2022-2023學(xué)年南京市燕子磯中學(xué)高二第一學(xué)期期末考試

2022-2023學(xué)年南京市燕子磯中學(xué)高二第一學(xué)期期末考試

一.選擇題（共8小題）

1.已知等比數(shù)列｛4｝中，出=2，%=4，則％=（）

A.8B.16C.32D.36

2.過(guò)拋物線y=2/的焦點(diǎn)/作傾斜角為120。的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),貝I弦|AB|的

長(zhǎng)為（）

21

A.2B.-C.-D.1

32

3.已知圓￡:犬2+/一4=0與圓C2+y2-4x+4y-12=0相交于A,3兩點(diǎn)，則兩圓的

公共弦|A8|=（）

A.2A/2B.3A/2C.應(yīng)D.2

4.中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的

非凡智慧.一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2根時(shí)，水面寬8〃?.若水面下降1加，則水面

寬度為（）

A.2y/6mB.4屈mC.4y/2mD.12m

5.若曲線C上存在點(diǎn)使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A（-5,0）,8（5,0）距離之差的絕對(duì)值為8,則

稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是（）

fV2

A.x+y=5B.x2+y2=9C.—+^-=1D.x2=16y

6.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，4，4，B],為為橢圓頂點(diǎn)，F(xiàn)?為右

焦點(diǎn)，延長(zhǎng)用巴與人區(qū)交于點(diǎn)尸，若/月尸危為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是（）

7.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S”,G=1,當(dāng)—.2時(shí),an+2Sn_｝=n,則S?必等于()

A.1008B.1009C.1010D.1011

8.若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,不等式e2'(a-x),,l恒成立，則實(shí)數(shù)。的范圍是()

Aln21口ln2八7clcIni1

A.CL------1---r).6Z,,----1--FIC.6Z,,2H--D.a..；----1—

222222

多選題(共4小題)

9.設(shè)%),B(X2,%)是拋物線丁=4x上兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若。l_LO3,下列

結(jié)論正確的為()

A.必為為定值

B.直線AB過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)

C.S-OB最小值為16

D.O到直線鉆的距離最大值為4

10.以下四個(gè)命題為真命題的是()

A.過(guò)點(diǎn)(T0,10)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為y=無(wú)+￡

B.直線元cos。+gy+2=0的傾斜角的范圍是[0,萬(wàn))

C.曲線C[:/+V+2x=0與曲線C?:無(wú)2+y-4x-8y+："=。恰有一條公切線，則：〃=4

D.設(shè)P是直線x-y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圓0:爐+：/=1的切線R4,PB,切點(diǎn)

為A,B,則經(jīng)過(guò)A,P,。三點(diǎn)的圓必過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)

11.等比數(shù)列｛氏｝中，公比為q,其前〃項(xiàng)積為北，并且滿足%>1.a99900T>。，芻3<。，

01Go-1

下列選項(xiàng)中，正確的結(jié)論有()

A.0<^<1

B.—1＜。

c.Koo的值是，中最大的

D.使7；,>1成立的最大自然數(shù)〃等于198

12.已知函數(shù)〃幻=工，下列關(guān)于/(元)的四個(gè)命題，其中真命題有()

e

A.函數(shù)/(x)在［0,1］上是增函數(shù)

B.函數(shù)/(尤)的最小值為0

C.如果xe［0,4時(shí)，/(%),_=4，則f的最小值為2

e

D.函數(shù)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)

三.填空題(共4小題)

13.已知直線6:2x+wiy+l=0與&：47m;+(〃?+l)y+2=0垂直，貝!］他的值為.

14.設(shè)曲線y=x'M(〃eN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與無(wú)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為與，令a，,=lgx”,則

%++a>+...+%99的值為?

15.甲乙兩地相距240初7,汽車(chē)從甲地以速度v(物勻速行駛到乙地.已知汽車(chē)每小時(shí)的

運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為160元，可變成本為優(yōu)元.為使全

6400

程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以km/h速度行駛?

