人教版高中數(shù)學必修2-全冊教案

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人教版數(shù)學必修二

第一章空間幾何體重難點解析

第一章課文目錄

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

重難點：

1、讓學生感受大量空間實物及模型、概括出柱、錐、臺、球的

結(jié)構(gòu)特征。

2、畫出簡單組合體的三視圖。

3、用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。

4、柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算，臺體體積公式的推

導(dǎo)。

5、了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運用的基本思想方法。

知識結(jié)構(gòu)：

空間幾何體

柱體球體錐體臺體中心投影

平行投影

HHglH81酗日

麗I直觀圖

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

i.柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）柱

棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，

并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的

幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡

稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱

的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。

底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、

四棱柱、五棱柱……

圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成

的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于

軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，

不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。

棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；

(2)錐

棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共

頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形

面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的

側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側(cè)面的公共邊叫

做棱錐的側(cè)棱。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、

四棱錐、五棱錐……

圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其

余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐

的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形

成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。

(3)臺

棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間

的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和

上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點。

圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間

的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和

上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。

圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。

(4)球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的

幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的

半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。

(5)組合體

由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。

幾種常凸多面體間的關(guān)系

一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質(zhì):

有兩個面互側(cè)棱垂直于底面是正多

相平行，而底面的棱柱邊形的直棱

其余每相鄰柱

定義

兩個面的交

線都互相平

行的多面體

側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等

側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形

對角面的形狀平行四邊形矩形矩形

平行于底面的與底面全等與底面全等與底面全等

截面的形狀的多邊形的多邊形的正多邊形

其余各面頂點在底底面的平臺

是有一個面的射影面去截棱

公共頂點是底面的錐，底面和

的三角形射影是底截面之間

的多面體面和截面的部分

之間的部

分

相交于一相交于一延長線交相等且延

側(cè)棱點但不一點且相等丁點長線交于

定相等-k/占、、、

側(cè)面三角形全等的等梯形全等的等

的形腰三角形腰梯形

狀

對角三角形等腰三角梯形等腰梯形

面的形

形狀

平行與底面相與底面相與底面相與底面相

于底似的多邊似的正多似的多邊似的正多

的截形邊形形邊形

面形

狀

其他高過底面兩底中心

性質(zhì)中心；側(cè)棱連線即高；

與底^\側(cè)側(cè)棱與底

面與底面、面、側(cè)面與

相鄰兩側(cè)底面、相鄰

面所成角兩側(cè)面所

都相等成角都相

等

幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì):

名稱特殊性質(zhì)

底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條

平行六面體

對角線交于一點，且被該點平分

側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；

直平行六面體四條對角線交于一點，且被該點平

分

底面和側(cè)面都是矩形；四條對角線

長方體

相等，交于一點，且被該點平分

棱長都相等，各面都是正方形四條

正方體對角線相等，交于一點，且被該點

平分

2.空間幾何體的三視圖

三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間

幾何體的圖形。

他具體包括:

（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的高度和長度;

（2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的高度和寬度；

（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的長度和寬度;

三視圖畫法規(guī)則：

高平齊：主視圖與左視圖的高要保寸主視圖左視圖

長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對i

寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)才

3.空間幾何體的直觀圖

（1）斜二測畫法

①建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂

直的，，建立直角坐標系；

②畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)的

OX'Y',使NX0y=45°（或135°）,它們確定的平面表示水平平

面；

③畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中

畫成平行于X'軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的

線段，在直觀圖中畫成平行于Y’軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

④擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的

輔助線（虛線）。

（2）平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于

一點。

注意：畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂

點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點

就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法

可以歸結(jié)為確定點的位置的畫法。強調(diào)斜二測畫法的步驟。

例題講解：

［例1］將正三棱柱截去三個角（如圖1所示A,B,C分別是4Gm三

邊的中點）得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)

視圖（或稱左視圖）為（）

囪1閔。

［例2］在正方體-歸C〃中,E,尸分別為棱I,?的中點，則在空間

中與三條直線4〃，，都相交的直線（）

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條

D.有無數(shù)條

［例3］正方體BCD的棱長為2,點M是的中點，點P是平面內(nèi)

的一個動點，且滿足2,P到直線4D的距離為6,則點P的

軌跡是（）

4圓B.雙曲線C.兩個點D.直

線

解析：點P到AD,的距離為石，則點P到的距離為1,滿

足此條件的P的軌跡是到直線的距離為1的兩條平行直線，

又=2,.?.滿足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為

2的圓，這兩種軌跡只有兩個交點.

