山東專升本高等數(shù)學(xué)歷年真題總結(jié)

*************************]0年專升本高等數(shù)學(xué)真題************************

10年，填空⑥⑦2?2=4分選擇①1分計(jì)算鹿④5分共計(jì)10分

*****************************************************************************“

填空10211022

f—2x+1Y<I

1021.若在x=l處連續(xù)，則—.

(x-aA，】§

答案：2.

解析：；=lim(-2x+1)=-1；lim/(.v)||lim(.r-<i)-1-a

AT*-?IJT-WII*->r

;連續(xù)，1-a=-I，a=2

1022.x-0是函數(shù)f(x)=xcos—的第___類間斷點(diǎn)

X

答案一.解析：??,cos1=0.,.▲?二()是第一類間斷點(diǎn)，

fx

選界1011

函數(shù)y=Vl-x2-arc8S±J的定義域是()

(A)[-3,1](B)[-3,-1](C)[-3,-1)(D)[-1,1]

答案：A.

A.1一一20

解析：??,《x-1???〈A.A?.?1?????-34x41,定義域?yàn)椴?,1]

I2V.W-2"+lW2

I2

年專升本高等數(shù)學(xué)真題************************

填空③⑦2?2=4分選擇④⑥2*1=2分

計(jì)算愿④1?5=5分共計(jì)11分

*******************************************************************************

09210924

中|<1

,

0921f(x)=jo,|.r|=l,J?(x)=c,則g[/(In2)]=—.

答案：e.

解析:/(In2)=l,g[/(ln2)]=^(l)=e=eO

O924.y=sin-.r-0處是第___類間斷點(diǎn).

X

答案：第一類間斷點(diǎn).

09110912

0911.lim",11-=()

xxn

(A)1(B)0(C)8(D)不存在

1.答案：A。

1

JI產(chǎn)..(-If

1--------------

X-W.X-Mfcni+u

婢析-=lim---------J

KXn1liml

.v-l,x<0

0912.若/(.t)=0,x=0，則

x+1,x>0

lim/(x)=()

上Toe

(A>1(B)0(C)1(D)不存在

2.答窠：D.

A1,x<0

的折：/(M=10,x=0，則limf(x)=lim(.x-D=O-l=-l

x*"x-xr

A+l,.t>0巧

limf(x)=lim(A?1)=0>1=1,不存在

她0931.

銅：lim(—---------^-)=lim[—....................-|=liml+x^x~3

J1一刀1-x一工(l-.r)(l+x+.r))XTI(1一工川+T+工2)

..jr+x?-2..x+21+2

hni---------------------「hm----------------------

”"(l-.tXl+.v+x)—(17)0+工+工)l+.V+X2l+l+l2

********—****—**08真************************

填空黑①②④共計(jì)"4=12分

選擇題④⑤共計(jì)3,2=6分而

**********************************尺%*****************************************

081108120813

1.函數(shù))'=mx+aRsinx的定義域?yàn)?

I、分析初等函數(shù)的定義域,就是是函數(shù)去達(dá)式杳意義的那些點(diǎn)的全體.

W由［_；：［］知,定義域?yàn)椋鸐)YX41｝。

2.設(shè)數(shù)列“有界，且Hmx=O.則limx?x=.

的由極限的性質(zhì)如limFL=0.

R-Mt.

3.函數(shù)，二行"的反圖數(shù)為.

翼由丫="仃Wx=y,-1,所求反誼數(shù)為：y=xy-\

還現(xiàn)06220826

/(x)=xsin-,WJlim/(1)等F

2.設(shè)工…()

(A)0(B)小存在(C>8(D)I

.1

.sin-

答案D,分析先變豚再利用第一個(gè)重要極RL肝：limf")二lim.tsin——lim—盧-1.故選D,

?Cf*''Jf4fC

十%.當(dāng)XT°時(shí)，3工2是比sin，X（）

（A）同階無(wú)窮?。˙）同階無(wú)窮小，但小等價(jià)