22

16.若傾斜角為7的直線過(guò)橢圓會(huì)+春=l,(a>6>0)的左焦點(diǎn)尸且交橢圓于A,B兩點(diǎn),

若|AF|=3|M|,則橢圓的離心率為.

四.解答題(共6小題)

17.已知點(diǎn)P(2,0)及圓C:Y+y2-6x+4y+4=0.

(1)若直線/過(guò)點(diǎn)P且與圓心C的距離為1,求直線/的方程.

(2)設(shè)直線依-、+1=0與圓C交于A,3兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)。，使得過(guò)點(diǎn)尸(2,0)的直

線4垂直平分弦至？若存在，求出實(shí)數(shù)。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知函數(shù)/(X)=x—(o+l)〃比一旦(a>0).

X

(1)當(dāng)4=3時(shí)，求/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論了(元)的極值.

19.已知｛%｝是遞增的等差數(shù)列，q=3,且須，%，%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列1的前〃項(xiàng)和為（,，求證：-?Tn<-.

[a?an+iJ156

20.已知過(guò)圓￡:爐+>2=1上一點(diǎn)的切線，交坐標(biāo)軸于A、3兩點(diǎn)，且A、3恰

22

好分別為橢圓C,:「+==1（。>6>0）的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn).

ab

（1）求橢圓C?的方程；

（2）已知P為橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM、HV分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若直線

建V過(guò)定點(diǎn)。（-1,0）,求證：PMA.PN.

21.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，S2=0,Ss-S3=21.

（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)勿=」一，求數(shù)列電｝的前〃項(xiàng)和7；.

aa

??+i

22.已知函數(shù)/（x）=/nx-ox+（x-2）e".

（1）當(dāng)，=1時(shí)，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,f（1））處的切線方程；

（2）當(dāng)a..l時(shí)，/（X）,,6對(duì)任意的xeg,1）恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)6的最小整數(shù)值.

2022-2023學(xué)年南京市燕子磯中學(xué)高二第一學(xué)期期末考試

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.已知等比數(shù)列｛%｝中，出=2，%=4，則％=（）

A.8B.16C.32D.36

【解答】解：.?等比數(shù)列僅“｝中，%=2，%=4,

解得42,

[49=4

/==4x22=16.

故選：B.

2.過(guò)拋物線>=2爐的焦點(diǎn)方作傾斜角為120。的直線交拋物線于A、5兩點(diǎn)，則弦|AB|的

長(zhǎng)為（）

21

A.2B.-C.-D.1

32

【解答】解：根據(jù)拋物線y=2/方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（O,3,

8

直線AB的斜率為k=tan120°=-指，

由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)4?:丫-工=-后

8

將直線方程代入到拋物線方程當(dāng)中，得：2/+氐一L=0.

8

設(shè)A（%，％），3>2，%）

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：占+々=一等.

1

卒2-4

3（X]+%）=a+3

故選：A.

3.已知圓G：V+y2-4=0與圓C2：無(wú)2+y2-4x+4y-：12=0相交于A,3兩點(diǎn)，則兩圓的

公共弦|AB|=()

A.2A/2B.3忘C.y/2D.2

【解答】解：圓￡:尤2+y2-4=o與圓C2：x2+y2-4x+4y-[2=o相交于A,3兩點(diǎn),

x2+y2=4

整理得

Y+/-4x+4y-12=0

所以直線的方程為尤-y+2=0，

|0-0+2|

所以圓心(0,0)至U直線*一y+2=0的距離d=

所以所截得弦長(zhǎng)為21=26-2=2應(yīng)，

故選：A.

4.中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的

非凡智慧.一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2加時(shí)，水面寬8〃z.若水面下降1根，則水面

寬度為()

A.2娓mB.4娓mC.4丘mD.12m

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該拋物線的方程為Y=_2處，

又由當(dāng)水面離拱頂2加時(shí)，水面寬8加，即點(diǎn)(4,-2)和(T,-2)在拋物線上,

則有16=-2p(-2),解可得p=4,

故拋物線的方程為無(wú)2=一右，

若水面下降1〃?，即y=-3,則有尤2=24,解可得X=±2A/^,

此時(shí)水面寬度為2屈-(-2A/6)=4A/6,

故選：B.

