小學(xué)高中數(shù)學(xué)公式大全

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

I.元素與集合的關(guān)系

XGA<=>CUA,xeCfjA=xgA.

2.德摩根公式

Cu(AnB)=q,AUCUB-CU(AU8)=gA.

3.包含關(guān)系

AC]B-AA[_)B—B=AJBOCUBJCUA

Q4口。*=中=。，*8=卡

4.容斥原理

card(AUB)=cardA+cardB-card(ADB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card{AClB)

—card(ADB)—card{BAC)—card(Cn4)+card(AnBflC).

5.集合｛%,。2,…，q｝的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)：真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1個(gè)；非空

的真子集有2”-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

⑴一般式/(x)=。爐+bx+c[a*0)；

⑵頂點(diǎn)式/(x)=a(x-〃)2+A(aHO)；

⑶零點(diǎn)式/(x)=a(x-X])(x-X2)(aHO).

7.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

N<f(x)<MQ"(x)—M]"(x)-N]<0

M+N,M—Nf(x)-N八

="(x)-------1<------0---->0

22M-f(x)

11

=-------->------.

f(x)-NM-N

方程在(勺上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)

8.f(x)=0，&2)f(kx)f(k2)<0

必要而不是充分條件.特別地，方程ax?+/>x+c=0(。。0)有且只有一個(gè)實(shí)根在(占水2)內(nèi)，等價(jià)于

bk+k

/(匕)/(心)<0,或/(匕)=0且匕<—9〈七二或f(k)=0且

2a22

氏1+3

——-<--b--<h,.

22a2

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)f(x)-ax2+bx+c(a。0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值只能在x-----處及區(qū)間的兩端

2a

點(diǎn)處取得?，具體如F：

/?h

⑴當(dāng)a〉o時(shí),若％=一丁e[p,司，則f(X)min=f(一h)，/a)max=max{f(P)，/(q)}；

2a2a

X=—?任[p，q]，/(X)max=max{/(P)，/(4)}，/Wmin=min

2a

b

(2)當(dāng)a〈0時(shí),若》=-丁6[p,q],則=min{/(p)"(q)},若x=一b丁任[p,q],

2a2a

則網(wǎng)

/(x)=max{/(p),/(q)},f(x)min=min{f(p),f(q)}.

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/(〃2)/(〃)<0,則方程/(x)=0在區(qū)間(〃?,〃)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)/(x)=x2+px+q,則

p2-4<7>0

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(機(jī),+8)內(nèi)有根的充要條件為/(〃?)=0或，p-

--->m

I2

'/(〃?)>0

/(〃)>0

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(機(jī),〃)內(nèi)有根的充要條件為或<p2_4q2o或

P

m<---<n

2

/(機(jī))=0f/(n)=0

或V

af(n)>Q[af(m)>0

p2-4q>0

(3)方程/(尤)=0在區(qū)間(一8,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(m)<0或1

--<m

12

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(一8,+8)的子區(qū)間乙(形如[[,￡],(一8,￡],[&,+8)不同)上含參數(shù)的二次不

等式/(x,f)20(f為參數(shù))恒成立的充要條件是/(羽。而“>0(xgL).

(2)在給定區(qū)間(一8,+8)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/(X,f)20”為參數(shù))恒成立的充要條

件是<0(x￡L).

a>0

a<Q

(3)f(x)=a?++c>0恒成立的充要條件是，820或<

b2—4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)至多有("-1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有("+1)個(gè)

對(duì)所有X,存在某X，

成立不成立，或g一\p且一it7

對(duì)任何X,存在某X,

不成立成立，且g—ip或一iq

逆逆

否否

15.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若p=>q,且q=>p,則〃是g充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)Xi?X?e[a,bJ,X]Hx2那么

(x,-%2)[/(%))-/(%2)]>0=>()Q/(x)在[a,H上是增函數(shù);

(玉一々)[/(再)一/(x,)]<0="』)—<0=/(x)在[a,。]上是減函數(shù).

⑵設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果/'(x)<0,

則/(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(X)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果

函數(shù)y=/(")和“=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)^=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(-x-a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則

f(x+a)=f(-x+a).

20.對(duì)于函數(shù)y=f(x)(xeR),f(x+a)-/(b—x)恒成立，則函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)

x=巴笠；兩個(gè)函數(shù)y=/*+。)與、=f(b-x)的圖象關(guān)于直線》=巴笠對(duì)稱.