<C）低階無(wú)力?。―）等價(jià)無(wú)窮小

分析根據(jù)無(wú)窮小等階的定義,只需求出兩齊之比的極限。制因1而三」-31im1」一|-3,故選

*vsinx…八sin*J

*************************07高等數(shù)學(xué)真j^************************

填空屋①④共計(jì)2*4=8分

選擇屋⑤共計(jì)產(chǎn)4=4分

*******************************************************************************

07110712

y-arusm-----

I.函數(shù)?3的定義域?yàn)椤?/p>

答案：【/,21解析:arcsinu中JWaWL所以

2r-1

-1W—~—41,；.-342x-1W3.「?-2W2KW4-14x42

x-l山

hm（----）

2.一工-.

答案：解析：用兩個(gè)重要極限之一!叫（1-：）

選鼻：0722

2.當(dāng)XT0時(shí)，lan2x是

（A）比?n3x高階無(wú)窮小舊）比sin3K低階無(wú)窮小

（O與sin3x同階無(wú)窮?。―）與4n3x等價(jià)無(wú)窮小

2、七「2..tan2.r..2x2①八］宜口■公［人］

答案：3解4析r：hm-----=hm—所以是同階無(wú)窮小.

”?sin3K73工3

*??**?*??***?**?**?*?*???06^^專*升*本高等數(shù)學(xué)真|^，**********************

填空息⑥共計(jì)1*人2分

選擇題③共計(jì)1*2=2分

************************************???*********&}

填空，0621

1-2.V

/(-<)1+/

0<l.vl<

2x-a

I.若函數(shù)2在x=0處連續(xù)，則"=

答案e-5解析:

1-2?-3.r

lim.------=lim1+在x=0處連續(xù)，則必有

一也1l+.rF7.1

3

lim(2x-a)=-a-ef即一a-e".

選擇?0611

xMO

=sinX.虱x)=x＞。則）

N?”

(B)cosx(C)-sinx(D)-cosx

答案C的析:當(dāng)時(shí)，/[8(.()]=sin(x;r)==sinx。當(dāng)▲>0時(shí)，=sin(.t?^)=-sin.v：

即/[g(x)]=-sinx

*************************05■升本高等數(shù)學(xué)真j^**—*—*************

選擇fl!④⑤共計(jì)2?3=6分05110512

***********************************************************************“**?***

￡

1.設(shè)lim。-"憂尸=則次=()

?-?0

(A)--(B>2(C)-2(D)-

2?,2

C解析:lim(lmx)；令/=-mx啊(1+/)#"'=ef=e‘，/n=-2

2.設(shè)y=e-是無(wú)窮大.則/J變化過(guò)程是()

(A)XTO*(B)XTO(C)(D>KT-8

」11

B解析：y=e，是無(wú)窮大，所以一士是正無(wú)窮大，A負(fù)無(wú)窮小,則x負(fù)無(wú)窮大.

XX

****************c、常見考點(diǎn)精講，1申**********************

一、基本概念

定義域值域嘉函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)

反三角函數(shù)反函數(shù)極限無(wú)窮小連續(xù)間斷點(diǎn)

二、考點(diǎn)精講

]、求定義************************

xa(-、6log：

X

sinxcosxtanxcotx

arcsinxarccosxarcLinxarccot-v

***********************

⑴求反函數(shù)的一般步驟分三步，一桿、二換、三注明

⑵反函數(shù)的定義域由原來(lái)函數(shù)的值域得到,而不能由反曲數(shù)的解析式行列.

3、震合函錄***********************

女合函數(shù)就是：把一個(gè)次數(shù)中的白火曾加助一個(gè)函心所得的新函數(shù)

例如:f(x)=3x+5,g(x)=x2+1;復(fù),合函數(shù)f(g(x))即把f(x)里面/x換成g(x),

f(g(x))-3g(x)+5-3(x2+1)+5-3x2+8.

簡(jiǎn)而言之，所謂更分函數(shù)就是由一典初等法數(shù)更合而成的函數(shù).