故點P的軌跡是兩個點。選項為C。

點評：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過程，考察了空間想

象能力。

［例4］兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為

1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面與正方體的某一個平面平行，

且各項點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有

()

A.1個B.2個C.3個D.無

窮多個

解析：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正

四棱錐底面正方形中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長

的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形的面積，

問題轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種,所以選D。

點評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。

正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定

的空間想象能力，要學會將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化。

題型2：空間幾何體的定義

[例5]長方體ABCD-A4CQ的8個頂點在同一個球面上，且2,6,

e=1，則頂點A、B間的球面距離是八

DinCr1

Bk/y_Ai/________勺/

A.但B.四C.叵兀D.g0八

42D7C

解析：BD[=ACt=2R=2V2,R=叵，設(shè)|[/

AB

BRAC,=O,貝

OA=OB=R=V2,

=>Z.AOB--,I-R0=V2x—,故選B.

22

點評：抓住本質(zhì)的東西來進行判斷，對于信息要進行加工再利用。

［例6］已知直線和平面a,用滿足加_L〃,m_La,a±/?,則（

A.〃_!_/78〃〃,，或〃u尸C.n±aD〃〃a,或〃ucz

解析：易知D正確.

點評：對于空間幾何體的定義要有深刻的認識，掌握它們并能判

斷它們的性質(zhì)。

題型3：空間幾何體中的想象能力

［例7］如圖所示，四棱錐P-A5CD的底面ABCD是邊長為1的菱形,

ZBCD=60°，

E是的中點，1底面，PA=4^。

（I）證明：平面"L平面;

解析：解法一（I）如圖所示，連結(jié)3。,由ABC。是菱形且NBC0=6O。

知，

△5C。是等邊三角形.因為E是的中點，所以

BE±CD,又AB//CD,所以BE，AB,

又因為1平面，BEu平面，

所以PA_LBE,而PA=A因此平面.

又BEu平面，所以平面，平面.

（）由（I）知，BE，平面，P3u平面，所以

又ABL8E,所以NPBA是二面角A-3E-P的平面角.

在中，tanZPBA=—=^,^PBA=60..

AB

故二面角A-BE-P的大小為60.

解法二：如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關(guān)

各點的坐標分別是

3

40,0,0),8(1,0,0),C(-,,0),P(0,0，G),E(L

2

（I）因為BE=（0,4,0）,平面的一個法向量是%=（0,1,0）,所以8E和%

共線.

從而平面.又因為BEu平面，所以平面1平面.

（）易知P8=（l,0,-6）,BE=（0,坐,0）,設(shè)4=（玉，%%）是平面的一個法

向量,

百+0xy-VSZj=0,

々?PB=。，得1

則由＜百所以y=0,%=GzI.

馬?BE-0Oxxj+0xZ]=0

故可取勺=（G,o,i）.而平面的一個法向量是%=（o,o,i）.

于是，cos<4,%〉="&=.

1nli|&I2

故二面角A-BE-P的大小為60.

點評：解決此類題目的關(guān)鍵是將平面圖形恢復(fù)成空間圖形，較強

的考察了空間想象能力。

［例8］如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BG^2,NACB=90,

AP=BP=AB,PCLAC.

(I)求證：PCIAB;

(II)求二面角3-AP-C的大小.r

解析：

解法一：

(I)取4B中點。，連結(jié)PDCD.

AP=BP,

PD1AB.

AC=BC,P

CDLAB.

PDCD=D,

平面PCD.

PCu平面PCD,

PCLAB.

(II)AC=BC,AP=BP,

:.△APC9XBPC?

又PCJ.AC,

PCLBC.

又NAC8=90,即ACJ.3C,且ACPC=C,

8C_L平面PAC.

取AP中點E.連結(jié)BE,CE.

AB=BP,BE1AP.

EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影,

CELAP.

:"BEC是二面角B-AP-C的平面角.

*AB=屜，

在△3CE中，NBCE=90,BC=2,BE=

sinNBEC

BE3

二二面角B-AP-C的大小為arcsin亞.

3

解法二：

(I)AC=BC,AP=BP,

.?.△APC絲△BPC.