21.若f(x)=-f(-x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱；若

/(x)=-f(x+a),則函數(shù)y=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=anx"++???+%的奇偶性

一項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)oP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)=P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱性

⑴函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱=f(a+x)-f(a-x)

of(2a-x)=f(x).

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=3(對(duì)稱0f(a+mx)=f(h-mx)

<=>f(a+b-mx)=f{mx).

2蟲(chóng)兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(—x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=/(〃這一。)與函數(shù))?=/(卜一〃比)的圖象關(guān)于直線苫="2對(duì)稱.

2m

(3)函數(shù)y=f(x)和y=/t(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移a、上移6個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x-a)+b的圖象；若將

曲線f(x,y)=O的圖象右移a、上移匕個(gè)單位，得到曲線/。一。,^一匕)=0的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)=bo『(b)=a.

27.若函數(shù)y=f(kx+b)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=」"T(x)一句，并不是

k

y=[f~'/x+b),而函數(shù)y=[/_'(點(diǎn)+匕)是)?=的反函數(shù).

k

28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

⑴正比例函數(shù)/(X)=ex,f(x+y)=/(x)+f(y),/(I)=c.

⑵指數(shù)函數(shù)f(x)=a\f(x+y)=f(x)f(y'),f(T)=a^O.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log?x,f(xy)=f(x)+/(y),/(a)=1(。>0,aW1).

⑷恭函數(shù)f(x)=f(xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,/(x-y)=fix)f(y)+g(x)g(y)>

XT°X

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)/、(X)=/(X+。),則/(X)的周期T二a；

(2)/(x)=/(x+a)=O,

或f(x+a)=—J—(/(x)豐0),

/(x)

或/(x+a)="(/(x)^0),

/(x)

或;+J/(x)—/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,1]),則/(x)的周期T=2a；

(3)/(X)=1---1---(f(x)H0),則y(x)的周期T=3a：

f(x+a)

⑷f(wàn)0+々)=1且/(a)=l(/(x1)-/(x2)^l,0<lx1-x2\<2a)，則

1一/區(qū))/(々)

/(x)的周期T=4a；

(5)f(x)+f(x+a)+f(.x+2a)f(x+3d)+f(x+4d)

=f(x)f(x+a)f(x-\-2a)f(x+3d)f(x-}-4a),則/(x)的周期T=5a；

(6)f(x4-a)=/(X)-f(x+a),則/(X)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)移

㈣1

(1)an-,——(a>G,m,nsN”,且〃>1).

<Ja

-巴1

(2)an-——(〃>0,機(jī)，幾￡N",且〃〉1).

U

31.根式的性質(zhì)

(1)(標(biāo))〃=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4a"=a；

r—[a,a>0

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Nna"=\a\=<

-a,a<0

32.有理指數(shù)第的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aras=a,+s(a>0,r,sGQ).

(2)(ary=ars(a>0,r,seQ).

(3)(ah)r=arhr(a>0,/?>0,re0).

注：若a>QP是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ar表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)

指數(shù)塞都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

log,N=b=d=N(a>G,a豐l,N>0)

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

log4N=--—(。>0,且且加wl,N>0).

log,"a

n

推論logbn=—logq且。>1,根,〃>0,且〃？N>0).

am

35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,M>0,N>0,則

⑴log.(MN)=log.M+log°N；

M

⑵log,7二g"Tog”；

(3)log.M"=nlog,M(nGR).

2

36.設(shè)函數(shù)f(x)=logm(ax+hx+c)(aW0),記A=〃-4ac.若/(x)的定義域?yàn)镽,則

。>0,且△<()；若/(x)的值域?yàn)镽,則。>0,且△20.對(duì)于。=0的情形，需要單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若。>0,。>0,工>0,—,則函數(shù)y=iog(bx)

aax

⑴當(dāng)。>。時(shí),在(0」)和(―,+°°)上)'=logrtA.(bx)為增函數(shù).

aa

(2)當(dāng)。時(shí)，在(0」)和(—,+<x>)±y=logflv(hx)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>機(jī)>1，p>0，。>0，且則

⑴log』5+P)<log〃"

(2)log“加log/<log“-y-.

38.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間尤的總產(chǎn)值y,有)>=?/(1+〃)，

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

f,%,n=1

an=<(數(shù)列｛〃"的前n項(xiàng)的和為,=q+2+???+〃〃).