4、求極限***********************

■.函數(shù)極限存在的充分必要條件

/?-/?！?/??士―/?-4

之/WTo二/?-*/⑸7

b.極限運(yùn)算法則

設(shè)lim/a)及l(fā)imK(X)都存在，則

(I)lim[/(.v)±.g(A)]-linif(x]±limg(.v)：

*—%,x-?.q

(2)lim[/(.r)x(x)]=lim/(x)lim?(x).

K—5工—qJ-4Xt

lim[(7(x)^CIini/(x)(C為任意常數(shù))；

⑶lim-lim(lim《(x)*0).

1[“g(Aj—a，g(K)'->??

《?兩個(gè)亶要極限

*Ia

(I)lim"inA=1,(2)lim(l+X)1-e.<22)『二e,

月T<Jvr-H>.cT?x

d.幾個(gè)常用極限

limVa=1limVw=1lime'=0lime*=8limxA—1

It-M?ft工―.(->0*

久”

limarctanx=-limarctanx=-----limarccotx=0limarccotx

?IT..24TY2?-W*

￡、常用三角公式*****8**

(1)sin2n=2sinncosn；(2)cos2?a1=12siJca-J。

這呼泠式必須死記

以下公W理解即可

a+夕a-P

sin(tz±/7)=sinacosP±cosasinflsinafsinp=2sin

-2-2

cos(a±P)-cosacos夕￥sinasin"

..萬(wàn)ra+夕.a-B

sina-sinp-2cos-^-sin---

爾（a土夕）=

1彳次

口-a+0a-/5

cosa+cos"=2cos---cos——

i小ctga-ctgBT]

圖9z3誨訴

cosa-cosB-2sin，+2sin———

i22

6、無(wú)窮小?”??“?布?????””?”??”

,、無(wú)窮小的比較

設(shè)口、戶是某一極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，若

lim—=c（c為常數(shù)）

a

則（I）當(dāng)…時(shí),稱在此極限過(guò)程中力與。是同階無(wú)窮小;

<2>當(dāng)r=0時(shí)，稱在此極限過(guò)程中廣是a的高階無(wú)窮小，記作A-“a）（讀作小歐a）；

（3）當(dāng)c=l時(shí)，稱在此極限過(guò)程中6與a是等價(jià)無(wú)窮小，記作萬(wàn)?。.

庭：同斷不一定等價(jià)，融L定同階.

澗：

lim如受■=5.則當(dāng)X-0時(shí)，sin5K與K為Im）的無(wú)窮小:記作：sin5xr

x_

lim-in1_1,x-*0sinx~x：

i°J

lim*^——*=1,故當(dāng)x-0時(shí)，ln（l+x）?乂；

…x

lim——一0,故當(dāng)x-*0時(shí)，x?是sinx的面肝無(wú)窮小，

?-*0sin.t

b.無(wú)窮小非的性質(zhì)

（1）有成門無(wú)窮小品代數(shù)和仍是無(wú)窮小fit.

（2）有眼個(gè)無(wú)窮小胡之積仍是無(wú)窮小量.

（3）方界■和與無(wú)窮小量之H為無(wú)窮小量.

c、無(wú)窮大的比較

定義2設(shè)Y、Z是同一極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮大星，

I）如果lim一—c#0,則稱Y。/讓同階無(wú)窮大垃：

2）如果lim（=-時(shí)，則稱Z是Y的高階無(wú)窮大量；

d、常用等價(jià)無(wú)窮小量代換（必演是因子代換）

當(dāng)AT0時(shí)，tanx-x?sinx~x2x-sin2x-tan2xI-cosx—x2,

2

ln(l+x)?x(1+x)。-1~ov(a是實(shí)常數(shù))

e、無(wú)窮小的階數(shù)

]加綽=，(c為常數(shù))則6(.6稱為X的k階無(wú)窮小

I

河"|打斷下列式子為X的兒階無(wú)窮小

Vl+(anx-1

3?~;-----1O'uanx-A

..Vl+tanx1;73?-3

lim----------------=lim―—--=

解：/?-*0X*X、/

所以k=1,所以把同?無(wú)窮小。

7、南敷旌陵的定義及性質(zhì)

lim/(x)=/(.%)或lim/(x)=limf(x)=/(x)

*-*A?x-??nl/J0

[E分段函數(shù)在其分段點(diǎn)處連線性的判斷方法：函等杳分段力左、右根閘恰況

它的另一等價(jià)定義是：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)現(xiàn)的某?鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)/(x)當(dāng)xtX。時(shí)的極

限存在.且等了它在點(diǎn)端處的函數(shù)值/(.%)，即./(x)=/(.%),那么就稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)與連續(xù).