又PC上AC,

PC±BC.

ACBC=C,

PC_L平面ABC.

ABu平面ABC,

PCLAB.

(H)如圖，以c為原點建立空間直角坐標系c-孫z.

則C(0,0,0),40,2,0),8(2,0,0).

設(shè)P(0,0,t).

\PB\=\AB\=2y[2，

:.t=2,尸(0,0,2).

取AP中點E,連結(jié)BE,CE.

|AC|=|PC|,\AB\=\BP\,

CE工AP,BE1AP.

N8EC是二面角8-AP-C的平面角.

E(O,L1),EC=(0,-L-l),￡6=(2,—1,一1),

ECEB26

/.cosZBEC=

MM及爬一3

二面角B-AP-C的大小為arccos—.

3

點評：在畫圖過程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。通過識圖、

想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能

力是空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力

的主要方向。

［例9］畫正五棱柱的直觀圖，使底面邊長為3cm側(cè)棱長為5cm。

解析：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于Z軸方向平

移即可得。

作法：

(1)畫軸：畫X',Y',Z'軸，使NX'O'Y'=45°(或

135°),NX'O'Z'=90°o

(2)畫底面：按X'軸，Y'軸畫正五邊形的直觀圖。

(3)畫側(cè)棱：過A、B、C、I)、E各點分別作Z'軸的平行

線，并在這些平行線上分別截取'

(4)成圖：順次連結(jié)A',B',C,D',F',加以整

理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線。

點評：用此方法可以依次畫出棱錐、棱柱、棱臺等多面體的

直觀圖。

［例10］AA5C是正△的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若

AAEU的面積為百，那么△的面積為。

解析：2幾。

點評：該題屬于斜二測畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實

物圖元素與直觀圖元素之間的對應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對應(yīng)關(guān)

系。

［例11］如圖，在棱長為1的正方體ABC。-中，(例伙1),

截面〃A。，截面〃AD.

(I)證明：平面和平面互相垂直；

(II)證明：截面和截面面積之和是定值,

并求出這個值；

(III)若。E與平面所成的角為45,求。E與平

面所成角的正弦值.

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)

知識，考查空間想象能力與邏輯思維能力。

解析：

解法一：

(I)證明：在正方體中，AD'YA'D,AD'LAB,又由已知可得

PF//A'D,PH//AD',PQ//AB,

D'c，

所以PHLPQ,/

所以PH，平面PQEF.pLLAy

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.卜;一二三三一%‘

n

(II)證明：由(I)知

PF=^AP,PH^y/2PA1,又截面和截面都是矩形，且1,所以截面

和截面面積之和是

血PA!)xPQ=血,是定值.

()解：連結(jié)'交于點K

因為PQ//AB,

所以平面A8C7/和平面互相平行，因此O石與平面所成角與與

平面ABCD,所成角相等.

與(I)同理可證，平面，可知_L平面A8CD,因此與DE的比

值就是所求的正弦值.

設(shè)4。交于點M連結(jié)，由。=1-3知

//￡=?"+2,NZX=日十爭i).

因為A?_l_平面，又已知。石與平面成45角,

所以D，E=&NU,即夜[乎+乎(1一加=y/(l-b)2+2,

解得b=(,可知￡為中點.

所以q，又DE=?l—bf+2=B，

故。石與平面所成角的正弦值為平=也.

D'E6

解法二：

以〃為原點，射線，，'分別為X,y,Z軸的正半軸建立如圖的

空間直角坐標系〃一由已知得。尸=1-匕，故

A(LO,O),4(1,0,1),0(0,0,0),。'(0,0,1),

P(l,0,b),Q(l,l,b),E(l—

1(1一1,0,0),Gg,l,l),H(b,0A).

(I)證明：在所建立的坐標系中，

PQ=(0,1,0),PF=(—b,0,—b),

=1,0,1—份,

AD'=(—l,0，D，A7)=(—1,0,—1).

AD'fPQ=0,AD,PF=0,所以A。是平面的法向量.

因為A'D^Q=0,A'DPH=0,所以AO是平面的法向量.

因為4yA。=0,所以4￡)_LAD,

所以平面和平面互相垂直.

(II)證明:因為EF=(0,-1,0),所以E尸〃PQ,|印=|PQ],又小磔

所以為矩形，同理為矩形.

