shè)P(0,1)和Q(0，－1)，過點(diǎn)P作直線l與“黃金拋物線C”相交于A，P，B三點(diǎn)，問是否存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直線l的方程；若