5.若曲線C上存在點(diǎn)使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)4-5,0),8(5,0)距離之差的絕對(duì)值為8,則

稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是()

fV2

A.x+y=5B.x2+y2=9C.—+^-=1D.x2=16y

【解答】解：由題意知：Af平面內(nèi)兩點(diǎn)A(-5,0),8(5,0)距離之差的絕對(duì)值為8,

由雙曲線定義知：M的軌跡以A,3為焦點(diǎn)的雙曲線且o=4,c=5,即軌跡方程為：

VLi

169

22

“好曲線”一定與上-乙=1有交點(diǎn)，結(jié)合各選項(xiàng)方程的曲線知：

169

所以不是“好曲線”的是3.

故選：B.

6.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，4，4，用，鳥(niǎo)為橢圓頂點(diǎn)，F(xiàn)?為右

焦點(diǎn)，延長(zhǎng)用鳥(niǎo)與人當(dāng)交于點(diǎn)尸，若N4產(chǎn)生為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是()

【解答】解：如圖所示，尸層為人鳥(niǎo)與月片的夾角;

設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為a,b,c,

4坊=(—〃,》)9F2B[=(~c,—b)9

向量的夾角為鈍角時(shí)，4坊?用4<0，

cic—v0,

又Z?2=_/2,

/—ac—>0;

兩邊除以"得1_-/>0,

即/+e—1v0；

冷刀汨_\一小^/5—1

斛得------<e<---------,

22

又Ovevl,

?J5-1

:.0<e<--------，

2

故選：c.

7.已知數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,當(dāng)九.2時(shí)，an+2Sn_t=n,則S.等于（）

A.1008B.1009C.1010

【解答】解：由題意可得,當(dāng)九.2時(shí)，2S=

an+K,1n,an+l+2Sn=n+\,

兩式作差可得an+l-an+2an=l,

即%+i+%=1，

即當(dāng)”..2時(shí)，數(shù)列任意連續(xù)兩項(xiàng)之和為1,

據(jù)此可知S2021=1+3歲=1011,

故選：D.

8.若對(duì)任意正實(shí)數(shù)X,不等式02，（4-尤）,,1恒成立，則實(shí)數(shù)。的范圍是（）

Aln21nln2,八1一

A.CL---1—H.CL,----FA1C.tz,In2TL）.d..

2222

【解答】解：因?yàn)椴坏仁?（a—x）,,l恒成立，^＞0,

所以④3+X恒成立，

設(shè)/W=J+*，則6，/。）“向，

e

2

因?yàn)閞oo=--，

e

令ro）=o,則％=號(hào)，

In?

所以當(dāng)xeyh時(shí)，?。?。，“丁+8）時(shí)，?。?。，

所以/（X）在（-00,當(dāng)）上單調(diào)遞減，在（寫(xiě),+8）上單調(diào)遞增，

;匚|、【、工/加2、1

所以/（x）加=/匕-）=5+ln32，

故選：A.

-.多選題（共4小題）

9.設(shè)4（&，乂）,B（X2,%）是拋物線y=4x上兩點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，若。i_Lae,下列

結(jié)論正確的為（）

A.必%為定值

B.直線AB過(guò)拋物線/=4尤的焦點(diǎn)

C.5兇。8最小值為16

D.O到直線的距離最大值為4

【解答】解：設(shè)直線43方程為x=/y+〃，，％),B(X2,y2),

將直線AB方程代入拋物線方程yI2*4=4.x,焦點(diǎn)坐標(biāo)(1,0)

得y1—4〃zy—4H=0,

貝。%+%=4機(jī)，=~^n，

OAJ_OB>k-k=~=------；---------5-----y=-1，〃=4.