下面給出左連續(xù)及右連續(xù)的慨念.

如果lim/(.。=/(%-0)存在目等「/(凡)，即/(凡-0)=/(x?),就說(shuō)函數(shù)/"(.、)在點(diǎn)凡左連續(xù).

?I一月.一0

如果lim/(x)=/(x0+0)存在且等丁/(.%),即，(與+0)=/(%),就說(shuō)函數(shù)/(另在點(diǎn)與右連續(xù)。

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間

包括端點(diǎn)，那么歷數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，

連續(xù)曲數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.

8、間斷點(diǎn)*******************************

a.基?知iR"，**8*

函數(shù)八萬(wàn))在點(diǎn)^函數(shù)f(x)在點(diǎn)3不蜀道:

《1》函數(shù)/(處在點(diǎn)/雷T義，

<1*>函數(shù)y=/(.r)在點(diǎn)x“腰W|,定<

(2)lim/Q)題<2*)lim/(工)尿存田

1%

⑶存在“麗lim〃*=〃”)(3*)極限存在，m1到lim/(x)w/(汽)

一＞"***"**?#T.q

b.基本分類********

EZ)左、右極限都存在的何斯點(diǎn)稱第一類間斷點(diǎn)(包括可去向防點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)兩種)

(D若“X。0)=/(.ro+0),即lim/(*存在，此類間新點(diǎn)稼為可去間斷點(diǎn).

函數(shù)”x)在點(diǎn)％無(wú)定義，函數(shù)/(.V)在點(diǎn)有定義，但lim,f(x),/(A,,).

I"

(2)若0?#/(xo-0),即lim/(x)不存在，此類間斷點(diǎn)稱為跳躍間斯點(diǎn).

叵「左右微限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)稱為第二類間■點(diǎn)(包括無(wú)窮間斷點(diǎn)，振蕃間斷點(diǎn)，以及國(guó)

它何斷點(diǎn)).

|M1.|/1(.t)=c"『0是/|(x)的第二類間斷點(diǎn).因此《(0+0)=+8,/,(0-0)=0,所以E不是

第一類間斷點(diǎn)，也小是無(wú)窮間斷點(diǎn).

fr|2.是人(x)的第二類(無(wú)窮)間斷點(diǎn)

(雖然在r-0仃，TO及限)：

我們來(lái)結(jié)合下述幾個(gè)弱數(shù)的曲線在x=I點(diǎn)的情況，給出間斷點(diǎn)的分類：

在x=l連續(xù).在x=l間斷，X-M極限為2.

在1二1間斷Jim--------ooc

IN-1

在x=0間斷，xtO極限小存在。

像②③④這樣在/點(diǎn)左右極限都存在的間斷,稱為第一類間斷.其中極限存在的②電稱作第一類間斷

與的可去間斷點(diǎn)，此時(shí)乂耍令y(1)=2,則在x=l函數(shù)就變成連續(xù)的了：④被稱作第一類間斷點(diǎn)的跳躍間

所點(diǎn).⑤⑥被稱作第光間斷，其中⑤也稱作無(wú)窮間斷，而⑥稱作表晶間斷.

就般情況而言，通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果/是誨數(shù)/(x)的間斷點(diǎn)，但左極限/(%-0)及右極

S!f(.%+0)都存在,那么4稱為函數(shù)/("的第一類間斷點(diǎn).小是第一光間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn),稱為第二

類同斷點(diǎn).在第一類阿斯皮中，左、右極限相等者稱為可去問(wèn)慚點(diǎn)，不相等界稱為跳躍間斷點(diǎn).無(wú)窮間斷

點(diǎn)和振滿間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn).

