切平面和法線

關于切平面和法線第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天從而曲面在點的切平面方程為由于的任意性，可見曲面上過的任一條曲線在該點的切線都與正交，因此這些切線應在同一平面上，這個平面稱為曲面在點的切平面，而就是切平面的法向量。在點（設點對應于參數(shù)）有第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天過點與切平面垂直的直線，稱為曲面在點的法線，其方程為該法線的一組方向數(shù)為：第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天綜上所述若曲面方程為則該曲面在點的切平面方程為過點的法線方程為第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天設分別為曲面在點的法線與軸正向之間的夾角，那末在點的法線方向余弦為第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天若曲面方程為容易把它化成剛才討論過的情形：于是曲面在（這里）點的切平面方程為法線方程為第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天若曲面方程為參數(shù)形式：如果由方程組可以確定兩個函數(shù)：于是可以將看成的函數(shù)，從而可以將問題化為剛才已經(jīng)討論過的情形。代入方程，得因此需分別計算對的偏導數(shù)。第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天將分別對求導，注意到為的函數(shù)按隱函數(shù)求導法則有解方程組，得第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天法線方程于是曲面在點的切平面方程為第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1求球面在點的切平面及法線方程.解設則所以在點處球面的切平面方程為法線方程第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天曲面的夾角兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲面在該點的夾角。如果兩個曲面在該點的夾角等于90度，則稱這兩個曲面在該點正交。若兩曲面在交線的每一點都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。例2證明對任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天即證明球面的法線方向數(shù)為錐面的法線方向數(shù)為在兩曲面交線上的任一點處，兩法向量的內積因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面與錐面正交。第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解切平面方程為法線方程為第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解令切平面方程法線方程第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解設為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天因為是曲面上的切點，所求切點為滿足方程切平面方程第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天第21