在所建立的坐標系中可求得歸川=夜(1-勿，仍尸|=必，

所以|PH|+|P可=&,又|P0=1,

所以截面和截面面積之和為夜，是定值.

(III)解：由已知得與4/成45角，又DE=(1-6,1,-1),47=(-1,0,1)

可得

D'EAD'b-2V2

----,

\D'EiAD'\⑸(—A+22

即.2-b=1,解得b

J(lW+22

所以。E=(g,l,-1］,又AO=(TOT),所以。E與平面所成角的正

弦值為

1,

-----1/?

|cos<D'E,AD>1=——=—.

6

2

點評：考查知識立足課本，對空間想象能力、分析問題的能

力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強能力

考查的方向。

［例12］多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖,

正方體的一個頂點A在平面&內(nèi)，其余頂點在a的同側(cè)，正方體

上與頂點A相鄰的三個頂點到a的距離分別為1,2和4,P是正

方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面a的距離可能是：①

3；②4；③5；④6；⑤7

以上結(jié)論正確的為(寫出所有正確結(jié)論的編號)

解析：如圖，B、D、A,到平面a的

距離分別為1、2、4,則D、Ai的中點到平面a的距離為3,所以

D到平面a的距離為6；B、Al的中點到平面a的距離為2,所以

2

B1到平面C的距離為5;則D、B的中點到平面a的距離為；，所

以C到平面a的距離為3;C、Ai的中點到平面a的距離為:，所

以G到平面a的距離為7；而P為C、Cl、Bl、D1中的一點，所以

選①③④⑤。

點評：該題將計算蘊涵于射影知識中，屬于難得的綜合題目。

[例13](1)畫出下列幾何體的三視圖

解析：這二個幾何體的三視圖如下

DD口口

(2)如圖，設(shè)所給的方向為物體的正前方，試畫出它的三

視圖(單位：)

點評：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個

合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視

圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。

物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。

［例14］某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀

解析：該幾何體為一個正四棱錐分析：三視圖是從三個不同

的方而看同一物體得到的三個視圖。

點評：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長

和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要

相等。左視圖和俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難

得出該幾何體的形狀。

二、空間幾何體的表面積和體積

1.多面體的面積和體積公式:

名稱側(cè)面積（S側(cè)）全面積（S全）體積（V）

直截面周長

棱柱S底，直截面?h

棱XI

S側(cè)+2S底

柱直棱

S底?h

柱

棱各側(cè)面積之

4底?h

棱錐S側(cè)底

錐和

正棱J_/

錐2

各側(cè)囿囿積

棱臺

棱之和gh（S上底下底

S側(cè)上底下底

臺正棱下底下底）

J（'）鼠

臺2

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長，h表斜

高，X表示斜高，1表示側(cè)棱長。

2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式：

名

圓柱圓錐圓臺球

稱

JT

S側(cè)2nn(rJ2)1

222

S全2nr()nr()E(r12)n(ri2)4JiR

22

Jir2h(BPInh(rnr22)

3

V-JTr2h-nR3

33

JIr2l)

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的

底半徑，n、n分別表示圓臺上、下底面半徑，R表示半徑。

3.探究柱、錐、臺的體積公式：

1、棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向平移得到，因

此，兩個底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）應(yīng)該具有相等的

體積.

柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積s和高力的積,

即％體=s〃.

2、類似于柱體，底面積相等、高也相等的兩個錐體，它們的

體積也相等.棱錐的體積公式可把一個棱柱分成三個全等的棱錐

得到，由于底面積為s,高為〃的棱柱的體積％錐=s〃，所以

V錐體=gs/z.

3、臺體(棱臺、圓臺)的體積可以轉(zhuǎn)化為錐體的體積來計算.如

果臺體的上、下底面面積分別為V,s,高為力，可以推得它的體

積是％體=；/2(S+炳+S。.