OAOB%%-4m2n+Wn+/i2

于是直線AB方程為工=沖+4,該直線過(guò)定點(diǎn)(4,0).故A正確;

焦點(diǎn)坐標(biāo)不滿足直線方程，所以3不正確；

%%=-4n=-16，

I靖+才?收2+%2

44

12

=-XIX4、,2%,v：

2

1I%%IX.X?y；+16)(%2+16)

=-x

2

1

=-x

2

122

..；-x2716|yj|-2^/161y21=16.當(dāng)且僅當(dāng)|y|=|%1=4時(shí)，取等號(hào),

2

SAAOB最小值為16-所以C正確;

4

O到直線的距離d=-^=,,4,當(dāng)帆=0時(shí)，d取得最大值4,即D正確;

也+m2

故選：ACD.

10.以下四個(gè)命題為真命題的是()

A.過(guò)點(diǎn)(-10,10)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為>=-%+￡

B.直線xcos0+^y+2=0的傾斜角的范圍是[0,-]l\[—,左)

61^6

C.曲線C[:尤2+V+2尤=0與曲線C?:尤2+y?-?-Sy+m=0恰有一條公切線，則：〃=4

D.設(shè)P是直線x-y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圓O:V+y2=l的切線上4,PB,切點(diǎn)

為A,B,則經(jīng)過(guò)A,P,。三點(diǎn)的圓必過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)

【解答】解：對(duì)于A,設(shè)直線方程為>-10=以x+10),可得橫截距為-3-10,縱截距為

k

10)1+10,

10=4(10^+10),解得：左=—1或左=-；,二直線方程為y=—x或y=-；x+?,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,由題設(shè)知直線的斜率左=一日cosee.?.直線的傾斜角的范圍是[0,

-1[―,萬(wàn))，故3正確；

66

對(duì)于C,曲線C]：(x+l)2,+y2=i,曲線C2：(x-2)2+(y-4)2=20-=>0,

它們恰有一條公切線，，它們內(nèi)切，

，圓心距1=16。21=5/^奇V=5=l亞二五一1|，解得：m=-16,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)尸(根,機(jī)-2),根據(jù)切線的性質(zhì)，可得AO_LR4,經(jīng)過(guò)A,P,O三點(diǎn)的圓即

為以PO為直徑的圓，則圓的方程為x{x-m)+y(y-m+2)=0,整理得：

22+y

(x+y+2y)-m(x+y)=0,令[天+2y_0,解得：x=y=o,或(天】,即經(jīng)過(guò)A,

[x+y=0'[y=-1

P,O三點(diǎn)的圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,0),(1,-1),故D正確，

故選：BD.

11.等比數(shù)列伍“}中，公比為q,其前〃項(xiàng)積為T(mén)“，并且滿足%>1.%9.%。-1>0,93<0,

。100T

下列選項(xiàng)中，正確的結(jié)論有()

A.0<^<1

B.%—1<0

C.(00的值是T,中最大的

D.使7；>1成立的最大自然數(shù)〃等于198

【解答】解：對(duì)于A,佝9400一1>0，〉1(4/98)2.>1.

4>1,：.q>Q.

又&L<0,「.心>1，且qoo<1?

%00-1

/.0<^<1,故A正確；

對(duì)于8,1%9嗎。1=。必，...0<須,〃<1,即—一1<0,故3正確；

(0<o100cl

對(duì)于C，由于40G=19,%00，而。<%00<1，故有4OO<(9，故。錯(cuò)誤；

又寸丁，D，工98=%*02,?,^198=(%?"198)(々2?497)，，，("99?"100)=(^99*^100X99>1,

7^99=***^199—(6-^199)(02,^198^***C^99*^101^>^100V1，DJ-E^^?

不正確的是c.

故選：ABD.