[sn-sn_^n>2

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=〃1+(〃-T)d=+%-d(〃wN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

+*n(n-l)

s=——!----=na,+-----------a

n212

d）,1八

=-+（q-—d）n.

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

?！ǘ?",q"（n￡N*）；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

,q±l

\-q

nax,q=\

】一〃

aaq,qHl

或s”=<1-q

n%,q=1

.等比差數(shù)列｛%｝：的通項(xiàng)公式為

42a“+]=qan+d,a1=Z?(qW0)

b+｛n-Y)d,q-1

bq"+(db)q"T—d

,q/l

qT

其前n項(xiàng)和公式為

nb+〃(八一l)d,(q=1)

d

(b-—)i—q"+一

1—qq-]l-q

43.分期付款（按揭貸款）

每次還款X=+"）元（貸款〃元,〃次還清，每期利率為。）.

d

44.常見(jiàn)三角不等式

兀

（1）若xc（0,—）,則sinx<x<tanx.

2

⑵若xw（0,工），M1<sinx+cosx<V2.

2

（3）lsinxl+lcosxl>l.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin

sin2^+cos2^=l,tan。:-----,tan0-cotO=1.

cos。

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

.，〃兀、(一sina,（n為偶數(shù)）

sin(—+a)=<n-\

2

(-1)cosa,（n為奇數(shù)）

n

（n為偶數(shù)）

，〃兀、(一1戶cosa,

cos(—+<z)=<

n+I

(-1)2sina,（n為奇數(shù)）

47.和角與差角公式

sin(cr±^)=sincreosolcosasin(3；

cos(a±p)=cosacos+sinersin(3；

/」“、tanz7±tanB

tan(6T±夕)=---------三.

1+tanatanp

sin(a+Q)sin(a-7?)=sin2a-sin2/?(平方正弦公式)；

cos(a+p}cos(a-p)-cos2a-sin2p.

osina+bcosa=\Ja2+/?2sinQz+夕)(輔助角夕所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

b

定，tan^=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a.

32tana

tan2a=--------.

l-tarra

49.三倍角公式

jrjr

sin3。=3sin8-4sin36=4sin6sin(y-6)sin(y+8).

jrjr

cos3。=4cos'8-3COS6=4COS0COS(y-8)COS(y+8)

c八3tantan3八,式八、,兀八、

tan36=------------=tan0tan(---0)tan(—+夕).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（@x+8）,XWR及函數(shù)＞=cos（如+夕），X￡R（A,"夕為常數(shù)，且AWO,（。＞0）

的周期7=2；函數(shù)y=tan（ox+3）,xwkr+工，左eZ（A,3,Q為常數(shù)，且AWO,3＞o）的

co2

周期丁二%.

co

51.正弦定理

ahc

=-----=-----=2R.

sinA--sinBsinC

52.余弦定理

a2=b~4-c2—2bccosA；

b2=c2+/-2cacosB；

c2=a2+h2-2ahcosC.

53.面積定理

(1)S=—ah=—bh=—ch(/1>%、兒分別表示a、b、c邊上的高).

2a20h2ca0c

(2)5=—absinC=—bcsinA=—casinB.

222

22

(3)SAOAB=Iy/(.\OA\\OB\)-(OAOB).

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有A+8+C=%=C=〃一(A+8)

C7tA+B-,c、

——--------2C=2兀-2(A+B).

222

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinx=〃x=k7T+(-l)karcsina(ZcZ,lal<1).

cosx=a<=>x=2攵)±arccoso(kGZ,ltzl<1).

tan%=n=x=%乃+arctana(keZ,ae/?).

特別地有

sina=sinpa=k7U+(-1/p(keZ).

cosa=cos夕=a=2k兀±0#乏Z).

tana=tan0=a=k兀+°也wZ).

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<1)=(Ik/r4-arcsina,2kjc+7T-arcsina),keZ.

sinx<a(\al<1)<=>xG(Ikn-n-arcsina.2k/r4-arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<\)xe(2%乃-arccosa,2k7C+arccosa),keZ.

cosx<a(\a\<1)xe(2Z〃+arccosa,2k/r+2〃-arccosa),keZ.

兀

tanx>a(o￡R)=>XE(KTT+arctana.k/r-^kGZ.

兀

tanx<a(aw7?)=>xe(kjr----，&；r+arctana),k￡Z.

2

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、口為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律:入(ua)=(入u)a;

⑵第一分配律：(X+p)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：入(a+b)=入a+、b.