C.經(jīng)典總縝*****

情一羯”陸點(diǎn)(左石械國(guó)存在，臼前I.可去和2跳躍

懂二勵(lì)]斷點(diǎn)(左右極限鼠〃f不存卸包括3.E窮和4?點(diǎn)偏

⑩lim〃x)=A7/(.r0)..r?為阿去|間斷點(diǎn):17~|.y-竺」

-3X

JT+2r>0

:

{x-2x<Q

慟lim/(A)=8,x為目測(cè)一斷點(diǎn):—3t/(x)=

fx

，臥lim/(x)；R薄小存在，.r?為號(hào)炯斷點(diǎn)：jHT].y=sin：

四、?？碱}型精粹

題型I求定義域攜型2求反由教題型3求復(fù)合函數(shù)題型4求極限

題型5無(wú)窮小及其比較這型6函數(shù)連續(xù)性淺型7間斷點(diǎn)及其類型

四、?？碱}型精粹■

愚型1求定義城********************，**********

gh]■?曲數(shù)/(0='--+：+6的定義域是.

b.函數(shù)/(A)=五三N的定義域?yàn)?/p>

1*1-5

國(guó)分母不能為零M板式的性質(zhì)

15

陋a.函數(shù)六Jk)g：(2x-1)的定義域?yàn)?

b.函數(shù)/(.t)=log,x的定義域是.

@真數(shù)的性質(zhì)B板式的性質(zhì)

甌口南數(shù)y=的定義域是

［土分母不能為零b.根式的性質(zhì)

?a?t(x)-iog.l±￡的定義域?yàn)?.

g其數(shù)的性質(zhì)E分母不能為零

3x-

函數(shù)/(x)=方=+lg(3x+1”新義城是,

臼真數(shù)的性質(zhì)b.分母不能為零

總集，I［敏的性質(zhì)分母不能為零根式的性版三角函

類，寓，I求下列的數(shù)定義戰(zhàn)

1.y=v2-x+log,(l+x)2.>=V4-2'3.y=lg(1-4x-2l)

9.若函數(shù)+1)的定義域?yàn)椋?2,1)，則函數(shù)/(*)的定義域?yàn)?

2求反函數(shù)"—********"**************,

求下列函數(shù)的反函數(shù):

(Dy=3x-l(.reR)：②y=.d+l(.r€R)；

③y=V7+1(.TN0)；④y_-'7(.TW

x-1

v+]

解①由y=3x-l解得X=K

；.函數(shù)y=3.r-l(xe/?媽反法數(shù)足)，=與。eR),

②由y=/+1(A€0解用x=^/y-l,

二函數(shù)y=P+l(xwR)的反曲數(shù)是y=U7=I。eR)

③由尸J7+1解用x=(y-1)J

Vx>0,Ay>l.

A函數(shù)y=J7+l(.rN0)的反函數(shù)是x=(y-1)2(x21);

.2x+3“皿y+3

?由y-----解田x=-~~-

x-1y-2

VxfxeRx#I}..*.ye(yeR|y*2}

二函數(shù)y=2」(xwK.n/h1)的反函數(shù)是y=-(.reRxh2)

刀一】x-2

眄加

⑴求反函數(shù)的一般步驟分步，一解、X》、三注明

⑵反函數(shù)的定義域由原來(lái)函數(shù)的值域卅到，而不能由反或數(shù)的解析式祀到.

⑶步反函數(shù)前先判斷一下決定這個(gè)話數(shù)是令有反感數(shù),即判斯映射是古是一一映射.

求下列函數(shù)的反函數(shù)

(l)y=1-J1<x>I>

答案-y=x'-2x+2(xe(-8,i1)

⑵y=Ix-]I(xWI)

答案.y=1—x(xW[0,+8))

(3)y=x7-2x+3(xe(1,+<?))

答窠?y=1-J，-2(xe(2.+?>))

(4)y=xIxI4-2x

JVi+7-1(D

答案：y=〔-Jl-x+l(XYO)

(x40)

心0)

-岳(x<l)

-x-1(x>2)

答案f(X)=12

[J)求復(fù)合函Hr*——umF

例已知：f(x)=——(xGR且g(x)=.t?+2(xeR).