12.已知函數(shù)/(x)=工，下列關(guān)于“X)的四個(gè)命題，其中真命題有()

e

A.函數(shù)/(x)在［0,1］上是增函數(shù)

B.函數(shù)/(無(wú))的最小值為0

C.如果xe［0,/］時(shí)，/(x)?m=4-則f的最小值為2

e

D.函數(shù)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)

【解答】解：4(瞥=武2.,當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f(x)<0,當(dāng)0<x<2時(shí)，f'(x)>0,

ex

故/(x)在(-8,0),(2,+00)上遞減，在(0,2)上遞增，

故A正確；

當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=0,x￥0時(shí)，/(%)>0,故3正確；

當(dāng)fe(0,2)時(shí)，人>)在［0,7］上遞增，〃尤),,/(。<42)=當(dāng)，不合題意；當(dāng)"2時(shí)，f(x)?f

e

(2)=4-符合，當(dāng)/>2時(shí)，/(元)在［0,2)上遞增，在(2,〃上遞減，所以/(元),，/(2)

e

44

=—,綜上力.2時(shí)，f(x)^=—,故，的最小值為2,所以C正確.

ee

令/(x)=0可得％=0,所以/(%)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以④。正確.

故選：ABC.

三.填空題(共4小題)

13.已知直線':2%+切+1=0與4：4mx+(m+l)y+2=0垂直，則加的值為?；?9_.

【解答】角軍：直線《：2%+nty+l=0與鄉(xiāng)：4mx+(m+l)y+2=0垂直，

/.2x4m+m{m+1)=0?解得加=0或zn=—9,

故答案為：0或-9.

14.設(shè)曲線y=V+i(〃￡N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為％,令則

%+%+a2+???+佝99的彳直—2?

【解答】解：曲線y=—(〃eN*),

/=(n+I)xn,fr(1)=n+l,

.,.曲線y=xn+1(〃￡N*)在(1,1)處的切線方程為y-l=(n+l)(x-1),

該切線與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為七=品，

a.=lgx?，

/.an=Ign—lg(n+1),

??Id>2+???I^^99

=(Zgl-/g2)+(Zg2-Zg3)+(Zg3-Zg4)+(Zg4-/g5)+(Zg5—/g6)+…+@999-ZglOOO)

=/gl—信1000=—3.

故答案為：-3.

15.甲乙兩地相距240Am,汽車(chē)從甲地以速度式物i//i)勻速行駛到乙地.已知汽車(chē)每小時(shí)的

運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為160元，可變成本為—1—/元.為使全

6400

程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以km/h速度行駛?

【解答】解：設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,

由題意，得>=啊(160+」一丫3)=240(網(wǎng)+二一丫2),v>0,

v6400v6400

,1602、

y=240(---+——v).

v6400

令>'=0,得。=80.

當(dāng)y>80時(shí)，y'>0;當(dāng)0<uv80時(shí)，y'<0.

所以v=80時(shí)，笫而=720.

22

16.若傾斜角為看的直線過(guò)橢圓>會(huì)=l,m>6>0)的左焦點(diǎn)尸且交橢圓于A,3兩點(diǎn),

若|AF|=3|M|,則橢圓的離心率為—弓

【解答】解：橢圓左焦點(diǎn)F(-c,0),

直線4?的傾斜角為工，則斜率為且,

63

直線AB的方程為y=*(x+c).

y=#(x+c)

聯(lián)立<得(/+3b2)y2-2也b^cy-b4=Q.

|/+3一1

s/3b2c+2ab2s(3b2c-2ab2

解得:a2+3b2'%=4+3-

IAF|=31BF|,/.yx=—3%.

即J3b2c+2ab2=-3x(聞c-2ab2),

即4耳2c=4/，

解得：e=￡=且，

a3

故答案為：—.

3

四.解答題(共6小題)

17.已知點(diǎn)P(2,0)及圓C:f+y2-6x+4y+4=0.

(1)若直線/過(guò)點(diǎn)尸且與圓心C的距離為1,求直線/的方程.

(2)設(shè)直線6-y+l=0與圓C交于A,3兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)。，使得過(guò)點(diǎn)尸(2,0)的直

線垂直平分弦AB?若存在，求出實(shí)數(shù)。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)設(shè)直線/的斜率為左(左存在)，則方程為〉-0=后0-2),即履-y-2左=0.

又圓C的圓心為(3,-2),半徑r=3,由13左=2<=],解得％=/.

所以直線方程為y=-』(x-2),即3x+4y-6=0.

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，/的方程為x=2,經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件.