58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b,a(交換律)；

(2)(Aa)?b=4(a?b)=Aa9b=a*(/lb);

(3)(9b)?c=a,c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果a、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)人

、入2,使得a=入網(wǎng)+人安

不共線的向量叫做表示這?平面內(nèi)所有向量的?組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a二(再，以)，-(々，當(dāng))，且bWO,貝Uab(bW0)0/％一X2)'|=。.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b=ab|cos0.

61.a?b的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度lai與b在a的方向上的投影Iblcos0的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a"%,%),4(/2，丁2)，貝Ua+b=(X+%，,+%)?

(2)設(shè)a=(斗，%)，b二(九2,當(dāng))，則a-b=(再一%,必一%)?

(3)設(shè)A(%,以)，B(x2,y2),則AB=OB-OA=(9一%%一必)?

⑷設(shè)a=(x,y)"wR,則4a=(2x,2y).

(5)設(shè)a=(占，%),b=(々，為)，則a-b=(占4+必必)?

63.兩向量的夾角公式

cos0=(所(％,y),b=(X2,必)).

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAB=\AB^\I^BAB

一無(wú)J?+（%一%）2（A（X[,?）,B（X2，%））?

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(X]，M)1=。2，＞2)，且bHO,則

A||b=b=Na<=>Xty2~X2yt=0.

aJ_b(aW0)=a?b=0QX1X,+%%=。.

66.線段的定比分公式

設(shè)6(和%)，P2(x2,y2),P(x,y)是線段片￡的分點(diǎn)，力是實(shí)數(shù)，且麻=4硒，則

玉+此

A-

1+2Q而

吁M+辦’21+A

y__F7r

1

=0尸=%+(1-/)0鳥(niǎo)(t=——-).

1+A

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X],y)、B(X2,y2),(3(X3,y?),則AABC的重心的坐標(biāo)是

G(——，—5—).

68.點(diǎn)的平移公式

x=x+h[x=x-h

川^>OP=OP+TP.

y=y-^-k[y=y-k

注：圖形F上的任意一點(diǎn)p(x,y)在平移后圖形F,上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P\x,y)，且PP'的坐標(biāo)為(h,k).

69.“按向量平移”的兒個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P(x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(〃,A)平移后得到圖象C',則C'的函數(shù)解析式為

y=f(x-h)+k.

(3)圖象C.按向量a=(/?,Z)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)=/(x),則C'的函數(shù)解析式為

y=f(x+h)-k.

⑷曲線C：/(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C',則C的方程為

f(x-h,y-k)=Q.

(5)向量rn=(x,y)按向量a=(/?,k)平移后得到的向量仍然為10=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充耍條件

設(shè)。為A4BC所在平面上一點(diǎn)，角A,8,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,/7,c,則

’―2'一2’’-2

(1)。為AABC的外心=04=OB=OC.

(2)。為AA8C的重心=OA+。8+OC=6.

(3)。為AA5C的垂心00405=080C=0C04.

(4)。為AA8C的內(nèi)心=++c。。=6.

(5)。為A4BC的NA的旁心<=>。。4=/?。3+cOC.

71.常用不等式：

(1)a,beR=>a2-^-b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”號(hào)).

(2)a,beR+(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”號(hào)).

2

(3)tz34-/?34-c3>3abc(a>0,Z?>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,d&R.

(5)同—|ft|<|a+fe|<|a|+\b\.

72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)若積xy是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值24；

12

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積盯有最大值一S：

4

推廣已知x,yeR,則有(x+y)?=(x-y)2+2xy

(1)若積盯是定值,則當(dāng)Ix-yI最大時(shí)，Ix+yI最大；

當(dāng)Ix-yI最小時(shí)，Ix+yI最小.

(2)若和lx+yI是定值，則當(dāng)lx-yl最大時(shí)，1孫1最??；

當(dāng)lx-yl最小時(shí)，Ixyl最大.

73.?元二次不等式ax?+/?x+c>0(或<0)(。/(),△=A?-4ac>0),如果a與

ax^+bx+c同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與aV+bx+c異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之:

同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

X1<x<x2=(X-X|)(x-)<0(Xj<x2);

X<X],或X>X?O(x—X1)(X-X2)>0(X]<x2).

74.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

\x\<ax2<a'o-a<x<a.

卜|>4<=>》2>42<=>》>4或》<-a.