(1)求：f<2),g<2)的值,(2)求：f[g⑵]的值i

(3)求3f的解析式

求發(fā)合函數(shù)表達(dá)式

1.已知函數(shù)/3=2K-1.JC€(-1.2].g(x)=3x2+2x.xe[2*5],求/(g(x)].

1

2.已知fU)=x+X,g(x)=x2-2,求和gUlx))的解析式。

3.設(shè)f(x)=2x-3g(x)=xJ+2求%(x)J，或.

4.」知：f(x)-x-x+3求：f^-)f(x+l)

X

a.利用極限存在的充分必要條件求接限

Ml.求下列函數(shù)的極限:

\x-2|

(I)hm-!-；--,

(2)/(x)=fSln7+fl,A<°'當(dāng)a為何值時(shí),f(x)在x=0的極限存在.

[-2X>0,

解⑴忸品2-x

=lim

T(x2RX+2)

lx—21x-2]

lim-^-L=lim——:----------二

?-*2*x-4*-*2*(J-2X-V+2)4

因?yàn)樽髽O限小等「6極限，所以極限令存在.

(2)由丁函數(shù)在分段點(diǎn)i-0處，兩邊的表達(dá)式小同，因此般要考慮在分段點(diǎn)x-0處的左極限與

右極限.丁是，有

limf(x)-lim(.rsin—+?)-lim(.vsin-)+lim?-?.

AfOXJC-MTXr-?0'

limf(x)-lim(1+.d)=I,

az，

為使lim存在，必須有l(wèi)im/(x)=lim/(.v)，

c-M>H**?-kO

因此，當(dāng)。1時(shí).lim/(.T)存在且limf(x]1.

■-40?-4o

小結(jié)對(duì)丁?求含有絕對(duì)值的函數(shù)及分段法數(shù)分界點(diǎn)處的極限，要用左右極限來(lái)求.只有左右極限存在

且相等時(shí)極限才存在.占則.糙限不存在.d

5/21xi0一〃X)

，問(wèn)常數(shù)k為何值時(shí)，番同存在？

■'x>0

解析”上1〃力=>iF,二仙?工組?武

要仗>(才存在，只需二：*￡./(x).A2k-1.故/■:時(shí)，二存在?

網(wǎng)3.求函數(shù)/GO?1?區(qū)空在X-1處左九極限,「說(shuō)明在X-1處花杏布極限？

…善"誓.°

?；...Mx)在x-1處極限小存在.

b.利用極限運(yùn)算法則求函數(shù)的極限

例：求下列函數(shù)的極限：

2x2-3r2-Q

(l)lim—~~-(2)lim—~—.

fx+】fx-5X-F6

，…而-I

(4)hm-/.

一4+2

lim(2xa-3)1

I__________

lim(.r+l)2

Kf

(2)當(dāng)XT3時(shí)，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)9型，八能直接用商的極限法剜，可先分解因式，約

0

去使分子分母為零的公因子，再用確的運(yùn)算法;』.

x-9..(x-3)(x4-3)x+3,

原式=lim一_—hm--------1----------lim--------6.

?-3x23+67(K-3Xx-2)-JK-2

(3)當(dāng)XT1時(shí)，="T，」一的極限均不存在，式二」一呈現(xiàn)8-8型，小能直接用“手的

I-X1—X1-X1-X

極限等丁極限的差”的運(yùn)和法則，可先進(jìn)fj通分化簡(jiǎn)，再用畫的運(yùn)算法則.即

匕+1/21、！-2-0+X)

藤式?hm(---r-----)=hm-----；-2

]_*71-X

=lin)---。--一-----與-lini)---1-=_—1.

i(D(1+x)3+x2

(4)當(dāng)XT+8時(shí)，分子分母均無(wú)極限，呈現(xiàn)方形式.普分子分母同時(shí)除以五，將無(wú)

8

窮大的4約去，利用法則求

小結(jié)(I)應(yīng)用極限運(yùn)算法眥求極限時(shí)?必須注意每玲極限部存在(對(duì)了除法.分均極限小為零)才

能適用.

g求函.限時(shí)，鮮常出釁己—8等情況，都榷直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，必須對(duì)原式進(jìn)

行恒等變換、化簡(jiǎn),然后再求極限.猾使用的有以下幾種方法.

