2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點突破第6章數(shù)列高考大題規(guī)范解答-高考中數(shù)列問題的熱點題型考點1等差等比數(shù)列的綜合運算

等差、等比數(shù)列的綜合運算(2023·新課標(biāo)理)(12分)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>1.令bn＝eq\f(n2＋n,an)，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和.(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通項公式；(2)若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99＝99，求d.[解析](1)第1步：利用等差數(shù)列的通項公式得到首項與公差的關(guān)系式因為3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，第2步：得an與d的關(guān)系式所以an＝nd.(1分)第3步：利用bn與an的關(guān)系式得到bn與d的關(guān)系式因為bn＝eq\f(n2＋n,an)，所以bn＝eq\f(n2＋n,nd)＝eq\f(n＋1,d)，(2分)第4步：利用數(shù)列前n項和公式得到d的值所以S3＝eq\f(3a1＋a3,2)＝eq\f(3d＋3d,2)＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝eq\f(2,d)＋eq\f(3,d)＋eq\f(4,d)＝eq\f(9,d).(3分)因為S3＋T3＝21，所以6d＋eq\f(9,d)＝21，解得d＝3或d＝eq\f(1,2)，(4分)因為d>1，所以d＝3.第5步：得{an}的通項公式所以{an}的通項公式為an＝3n.(5分)(2)第1步：取等差數(shù)列{bn}的前3項，再利用bn＝eq\f(n2＋n,an)，得a1與d的關(guān)系式因為bn＝eq\f(n2＋n,an)，且{bn}為等差數(shù)列，所以2b2＝b1＋b3，即2×eq\f(6,a2)＝eq\f(2,a1)＋eq\f(12,a3)，所以eq\f(6,a1＋d)－eq\f(1,a1)＝eq\f(6,a1＋2d)，所以aeq\o\al(2,1)－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d.(7分)第2步：對a1＝d或a1＝2d分類討論，求bn，利用S99－T99＝99，得到關(guān)于d的方程，解方程得到d的值①當(dāng)a1＝d時，an＝nd，所以bn＝eq\f(n2＋n,an)＝eq\f(n2＋n,nd)＝eq\f(n＋1,d)，S99＝eq\f(99a1＋a99,2)＝eq\f(99d＋99d,2)＝99×50d，T99＝eq\f(99b1＋b99,2)＝eq\f(99\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,d)＋\f(100,d))),2)＝eq\f(99×51,d).(8分)因為S99－T99＝99，所以99×50d－eq\f(99×51,d)＝99，即50d2－d－51＝0，解得d＝eq\f(51,50)或d＝－1(舍去).(9分)②當(dāng)a1＝2d時，an＝(n＋1)d，所以bn＝eq\f(n2＋n,an)＝eq\f(n2＋n,n＋1d)＝eq\f(n,d)，S99＝eq\f(99a1＋a99,2)＝eq\f(992d＋100d,2)＝99×51d，T99＝eq\f(99b1＋b99,2)＝eq\f(99\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,d)＋\f(99,d))),2)＝eq\f(99×50,d).(10分)因為S99－T99＝99，所以99×51d－eq\f(99×50,d)＝99，即51d2－d－50＝0，解得d＝－eq\f(50,51)(舍去)或d＝1(舍去).(11分)第3步：總結(jié)綜上，d＝eq\f(51,50).(12分)名師點撥：解決由等差數(shù)列、等比數(shù)列組成的綜合問題，首先要根據(jù)兩數(shù)列的概念，設(shè)出相應(yīng)的基本量，然后充分使用通項公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等確定基本量.解綜合題的關(guān)鍵在于審清題目，弄懂來龍去脈，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件.【變式訓(xùn)練】(2023·廣東省七校聯(lián)考)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn＋n)))的前n項和為Tn，求Tn.[解析](1)由a1，a3，a11成等比數(shù)列，得a1a11＝aeq\o\al(2,3)，又S4＝26，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a1a1＋10d＝a1＋2d2，))又d≠0，所以a1＝2，d＝3.所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝2n＋eq\f(3nn－1,2)＝eq\f(3n2,2)＋eq\f(n,2)，eq\f(1,Sn＋n)＝eq\f(1,\f(3n2,2)＋\f(n,2)＋n)＝eq\f(2,3nn＋1)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，Tn＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,