4、柱體、錐體、臺體的體積公式之間關(guān)系如下：

腺體=Shu(S'=S)嚓體=|/Z(s+Vss7+S')(S'=0)n/體=gS九

4.探究球的體積與面積公式：

1.球的體積：

(1)比較半球的體積與其等底等高的旋轉(zhuǎn)體的體積

結(jié)論治錐＜%￡球柱

(2)利用“倒沙實驗”，探索底面半徑和高都為球半徑的圓

柱、圓錐與半球三者體積之間的關(guān)系(課件演示)

結(jié)論：4匕求=囁柱—加錐二成？?R—；位之=］亦3

(3)得到半徑是R的球的體積公式：

結(jié)論：腺=告成3

2.球的表面積：

由于球的表面是曲面，不是平面，所以球的表面積無法

利用展開圖來求.該如何求球的表面積公式？是否也可借助

分割思想來推導(dǎo)呢？(課件演示)

圖1

(1)若將球表面平均分割成n個小塊,則每小塊表面可

近似看作一個平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的

表面積.當n趨近于無窮大時,這n小塊平面面積之和接近于

甚至等于球的表面積.

(2)若每小塊表面看作一個平面，將每小塊平面作為底

面,球心作為頂點便得到n個棱錐,這些棱錐體積之和近似為

球的體積.當n越大,越接近于球的體積,當n趨近于無窮大

時就精確到等于球的體積.

(3)半徑為R的球的表面積公式：

結(jié)論：S球=4成2

例題講解：

［例1］一個長方體全面積是2(A所有棱長的和是24,求長方體

的對角線長.

解析：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為、、、

依題意得：［2(移+沖+〃)=20(1)

4(x+y+z)=24⑵

由(2)2得:X222+22236(3)

由(3)-(1)得X?22=16

即A16

所以4()。

點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱

中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學習中要

多建立一些重要的幾何要素(對角線、內(nèi)切)與面積、體積之間

的關(guān)系。

［例2］如圖1所示，在平行六面體一ABCD中，已知5,4,尸3,

1,NA2A二。

3

(1)求證：頂點Ai在底面上的射影0在N的平分線上；

(2)求這個平行六面體的體積。

2

解析：(1)如圖2,連結(jié)A。則AQJ_底面。作_1_交于M,

作，交于N,連結(jié)AMA,No由三垂線定得得AMJ_,A,N±o;

ZA.ZAo

.,.△A^AABAAnN,

從而。

.?.點0在/的平分線上。

(2)V1^3X1=1

322

.AM3rr

??--------72o

兀2

cos

4

又在中，AQ22=9—2=2,

22

一?A苧平行六面體的體積為1x4理=3g

［例3］一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是后,3布，這

個長方體對角線的長是（）

A.273B.3V2C.6D.后

解析：設(shè)長方體共一頂點的三邊長分別為l,b=叵，c=6,

則對角線）的長為J/+從+。2=布；答案D。

點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積

的幾何要素一棱長。

［例4］如圖，三棱柱一ABG中，若E、F分別為、的中點，平面

C將三棱柱分成體積為％、V2的兩部分，那么％：V*o

解析：設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面

積為S,體積為V,貝憶2=。

VE.F分別為、的中點,

*,?,

4

6（撲

V哈,

?.V1:V2=7：5o

點評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解

體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到

結(jié)論即可。

題型3：錐體的體積和表面積

[例5]（2006上海，19）在四棱錐P

—中，底面是邊長為2的菱形，/=/IV\

60,對角線與相交于點0,，平面，/“J:冰

與平面所成的角為60。，求四棱錐P

一的體積？R

解析：（1）在四棱錐中，由，平面，得N是與平面所成的角，

Z60°o

在△中30。=1,由J_,

于是60°=6,而底面菱形的面積為26。

四棱錐P—的體積;X2石X6=2。

點評：本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平

面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。

[例6]（2002京皖春文，19）在三棱錐5-中,Z

ZZ900,且5,5V5o（如圖所示）

|々1

(I)證明：±;

(II)求側(cè)面與底面所成二面角的大小;

(III)求三棱錐的體積.。

解析：(I)證明：VZZ900,

.?」，±O

又G,

/.J_平面。

由于N90°,即_1_,由三垂線定理，得_1。

(II)二」，±o

/.N是側(cè)面與底面所成二面角的平面角。

在△中，5,5V5,得屈匚記10。

在△中5,10,AC_5_1

SC-io-2

.-.Z60°,即側(cè)面與底面所成的二面角的大小為60°。

(III)解：在△中，

飛SC2-AC2=7102-52=V75,

5k-??1X5X5=—,

222

點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系。

要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進行一定的邏輯推理。

題型4：錐體體積、表面積綜合問題

［例7］是邊長為4的正方形，E、F分別是、的中點，垂直于正方

形所在的平面，且=2,求點B到平面的距離?