(I)對(duì)丁8-8型，往往君要先通分，化簡(jiǎn).再求極限，

(ii)對(duì)丁無(wú)理分式,分子.分母有理化,消去公因式，再分極限,

<iii>對(duì)分子、分司進(jìn)行因式分解，再求極限.

□0

(iv)對(duì)丁當(dāng)XT8時(shí)的一型，可將分子分母同時(shí)除以分母的最高次第，然后再求極限.

00

c,利用函數(shù)的連續(xù)性求極限：limJ(x)=/(.%)=limf(x).

■(IJTR0

例L求下列函數(shù)的極限

.、.v2+sinx…...r~i.

(I)hm---/,(2)limarcsinz(vx+kt).

7eWl+-—

2

解(1)因?yàn)?；sm、是初等的數(shù),/IA二*1與"定義,

c'Vl+x2

x2+sin.v4+sin2

所以Hm

e2Vl+x2~74T-

(2)的數(shù)urcsin(J—+x.r)而成由y=sinw,xi=VA-2+XX史合而成，利用分子有理化

lim+-x)=lim/_---=1.

A-^torf*Vx2+X+X2

然后利用更合函數(shù)求極限的法則來(lái)逅并

limarcsinCvA^+x-x)=limarcsin=arcsinlim

*T+a

1n

=arcsin-=—.

26

小結(jié)利用“函數(shù)迨續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)法教的極限。在一定條夕I下復(fù)合函數(shù)的極限,

極限符號(hào)與函數(shù)希號(hào)可交換次庠.

例2,求卜列函數(shù)極限

.co?K-?nx

①

解析.

…*-3120—72S*3Xa-e

f-1”4-1Til-

d.利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限

例求F列函數(shù)的極限：

八、「cosxcos3x,、、1,11、，

(1)lim---------：-------,(2)lim(l......-).

K)f^c二

M(1)分子先用和茶化積公式變形，然后再用市要極限公式求極限

「2sin.vsin2x..sinx...sing,..

原式=hm--------；--------=lim--------lim(4z?--\力-1x4=4?

TTOJ，fXtTi2x

(2)解一原式=lim(l+，)'(l-L)'=lim(l+，)JlimKI-L)Tr=ee，=1,

—XX—*KiX

l>

解二原式=lim[(l--!r)i，'T=e=l.

￡

1rX

小結(jié)I)種Ulim把三二1求極匕-nt滿是lim把31的形式，Jfl'z/G)

-°x0n0w(x)

為同一變量：

<II>用lim(l+L)‘求極限時(shí).函數(shù)的特點(diǎn)「型對(duì)指函數(shù)，其形式為［l+a(x)忘型,

1X

a(x)為無(wú)窮小量，血指數(shù)為無(wú)窮大，網(wǎng)齊恰好互為例數(shù):

（in）用兩個(gè)歪:要極限公式求極限時(shí),往往用三角公式或代數(shù)公式進(jìn)行恒等變形或作

變量代換，使之成為垂耍極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。

C利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限?????［和0?卜卜****

M求下列函數(shù)的極限

,..x2+1、..xsinx

（1）hm--------.（2）hm

iix-1I-Ji+p

tf<1）因?yàn)镮im（K-l）=O而lim（.d+1）/0,求該式的極限需用無(wú)窮小與無(wú)窮大關(guān)系定理解決.因

4T47

為lim二0.所以“ixfI時(shí),二三1是無(wú)窮小fit,因而它的倒數(shù)是無(wú)窮大量，ll|llim=i=8.

TX+1X+1巧T工一】

<2）小能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，因?yàn)楫?dāng)x-?+8時(shí)分子，極限外存在，但.sinx是有界函數(shù)，即

卜inx|4l而limJV-lim-0,因此當(dāng)x-?+oo時(shí),/=為無(wú)窮小鼠.根據(jù)有界函數(shù)

1-n~,ViTT7

與無(wú)窮小乘積仍為無(wú)窮小定理，即有

xsmx

lim=0.