綜上所述，直線/的方程為3尤+4丫-6=0或x=2；

(2)把直線y=ox+l代入圓C的方程，消去y,整理得(a2+1)尤,+6(a-l)x+9=0.

由于直線ar-y+1=0交圓C于A,3兩點(diǎn)，

故△=36(4-1)2-36(片+1)>0,解得。<0.則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-oo,0).

設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在.

由于乙垂直平分弦AB，故圓心C(3,-2)必在上.所以的斜率須c=-2.

而kAR=a=----，所以a=1.

kPC2

由于ge(-co,。)，故不存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)尸(2,0)的直線乙垂直平分弦AB.

18.已知函數(shù)/(1)=x—(a+l)/nx—@(a>0).

x

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)討論了(%)的極值.

【解答】解：(1)當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=x-4lnx——，

x

皿|,，/、143x2—4x+3(x-3)(A:—1)

則/(X)=l——+-y=----2——=-----7-----，

XXXX

由/'(x)>0,得0<%<1或犬>3；由/'(x)vO,得lv光<3.

所以了(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(3,^o),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).

當(dāng)avl時(shí)，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a),(l,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,l),

故此時(shí)/(%)的極大值為/(a)=a-l-(a+X)lna,極小值為/(1)=l-a；

當(dāng)a=l時(shí)，/(%)..0,即/(%)在(0,+00)上單調(diào)遞增，此時(shí)/(%)無(wú)極值；

當(dāng)々>1時(shí)，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(Q,+OO),單調(diào)遞減區(qū)間為(l,a),

故此時(shí)了(%)的極大值為/(1)=1-々，極小值為/(a)=a-l-(a+T)lna.

綜上，當(dāng)QVI時(shí)，/(兀)的極大值為/(a)=a-l-(a+l)lna,極小值為/(1)=l-a；

當(dāng)a=l時(shí)，/(%)無(wú)極值；當(dāng)々>1時(shí)，/(%)的極大值為/(1)=l-a,極小值為/(a)

=a—l—(a+1)Ina.

19.已知｛%｝是遞增的等差數(shù)列，q=3,且％3，%，q成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列1的前〃項(xiàng)和為T(mén),,求證：-?Tn<~.

[a?an+iJ156

【解答】解：（1）設(shè)｛%｝的公差為〃，｛%｝是遞增的等差數(shù)列，%=3,且a*，生成

等比數(shù)列,

2

所以aj=q,o13n(3+3<Z)=3(3+12d)=>相—2d=0,

因?yàn)椋?｝是遞增，所以d>0,故4=2,所以。“=2”+1,

所以數(shù)列｛a/的通項(xiàng)公式為4“=2〃+1；

證明：(2)-^―=-------------=-(-......—),

anan+l(2n+1)(2〃+3)22n+12n+3

因?yàn)閿?shù)列]的前〃項(xiàng)和為7；，

1A+iJ

所以n4（7g）+g_；）+

+(-----------)]——(--------)

2〃+12〃+3232〃+3

因?yàn)橐籢單調(diào)遞減，所以7；單調(diào)遞增,

2〃+3

故當(dāng)〃=1時(shí)，(7X?,=T;=A1

,MT;,

n232〃+36

故LTn<-.

15“6

20.已知過(guò)圓G：/十9=1上一點(diǎn)的切線，交坐標(biāo)軸于A、5兩點(diǎn)，且A、區(qū)恰

22

好分別為橢圓4=1（。>6>0）的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn).

ab

（I）求橢圓C2的方程;

（2）已知尸為橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線PM、PN分別交橢圓于A/、N兩點(diǎn)，若直線

ACV過(guò)定點(diǎn)。（-1,0）,求證：PM1PN.

【解答】解：⑴設(shè)過(guò)點(diǎn)吟爭(zhēng)的切線方程為尸手=稔-3,即點(diǎn)一了+日一夫=0,

因?yàn)閳A心到直線的距離等于半徑，

I3一

所以二1,解得左=一且，

VF7T3

所以切線方程為-3x-y+2/=0,

33

令x=0,得、=孚，A（0,羊），

令y=0,