75.無(wú)理不等式

f/(x)>0

⑴J/(X)>Jg(x)=<g(x)>0

f(x)>g(x)

f/(x)>0,

I——i/(x)>0

⑵，76>g(X)Q《g(X)20或｛

g(x)<0

|/(X)>[g(X)f73

/W>0

(3)J/(x)<g(x)=<g(x)>o

J(x)<[g(x)f

76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)a>1時(shí)，

af(x)>ag(x><=>f(x)>g(x)；

7w>o

log“f(x)>log“g(x)=<g(x)>。?

fM>g(x)

(2)當(dāng)0ca<1時(shí)，

afM>asMo/(x)<g(x)；

/(x)>0

logJ(X)>log.g(x)=<g(x)>0

/(x)<g(x)

77.斜率公式

k=~~~—(6(X[,y)、P,(x,,y2)).

%-玉

78.直線的五種方程

(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=k(x-xj(直線/過(guò)點(diǎn)4(X|，x),且斜率為k).

(2)斜截式y(tǒng)="+匕(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點(diǎn)式~~—=—(yH%)(q(X]，x)、P^x2,y2)(/。工2)).

%一弘超一網(wǎng)

XV.,_,

(4)截距式一+上=1(。、/?分別為直線的橫、縱截距，a、。。0)

ab

(5)一般式Ax+8y+C=0(其中A、B不同時(shí)為0).

79.兩條直線的平行和垂直

⑴若/]:y二審+A,l2:y=k2x+b2

①/1III?Oh=《,AWb?:

②4_L4=k1k?=—1.

⑵若4:A]X+4y+G=012：ax+82)'+C2=0,且Ai、M、B]、B2都不為零,

?z,HZ2?A=A^￡L；

12

A,B2C2

②4_L12=A4+A坊=0；

80.夾角公式

.k—k,.

(1)tan6^=1^=9---Ll.

1+k2ky

(/):y=k}x+b],l2：y=k2x+b2，k1k2w-l)

d同一4用?

⑵tana=1—---I.

44+B]B)

(ll:Alx+Bly+Cl=0,l2:A2x+B2y+C2=0,A出+8出2w0).

直線時(shí)，直線6與/，的夾角是X.

?2

81.4到4的角公式

憶2-h

⑴tana=—=--L

1+小

U：)，=&/+4,l2：y=k2x+b2ik}k2^-l)

AB2-4用

(2)tana-

4A)+B]B2

(/):AjX+Bjy+Cj=0,/2:A2x+B2y+C2=0MJA2+B(B2WO).

,..71

直線4_L/2時(shí)，直線4到，2的角是一.

2

82.四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)《(x。，%)的直線系方程為y-y0=k(x-x0)(除直線x=Xo),

其中人是待定的系數(shù)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)外(X。，先)的直線系方程為A(x—X。)+8(y一%)=0，其中A,6

是待定的系數(shù).

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線4:Ax+Bj+G=0,/2:?UX+52>>+C2=0的交點(diǎn)的直線

系方程為(4x+B])>+￡)+A(AX+4)，+。2)=0(除4)，其中人是待定的系數(shù).

(3)平行直線系方程：直線？=區(qū)+6中當(dāng)斜率k?定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與

直線Ax+8)，+C=0平行的直線系方程是Ac+8)，+4=0(2^0),人是參變量.

⑷垂直直線系方程：與直線Ax+8y+C=0(AWO,B#o)垂直的直線系方程是

Bx—Ay+2,—Q,x是參變量.

83.點(diǎn)到直線的距離

d=?+By之。?(點(diǎn)p(x0,%)，直線/：Ax+8)：+C=0).

y/A2+B2

84.Ax+8y+C>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ax+By+C=0,則Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

若8/0,當(dāng)3與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的匕^的區(qū)域；當(dāng)8與Ax+By+C'異號(hào)時(shí),

表示直線/的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在上，異號(hào)在下.

若8=0,當(dāng)A與4x+6)，+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ax+5)，+C異號(hào)時(shí),

表示直線/的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左.

85.(4x+B,>1+C,)(Ax+B?)，+Q)>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(4》+4>+。])(4》+82)'+。2)=。(一小用冬〉。),則

(4x+4y+GXA?x+82〉+。2)>?；?lt;0所表示的平面區(qū)域是：

(4犬+4y+G)(&x+B2y+C2)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(々y+C,)(A2X+B2y+C2)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-8)2=/

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

x=a+rcosff

(3)圓的參數(shù)方程

y=8+rsin。

(4)圓的直徑式方程。一王)(工一%2)+“一)1)0—%)=0(圓的直徑的端點(diǎn)是人(王，弘)、

B(x2,y2)).