(-?**Jl+/

小結(jié)利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的美系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零,而分子極限存在的膜數(shù)極

做）；利用有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘枳仍為無(wú)力小定理可行一類函數(shù)的極限（有界量與無(wú)窮小之積的球數(shù)極

陽(yáng)）.

jag

lim(Zc-l)

例1.求f

lim(Zv-1)=lim2A-lim1=2lim,v-l=2-i-1=l

.r-?ljr->iJ?-?1.c-?l

lim4T-

例2.求一“r-5x+3.

..I

<-?2iim(.v2-5x+3)

_if/.、一?

J217

lim./-51imx*lim3limA-1=

!-??I??-?212"22-104-3-3

O例3.求7*2-9.

litn11

e?Jr-3..r-3|=’7=一

Iini—；~~-Iini-----~~■——=lini--6

.T-*3*-9工~?3(.T-3)(.K+3)x-?3X+3，

xf+4=H=o

2x-321-3

根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得tx二5.「4r.

提問(wèn)：如下寫法是否正確？

..Zr-3Jim(2x-3)

liin------------------------------------叮)

22

A?ix-5x+4lim(x-5x+4)0

it

討坨：

有理函數(shù)的極限1%仍、)

提示

VmPM=PM

當(dāng)。(<08。時(shí)，a4)Q.q)

l.im.-P---M--=oo

當(dāng)Q(?°)=0且P(*O)KO時(shí)，，r,Qx)

當(dāng)Q(xO)=P(xO)W)時(shí)，先將分子分母的公因式(x-xO)的去.

..3xi+4t￡+2

例5求—7x3+5.H-3.

解：先用x'去除分子及分母，然后取極限:

.空卓=lim與，

x-*?7xs*5x--3i-xr74.A__￡_7

,=7.<f)

求理".

例6

先用x'去除分子及分母，筋后取極限:

lim

2x-

lim2.1—7

例7.求一3/-2AT

解：因?yàn)?上貂去。，所以

十

lim3—15

3.H-2Z'

討論:

?

有理函數(shù)的極限…*Mv*+..+%

提示

0n</ft

而十/=%

1MW+…n=nt

t?好廣++…+配％

n>m

lim到更

例8.求x—X

解：當(dāng)X+oW,分子及分母的極限都不存在，故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用.

-----sinx

因?yàn)閄X，是無(wú)窮小與有界西敷的乘積,

lim血=0

所以.

lim-i2IlA-|im則UL—!—.hm"土lim」一?1

解：q-MIxXCOSJC4-WIX<-^ocosx

例］0求t短

=3區(qū)?)4p4日

“5無(wú)i小及凝函

1.用新無(wú)窮小的階

例1"ix-0的，卜列無(wú)窮小量是*的幾階無(wú)力小lim-~311=I求K即可

一9

①x-3—+x5②situagx

解：①因?yàn)楫?dāng)x-0時(shí)，在x3/?/中3/與f部是4的高階無(wú)窮小，由恒等式(i)

所以，當(dāng)4~0時(shí)?.<3?+/罡i的面無(wú)窮小

②因?yàn)楫?dāng)x-*0時(shí)，sinx~x,IRx~x,由恒等式(ii)可知sinx〔gX=P(X2).即lim加'=I

?-H>r*

所以，當(dāng)x-*0時(shí)，sinxtgxx的二二階無(wú)窮小

注，先將原式交形，再判斷階數(shù)

例2當(dāng)x-0時(shí),卜列無(wú)窮小陵是x的兒階無(wú)窮小

①Jl+X-Jl-X②幅x-sinx

W：4通過(guò)分子仃理化將原式變形

引-后=LL

由此否?出，當(dāng)x-0時(shí)，Jl+x-jl-x是x的一階無(wú)窮小.小實(shí)上

..2x_

1

I。,v(Vl+X+Jl-x)

②通過(guò)-ft］函數(shù)的公式將原式變形