高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二學(xué)案新人教A版選修1-1

PAGE3．2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(二)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則．2.理解求導(dǎo)法則的證明過(guò)程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第59頁(yè)[基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)]知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)和、差的導(dǎo)數(shù)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P84－85，思考并完成以下問(wèn)題)若h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分別與f′(x)，g′(x)有什么關(guān)系？提示：設(shè)f(x)，g(x)是可導(dǎo)的．Δy＝h(x＋Δx)－h(huán)(x)＝f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)－f(x)－g(x)＝[f(x＋Δx)－f(x)]＋[g(x＋Δx)－g(x)]＝Δf＋Δg∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)＝eq\f(Δf,Δx)＋eq\f(Δg,Δx)∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝limeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Δf,Δx)＋\f(Δg,Δx)))＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δf,Δx)＋eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δg,Δx)＝f′(x)＋g′(x)即h′(x)＝[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)同理可證I′(x)＝[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)知識(shí)梳理和、差的導(dǎo)數(shù)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．特別提醒：兩個(gè)導(dǎo)數(shù)的和差運(yùn)算只可推廣到有限個(gè)函數(shù)的和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)知識(shí)梳理(1)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)．(2)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fx·g′x,[gx]2)(g(x)≠0)．(3)常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即[cf(x)]′＝cf′(x)．[自我檢測(cè)]1．函數(shù)y＝(eq\r(x)＋1)(eq\r(x)－1)的導(dǎo)數(shù)等于()A．1 B．－eq\f(1,2\r(x))C.eq\f(1,2x) D．－eq\f(1,4x)答案：A2．已知f(x)＝exlnx，則f′(x)＝()A.eq\f(ex,x) B．ex＋eq\f(1,x)C.eq\f(exxlnx＋1,x) D.eq\f(1,x)＋lnx答案：C授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第59頁(yè)探究一利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求導(dǎo)[閱讀教材P84例2]根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求函數(shù)y＝x3－2x＋3的導(dǎo)數(shù)．題型：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)．方法步驟：①由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(x3)′＝3x2，x′＝1,3′＝0.②由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得y′＝3x2－2.[例1]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝eq\f(ex＋1,ex－1).[解析](1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－eq\f(1,2)(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(4)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).方法技巧利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解的策略(1)分析求導(dǎo)式符合哪種求導(dǎo)法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定求導(dǎo)法則、基本公式．(2)如果求導(dǎo)式比較復(fù)雜，則需要對(duì)式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積展開(kāi)變?yōu)楹褪角髮?dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等．(3)利用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，利用和、差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．跟蹤探究1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(cosx,x)；(2)y＝xsinx＋eq\r(x)；(3)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x))；(4)y＝lgx－eq\f(1,x2).解析：(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(cosx′·x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－x·sinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).(2)y′＝(xsinx)′＋(eq\r(x))′＝sinx＋xcosx＋eq\f(1,2\r(x)).(3)∵y＝eq\f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq\f(1－\r(x)2,1－x)＝eq\f(2＋2x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq\f(－41－x′,1－x2)＝eq\f(4,1－x2).(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lgx－\f(1,x2)))′＝(lgx)′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝eq\f(1,xln10)＋eq\f(2,x3).探究二導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用[閱讀教材P84例3]日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)＝eq\f(5284,100－x)(80<x<100)．求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：(1)90%；(2)98%.題型：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．方法步驟：①利用商的求導(dǎo)法則求出C′(x)．②再將90,98分別代入C′(x)即得到所求．[例2](1)設(shè)曲線y＝eq\f(2－cosx,sinx)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))處的切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，則a＝________.[解析]y′＝eq\f(sin2x－2－cosxcosx,sin2x)＝eq\f(1－2cosx,sin2x)，當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y′＝eq\f(1－2cos\f(π,2),sin2\f(π,2))＝1，直線x＋ay＋1＝0的斜率是－eq\f(1,a)，由題意－eq\f(1,a)＝－1，所以a＝1.[答案]1(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)＋2xf′(1)，試比較f(e)與f(1)的大小關(guān)系．[解析]由題意得f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝eq\f(1－ln1,1)＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.所以f(x)＝eq\f(lnx,x)－2x，得f(e)＝eq\f(lne,e)－2e＝eq\f(1,e)－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝eq\f(1,e)－2e＋2<0，得f(e)<f(1)．方法技巧1.與切線有關(guān)的問(wèn)題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素．其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系．2．準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問(wèn)題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確．3．分清已知點(diǎn)是否在曲線上，若不在曲線上，則要設(shè)出切點(diǎn)，這是解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)．跟蹤探究2.設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為_(kāi)_______．解析：因?yàn)榍€y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知g′(1)＝2，又因?yàn)閒(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為4.答案：43．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，則f′(1)等于()A．－3 B．2eC.eq\f(2,1－2e) D.eq\f(3,1－2e)解析：f′(x)＝2exf′(1)＋eq\f(3,x)∴f′(1)＝2ef′(1)＋3∴f′(1)＝eq\f(3,1－2e)，故選D.答案：D授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第60頁(yè)[課后小結(jié)]求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．對(duì)于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要進(jìn)行適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些切線斜率、瞬時(shí)速度等問(wèn)題．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．未能區(qū)分好變量與常量而致錯(cuò)求f(x)＝ax＋cosa的導(dǎo)數(shù)(其中a為常數(shù))．易錯(cuò)分析本題錯(cuò)在忽視變量ax與常量cosa的不同，常量的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為0.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．自我糾正f′(x)＝axlna.2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算記憶不準(zhǔn)