離心率問題欣賞

浙江省德清縣高級(jí)中學(xué)江戰(zhàn)明“百花齊放”的離心率問題欣賞2016.01.07離心率問題概述離心率問題一直以來是解析幾何的重要一部分，也頗受命題者青睞，但可能因?yàn)閮H僅只是一個(gè)比值，所以很多教師對(duì)離心率問題的關(guān)注或熱情并不高.

浙江省理科解析幾何解答題以考查橢圓為主，雙曲線則出現(xiàn)在選擇或填空的可能較大，特別是這兩年(新高考)關(guān)于雙曲線離心率的各類新、陳題型層出不窮，百花齊放.確實(shí)，離心率問題只須找到于一組a,b,c之間的關(guān)系就能解決，但就如何快速找出這組關(guān)系并計(jì)算出結(jié)果，還是大有“門道”的.2015考試說明文科2014、2015考試說明理科2014文科近兩年高考原題回顧，.雙曲線離心率問題歸類類型1：以漸近線為載體結(jié)合向量型類型2：雙曲線結(jié)合圓型類型3：雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)型類型4：雙曲線與拋物線共存型類型5：純粹雙曲線型類型1：以漸近線為載體結(jié)合向量型類型1：以漸近線為載體結(jié)合向量型類型1：以漸近線為載體結(jié)合向量型類型1：以漸近線為載體結(jié)合向量型類型1小結(jié)以漸近線為載體型

若既出現(xiàn)直線與雙曲線交點(diǎn)又出現(xiàn)直線與漸近線交點(diǎn)，一般可以從幾何角度通過雙曲線性質(zhì)找出之間的等量關(guān)系或不等量關(guān)系；而代數(shù)角度直接以一種方式求點(diǎn)，再以另一種方式把點(diǎn)坐標(biāo)代入方程找關(guān)系的手法一般會(huì)有較大計(jì)算量.若雙曲線中純粹以漸近線和直線間產(chǎn)生關(guān)系的試題，一般需通過求解直線與漸近線交點(diǎn)入手，至于如何找到離心率與交點(diǎn)間的關(guān)系則可能要用到雙曲線定義或平面幾何性質(zhì)；類型2：雙曲線結(jié)合圓型類型2：雙曲線結(jié)合圓型類型2小結(jié)

雙曲線與圓結(jié)合的離心率問題的共性是需從幾何角度恰當(dāng)運(yùn)用圓的特性和雙曲線性質(zhì)，這樣的處理會(huì)非常流暢；

如果想從純代數(shù)角度通過計(jì)算獲得結(jié)果，不僅過程曲折，計(jì)算可能會(huì)很大，甚至無法解題.雙曲線結(jié)合圓型

因此，與圓交匯的題型，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注幾何性質(zhì)與曲線定義，而非“蠻力”計(jì)算.類型3：雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)型類型3：雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)型類型3小結(jié)

雙曲線離心率問題若命在與橢圓交匯處，通常會(huì)以共焦點(diǎn)形式出現(xiàn)并在曲線公共點(diǎn)處設(shè)問，一般需用橢圓、雙曲線的定義或?qū)⒐颤c(diǎn)兩次代入兩曲線找到兩離心率之間的關(guān)系或直接求出雙曲線離心率.雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)型類型4：雙曲線與拋物線共存型類型4：雙曲線與拋物線共存型類型4小結(jié)

雙曲線與拋物線共存如果以共焦點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程形式出現(xiàn)，一般類似于與橢圓共存的情況，需特別關(guān)注兩曲線的定義和公共點(diǎn)的性質(zhì)；但若拋物線以函數(shù)形式出現(xiàn)，則一般需關(guān)注拋物線的二次函數(shù)性質(zhì).雙曲線與拋物線共存型類型5：純粹雙曲線型類型5：純粹雙曲線型類型5小結(jié)純粹雙曲線型離心率問題一般可以分為已知條件如垂直、鈍角、銳角、角平分線、角的范圍等，若僅已知垂直，則用數(shù)量積為0或勾股定理的可能性較大；若已知鈍角、銳角情況則用余弦定理的可能較大；若已知角的范圍則結(jié)合三角形用三角函數(shù)解題的可能最大；若已知角平分線則一般會(huì)構(gòu)造等腰三角形或過角平分上一點(diǎn)作兩邊垂線相等或角平分線定理，其實(shí)不管以上哪種情況雙曲線的定義或性質(zhì)一般都需用到.純粹雙曲線型

當(dāng)然，肯定還有其它類型，但相信只要仔細(xì)研究已知條件，一定可以找出線索，找到解題方法.反思與提高

離心率問題具有較強(qiáng)的兩面性，如果不理解問題的本質(zhì)，僅從表面入手，只想過計(jì)算獲得所要的結(jié)果，那很有可能已脫離命題者的意圖或者說正好落入命題者的圈套.

一般漂亮的試題都具有較為隱晦兩面性或者至少入口較寬，大部分學(xué)生可以通過努力獲得所要的結(jié)果.但在有限的考試時(shí)間里，如何抓住問題本質(zhì)進(jìn)行快速、有效的突破是質(zhì)優(yōu)學(xué)生必須具備的思維品質(zhì)，而這種優(yōu)良的思維品質(zhì)的養(yǎng)成顯然離不開學(xué)生個(gè)人的專研與訓(xùn)練，但我以為教師的有效引導(dǎo)和潛移默化一定功不可沒.

其實(shí)從前面所講不難看出，正真需要大量運(yùn)算的離心率問題真不多(2015年浙江省幾乎沒有)，雖然2015年所呈現(xiàn)的試題變化多端，但類型并不多本質(zhì)區(qū)別也不大，相信只要對(duì)這些類型進(jìn)行系統(tǒng)整理與研究，一定會(huì)對(duì)學(xué)生解決雙曲線離心率問題有所幫助