【數(shù)學(xué)】平面向量的概念 課件 2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第六章平面向量及其應(yīng)用向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的，反過來(lái)，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題。向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時(shí)，重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等。之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法——向量法和坐標(biāo)法。本章共分五大節(jié)。第一節(jié)是“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”，內(nèi)容包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。本節(jié)從物理學(xué)中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長(zhǎng)度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹有向線段、有向線段的三個(gè)要素、向量的表示、向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系、向量的長(zhǎng)度、零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等。6.1平面向量的概念一、向量的實(shí)際背景向量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)。很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來(lái)得到?！跋蛄俊币辉~來(lái)自力學(xué)、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓。

OBA湖面上有三個(gè)景點(diǎn)O,A,B,一游艇將游客從景點(diǎn)O送至景點(diǎn)A,半小時(shí)后,游艇再將游客送至景點(diǎn)B.1.在物理中，位移與路程是同一個(gè)概念嗎？為什么？向量的實(shí)際背景與概念2.物體受到的重力、物體在液體中受到的浮力,被拉長(zhǎng)或壓縮的彈簧的彈力…力是常見的物理量，也是既有大小又有方向的量.

創(chuàng)設(shè)情境老鼠為什么認(rèn)為貓是“傻貓”?

貓的速度再快也沒用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了。

50m/s10m/s傻貓故事：南轅北轍——《戰(zhàn)國(guó)策》戰(zhàn)國(guó)后期，魏國(guó)國(guó)力漸衰,可是魏王想出兵攻伐趙國(guó).謀臣季梁前來(lái)勸阻伐趙。季梁為了打動(dòng)魏王，來(lái)了個(gè)現(xiàn)身說(shuō)法。季梁說(shuō)：“今天我在來(lái)此的路上，遇見一個(gè)人坐車朝北而行，告訴臣說(shuō)‘我想要去楚國(guó)?！颊f(shuō)‘楚國(guó)在南方，為什么要朝北走？’那人的回答是：‘我的馬好，跑得快?！业穆焚M(fèi)多著呢?！业鸟R夫最會(huì)趕車?！Y(jié)果：那人離楚國(guó)越來(lái)越遠(yuǎn)。結(jié)果怎么樣了？以上兩則故事，告訴我們什么道理？找準(zhǔn)方向+看到差距+努力=成功這兩件事告訴我們，不管是治理國(guó)家，還是抓一只小老鼠，做任何事，都要首先看準(zhǔn)方向，才能充分發(fā)揮自己的有利條件；如果方向錯(cuò)了，那么有利條件只會(huì)起到相反的作用。導(dǎo)入新知一、向量的概念①向量的要素是什么?②向量就是數(shù)量嗎?向量之間能否比較大小?大小方向數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大?。幌蛄烤哂写笮『头较蜻@雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量不能比較大小.想一想位移和距離這兩個(gè)量有什么不同？位移既有大小又有方向距離只有大小沒有方向向量數(shù)量一條小船從A地出發(fā)，向西北方向航行15km到達(dá)B地，可以用什么方式表示小船的位移？北東AB由于數(shù)量可以用實(shí)數(shù)表示，而實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以數(shù)量可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，那么，向量該如何表示呢？探索新知二、向量的表示方法：(1)幾何表示法：有向線段.有向線段——具有一定方向的線段.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段，記為

A（起點(diǎn)）B(終點(diǎn))向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān).用有向線段表示向量時(shí),起點(diǎn)可以取任意位置.數(shù)學(xué)中的向量也叫自由向量.向量的模向量的大小，就是向量的長(zhǎng)度，稱為向量的模，記作.1.向量的模；2.向量不能比大小，但是可以比大?。?.兩個(gè)特殊向量：