解析：如圖，取的中點0,連接、、、構(gòu)造三棱錐B—。

設(shè)點B到平面的距離為h,=4后，=2后，=-X4V2=372o

4

GO=ylC02+GC2=7（3>/2）2+22=J18+4=722。

而，平面，且=2。

由VB-EFG=VG_EFB'^—EFGO,h--S,

o3AEFB

點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為體

積問題來求解。構(gòu)造以點B為頂點，A

△為底面的三棱錐是解此題的關(guān)/\\

鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯/r\\

一性列方程是解這類題的方法，從LJ

而簡化了運算。c

[例8]（2006江西理，12）如圖，在四面體中，截面經(jīng)過四面體

的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心0,且與，分別截于E、F,

如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A—與三棱

錐A—的表面積分別是Si,S2?則必有（）

A.SiS2B.SiS2

C.S12D.Si,S2的大小關(guān)系不能確定

解析：連、、、,

則-二一+一+-

-=-+-+一又一=_,

而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故++=

++又面公共，故選C

點評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理

的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間

幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。

[例9](2002北京理，18)如圖9—24,在多面體一45G京中,

上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面

角大小相等，側(cè)棱延長后相交于￡,尸兩點，上、下底面矩形的

長、寬分別為c,4與a,b,且a>c,b>d,兩底面間的距離為

ho

(I)求側(cè)面M與底面所成二面角的大?。?/p>

(II)證明：〃面；

(III)在估測該多面體的體積時，經(jīng)常運用近似公式/估中截

面?力來計算.已知它的體積公式是g(S上底面+4S中截面下底面)，試判斷

6

/估與/的大小關(guān)系，并加以證明。

(注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為

該多面體的中截面)

(I)解：過5G作底面的垂直平面，交底E廠-X

面于，過5作垂足為G。A、產(chǎn)希

4ar>B

rvi

如圖所示：???平面〃平面N4/G=90°,

，_L,LBE

.,.Nd為所求二面角的平面角.過C作GHA.,垂足為II.由

于相對側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形凡為等腰

梯形。

—(b~d),又Bi,i(b>d),

2b—d

:.5豈,即所求二面角的大小為菖.

b-db-d

(II)證明：???，是矩形的一組對邊，有〃，

又是面與面的交線，

〃面。

?.?是面與面的交線，

...〃。

???是平面內(nèi)的一條直線，在平面外，

/.〃面。

(III)/估〈匕

證明：Va>c,b>d,

?jrh.,a+cb+d、a+cb+d1

..Vrz-/估=—(zcd+a/?+4---------------)-----------------h

62222

=-[222()()-3()()]

12

(a—c)(b—d)>0。

12

「?「估V匕

點評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平

行這一常規(guī)運算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的

應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可

精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實際意

義的問題?？疾榱丝忌^續(xù)學習的潛能。

[例10]（1）（1998全國，9）如果棱臺的兩底面積分別是S、S',

中截面的面積是5,那么（）

A.2庖=71+收B.C.2S=S+S，D.帶=

26S

（2）（1994全國，7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別

為2和4,高為2,則其體積為（）

A.32V3B.28V3C.24-V3

D.20V3

解析：

（1）解析：設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；

（2）正六棱臺上下底面面積分別為：S上=6?—*22=6V3,

4

S下=6?曰?42=24g,/臺下+S下）=28」,答案B。

點評：本題考查棱臺的中截面問題。根據(jù)選擇題的特點本題

選用“特例法”來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特

殊值、特殊點、特殊曲線、特殊圖形等等。

題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問題

[例11]（2000全國理，9）一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方

形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）

A1+2?B1+4%C1+2*

2%4乃7i

D.3

2萬

解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則由題設(shè)知2"工

2

二.S全=2耳F+（2冗r）~-2JTr（1+2））側(cè)二4Jir,

...生答案為A。

S側(cè)2%

點評：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識。

[例12]（2003京春理13,文14）如圖9—9,一個底面半徑為7?