87.圓系方程

(1)過(guò)點(diǎn)A(X，yJ,6(X2，%)的圓系方程是

(x-xi)(x-x2)+(y-y,)(y-y2)+/l[(x-x1)(y1-y2)-(y-yl)(x1-x2)]=0

0(x-%)(x—％)+()'—y)(>一為)+4(。工+by+c)=0,其中QX+by+c=0是直線AB

的方程，入是待定的系數(shù).

(2)過(guò)直線/:Ax+8y+C=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey^F=0的交點(diǎn)的圓系方程是

x?+y"+Dx+Ey+F+4(Ax+By+C)=0,入是待定的系數(shù).

222

(3)過(guò)圓C]：x4-y+￡)[%+國(guó)y+K=0與圓C2:?+y4-￡)2x+E2y+/s=0的交點(diǎn)的

2

圓系方程是廠+廠+Dxx++片++y+D2x+E)y+工)=0,人是待定的系數(shù).

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)戶(%,九)與圓。一")2+(y-b)2=戶的位置關(guān)系有三種

若d=J(a-Xo)2+3—0產(chǎn)，則

d>r0點(diǎn)P在圓外；d=r0點(diǎn)P在圓上；d<r=點(diǎn)P在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+8)，+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=產(chǎn)的位置關(guān)系有三種:

d>r。相離=>△<()；

d=r=相切=△=()；

d<ro相交=△>().

|Ao+Bh+C|

其中d=

U-+B2

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為0”02,半徑分別為n,r2,\OtO2\^d

d>八+G0外離<=>4條公切線；

d=八+G=外切=3條公切線；

卜?一rj<"<八+々0相交=(2條公切線；

d=,-2|-內(nèi)切=1條公切線；

0<d<匕一々|=內(nèi)含=無(wú)公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓x2+),2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切點(diǎn)(Xo，y())在圓上，則切線只有一條，其方程是

D(x+x)E(y0+y)

+%y+—0—+——+尸=o,

當(dāng)(x。，％)圓外時(shí)，XoX+x)y+空手立+生產(chǎn))+尸=0表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)

弦方程.

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-X)=k(x-x0),再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線，

注意不要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為y=入+匕，再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓x2+y2=r2.

2

①過(guò)圓上的兄(%,%)點(diǎn)的切線方程為xox+yoy=r；

②斜率為k的圓的切線方程為y=kx±r\Jl+k2.

x2v2=acos0

92.橢圓=+一=1(。>6>0)的參數(shù)方程是<

ab[y=bsine

x2y2

93.橢圓—+彳=1(。>b>0)焦半徑公式

ab~

22

|PF,|=e(x+—).\PF2\=e(---x).

94.橢圓的的內(nèi)外部

2222

(i)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓一+“r=l(a>匕>0)的內(nèi)部u*-y+<1.

ab"ab~

2222

(2)點(diǎn)P(x(),y0)在橢圓―7+-^~=1(。>b>0)的外部Q—Y+>1.

ab~ab

95.橢圓的切線方程

22

(1)橢圓一=1(。>b>0)上一點(diǎn)P(x(py0)處的切線方程是‘M+=1.

abab

xv

(2)過(guò)橢圓一■+彳=1(。>/?>0)外一點(diǎn)尸(須)，先)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

a'b~

a2b2

22

(3)橢圓I+=1(。>/?>0)與直線Ar+By+C=0相切的條件是A2a2+B2b2=c2.

ab

22

96.雙曲線三一七■=1(。>0,b>0)的焦半徑公式

a~b

22

|PFd=le(x+—)1,\PF2\^e(---x)l.

cc

97.雙曲線的內(nèi)外部

2222

⑴點(diǎn)P(X0,%)在雙曲線—=1(。>0,6>0)的內(nèi)部-->1.

a-bab~

y222

(2)點(diǎn)P(x,y0)在雙曲線—z------=1(。>0,/?>0)的外部=------T-<1.

0ab"cTb~

98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

xyxyb

(1)若雙曲線方程為-----^-=ln漸近線方程：—z-----5~=0=y=±—%.

ab-a~ba

22

(2)若漸近線方程為'=±2》=二±￡=on雙曲線可設(shè)為二—二=入.

aaba'b~

2v2