、

有向線段的三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度如圖：有向線段AB與有向線段CD是否能代表同一條有向線段嗎?1.若有向線段的起點(diǎn)不同,則有向線段不同2.有向線段與向量是兩個(gè)不同的概念BADC(2）字母表示法：用a、b、c等小寫字母表示；或用表示有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示,如a.思考：向量與向量是不是同一向量?為什么?(3)模的概念：向量的大小即向量的長(zhǎng)度稱為向量的模.記作：

零向量---長(zhǎng)度(模)為0的向量叫做零向量，記作。單位向量---長(zhǎng)度（模）等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫作單位向量。說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.問：在平面上把所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)P，那么它們的終點(diǎn)的集合組成什么圖形？方向任意向量就是有向線段嗎？（1）有向線段——>三要素：起點(diǎn)、大小、方向（2）向量——>兩要素：大小、方向（2）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同向量.A1B1A3B3A4B4A2B22.零向量與零向量相等3.任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。1.若向量與相等，則記為（1）平行向量：①方向相同或相反的非零向量.向量與平行，記作②規(guī)定：零向量與任一向量平行，即(為任意向量)（2）共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫共線向量。一切向量都可以在不改變它大小和方向的前提下，將它平移到任何位置。（3）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.的相反向量記作（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.向量與向量相等判斷下列向量的概念是否正確(1)若向量a和向量b都是單位向量，則a=b（）(2)零向量和任何向量平行（）(3)相反向量一定共線（）(4)共線向量一定相等（）(5)若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是平行向量（）(6)零向量沒有相反向量（）(7)平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是平行向量（)(8)若向量a和向量b不共線，則兩個(gè)向量不平行（）×××√×√√×例1．如圖，設(shè)O

是正六邊形ABCDEF

的中心，分別寫出圖中與向量相等的向量．（1）向量與相等嗎?（2）與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（3）與向量共線的向量有哪幾個(gè)？不相等11（3）向量的表示方法：一般可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如

若表示向量的有向線段沒有標(biāo)注起點(diǎn)和終點(diǎn)字母，向量也可用黑體字母a，b，c，…（書寫時(shí)用注意用表示）.

AB

已知向量如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（）A.向量可以用表示B.向量的方向是由M指向NC.向量的起點(diǎn)是MD.向量的終點(diǎn)是MMN例題講解D向量的大小，就是向量的長(zhǎng)度（或稱模）,記作，或者記作.（4）向量的模思考：向量的模可以為0嗎？可以為1嗎？可以為負(fù)數(shù)嗎？零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，

不確定方向.故零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.注意：向量是不能比較大小的,但向量的模（是正數(shù)或零）是可以進(jìn)行大小比較的.有意義沒有意義模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考1：向量由其模和方向所確定.對(duì)于兩個(gè)向量，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？三.相等向量與共線向量規(guī)定：零向量與任一向量平行（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.向量與

平行，記作探究一向量的有關(guān)概念例1

下列說(shuō)法正確的有

。（填序號(hào)）①若，則或；②若向量與是共線向量，則A,B,C,D四點(diǎn)必在同一條直線上；③向量與是平行向量；④任何兩個(gè)單位向量都是相等向量。③例題講解O北探究二平面向量的表示例2

如圖所示，在坐標(biāo)紙上（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1），用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東方向；（2），使，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向；（3），使，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東方向。例題講解某人從點(diǎn)A出發(fā)向東走了5米到達(dá)點(diǎn)B，然后改變方向按東北方向走了米到達(dá)點(diǎn)C，到達(dá)點(diǎn)C后又改變方向向西走了10米到達(dá)點(diǎn)D。（1）作出向量；（2）求的模。

O北變式訓(xùn)練探究三相等向量與共線向量例3如圖，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個(gè)交點(diǎn)，從中選取兩個(gè)交點(diǎn)作向量，則與平行且長(zhǎng)度為的向量有

個(gè)。8ABCD例題講解2、本例中的條件不變，如圖，與相等的向量有多少個(gè)？

延伸探究1、本例中的條