的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵

球，水面高度恰好升高八則"=

O

r

⑴

解析：水面高度升高八則圓柱體積增加"#?八恰好是半

徑為「的實心鐵球的體積，因此有卜占心故詈苧。答

點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計算能力和分

析、解決問題的能力。

[例13]（1）（2002京皖春，7）在△中，2,1.5,Z1200（如

圖所示），若將△繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是

)

9753

A.-B.-C.一"D.-

2222

（2）（2001全國文，3）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其

面積為6,則這個圓錐的全面積是（）

A.3"B.3-V31C.6"

（2）'：S=-0,=V3,

22

a2=4,a=2,2r,

/.r=1,S全=2%+%=3%,答案A。

點評：通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。

而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深

層上考查空間想象能力的主要方向。

[例14]（2000全國文，12）如圖所示，是圓錐底面中心。到母

線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則

母線與軸的夾角的余弦值為（）

解析：如圖所示，由題意知,-Jrrh=-冗Rh,

36

R

*,r=又*s

.rOA

.?-----=-----,OA=-3=，

OAR,ifV2

l/Vl

???好華=擊,答案為九

點評：本題重點考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運算能

力。

［例15］已知過球面上A,B,C三點的截面和球心的距離為球半徑的

一半，且AB=BC=C4=2,求球的表面積。

解析：設(shè)截面圓心為。「連結(jié)。/,設(shè)

球半徑為R，

貝（Jo/=2x也、2=亞，

323

在Rt\O'OA中，OA2=O'A2+O'O2,

：./?2=（竿）2+評，

3

S-4萬R~=—Tto

9

點評：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之

間的關(guān)系。

［例16］如圖所示，球面上有四個點P、A、B、C,如果，，兩兩互

相垂直，且，求這個球的表面積。

解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r,圓

心為0',球心到該圓面的距離為d。

在三棱錐P—中，???，，兩兩互相垂直，且，

...行，且P在△內(nèi)的射影即是△的中心0,。

由正弦定理，得里國。

sin6003

又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有'_L平面，而'_L平面，

P、0、0'共線，球的半徑戶萬o又'

7PA2-r2Ja2--a2—,

V33

.?」-且次。，（R—且a）22-（逅a）2,解得也，

3332

S球=4nR=3na"。

點評：本題也可用補形法求解。將P一補成一個正方體，由

對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對角線,

易得球半徑坐，下略。

[例17]（2006四川文，10）如圖，正四棱錐P-ABC。底面的四

個頂點在球。的同一個大圓上，點P在球面上，如果

VP-ABCD=y，則球。的表面積是（）

A.4萬B.8乃C.12萬D.16萬

（2）半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面

圓內(nèi)，若正方體棱長為指，求球的表面積和體積。

解析：（1）如圖，正四棱錐底面

的四個頂點ABC。在球。的同一個大圓上，

2

點P在球面上，，底面，，SABCD=2R，

%ABCD=g，所以g-2R2.R=g,2,球°的表面

積是16乃，選D。

（2）作軸截面如圖所示，

CC=屈,AC=立.瓜二2日

設(shè)球半徑為R，

則R2="2+CC2

=（府+（我2=9

??R=3,

?o4a

??5球==367r,匕求=1乃/?、=36萬0

點評：本題重點考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的

關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。

[例18](1)表面積為324萬的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求

這個正四棱柱的表面積。

(2)正四面體的棱長為a,球。是內(nèi)切球，球。是與正四面體

的三個面和球。都相切的一個小球，求球。的體積。

解析：(1)設(shè)球半徑為R,正四棱柱底面邊長為a,

則作軸截面如圖，AV=14,AC=?,

又,/4兀R2=324%,；.R=9,

AC=^AC2-CC'2=872,?，.a=8,

S技=64x2+32x14=576.

(2)如圖，設(shè)球。半徑為尼球Q的半徑為r,￡為中點,

球。與平面、切于點RG,球。與平面切于點〃.

由題設(shè)

AG=^AE2-GE2=—a.

3

V6

'：A^A?.=N一，得H=逅

73V312

△小△

點評：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點是面的中心，球心到

各面的距離相等。

[例19](1)我國首都靠近北緯40緯線，求北緯40緯線的長度

等于多少物？(地球半徑大約為637()而)

(2)在半徑為13c%的球面上有三點，AB=BC=AC=\2cm,

求球心到經(jīng)過這三點的截面的距離。.

/.OKLAK,

設(shè)C是北緯40的緯線長,

丁ZAOB=ZOAK=40,

??C=2冗?AK=27V-OA-cosZOAK=2"-OA-cos40

*2x3.14x6370x0.7660?3.066xl04(/an)

答