2020高中數(shù)學(xué)必修第一冊教材分析

高中數(shù)學(xué)必修第一冊教材分析

作為新課程高中數(shù)學(xué)的起始模塊一必修一，它是由“第一章集合與常用邏輯用語、第二章一元

二次函數(shù)、方程和不等式、第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)、第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、第五章三角函

數(shù)”五部分內(nèi)容組成.下邊為了便于討論，我們分章對于教材作一一分析.

1集合與常用邏輯用語

集合是近代數(shù)學(xué)中的一個重要概念，集合概念及其基本理論又是近代數(shù)學(xué)的一個重要的基礎(chǔ)，它

不僅與高中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容有著聯(lián)系，而且已經(jīng)滲透到自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，應(yīng)用十分廣泛。中學(xué)

數(shù)學(xué)所研究的各種對象都可以看作集合或集合中的元素，用集合語言可以簡明地表述數(shù)學(xué)概念，準(zhǔn)

確、簡捷地進(jìn)行數(shù)學(xué)推理.正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代社會公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)，無論是進(jìn)行思

考、交流，還是從事各項工作，都需要正確地運用邏輯用語表達(dá)自己的思維，使得思維清晰明了，

說理有據(jù)。

本章內(nèi)容以集合的含義與表示、集合的基本關(guān)系、集合的基本運算為邏輯鏈條統(tǒng)領(lǐng)全章，這種

安排與以往的教材的處理有很大的區(qū)別.例如，集合的基本關(guān)系，是將集合的包含和相等關(guān)系放在一

起，并給出子集的概念；集合的基本運算，是將集合的交、并、補(bǔ)放在這一節(jié)，并給出全集的概念,

這樣安排給學(xué)生展現(xiàn)出知識間的聯(lián)系，便于學(xué)生學(xué)習(xí).學(xué)習(xí)邏輯用語的目的不是學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯的有關(guān)

知識，而是讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)邏輯用語的基本知識，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，它包括數(shù)

學(xué)上和日常生活中的應(yīng)用。

教學(xué)目標(biāo)

集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言.使用集合語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容（集合

的初步知識與其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)），因此高中數(shù)學(xué)課

程中只是將集合作為一種語言來學(xué)習(xí).

⑴了解集合的含義，明確元素與集合的“屬于”關(guān)系.掌握描寫某些數(shù)集的專用符號.

⑵理解集合的表示法，能用集合語言對事物進(jìn)行準(zhǔn)確，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言

（列舉法或描述法）描述不同的具體問題.

⑶理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.培養(yǎng)分析、比較、歸納的邏輯思維

能力.

⑷了解全集與空集的含義.

⑸理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集.

⑹理解在給定集合中，一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.

⑺能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算.

⑻了解命題的逆命題、否命題與逆否命題.

(9)理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系.

(10)通過數(shù)學(xué)實例,了解"或"、"且"、"非"的含義.

(11)通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.

(12)能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點

(1)了解集合的含義與表示.

(2)理解集合間的包含與相等含義，子集與真子集的概念.

(3)理解交集與并集、全集與補(bǔ)集的含義.

⑷理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系.

教學(xué)難點

(1)運用集合的兩種常用表示法一列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合.(集合法的恰當(dāng)選擇)

(2)屬于關(guān)系與包含關(guān)系的區(qū)別.

(3)交集與并集的概念的理解，交集與并集的符號之間的區(qū)別與聯(lián)系.

(4)能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

知識結(jié)構(gòu)與教學(xué)安排

2一元二次函數(shù)、方程和不等式

通過具體情境感受不等關(guān)系，理解不等式修且）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值；掌

握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；認(rèn)識基本不等式及其簡單

應(yīng)用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。

地位與作用：不等量關(guān)系和等量關(guān)系都是反映客觀世界中的量與量之間最基本的數(shù)學(xué)

關(guān)系。它與方程一樣，都是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，在數(shù)學(xué)研究和解決實際問題中起

著同樣重要的作用。不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它與數(shù)、式、方程、函數(shù)、

導(dǎo)數(shù)等知識有著密切的關(guān)系，例如討論方程或方程組解的情況；研究函數(shù)的定義域、值

域、單調(diào)性、最值；討論曲線的分布范圍等都需要用到不等式的相關(guān)知識。因此，不

等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的地位，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。

課時安排建議：

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（約2課時）

2.2基本不等式（約3課時）

2.3一元二次不等式及其性質(zhì)（約3課時）

小結(jié)與復(fù)習(xí)（約3課時）

教學(xué)重難點：

教學(xué)重點：

1.不等式的性質(zhì)；

2.解一元二次不等式，突出數(shù)形結(jié)合的思想；

3.基本不等式證明及其應(yīng)用。

教學(xué)難點：

1.不等式性質(zhì)；

2.“三個二次的關(guān)系”；

3.應(yīng)用基本不等式求最值。

教學(xué)建議：

（一）不等關(guān)系與不等式

1.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘一些現(xiàn)實生活中的素材，通過分析其中的基本數(shù)量關(guān)系，

讓學(xué)生學(xué)會用不等式表示不等關(guān)系。

由于課標(biāo)對本節(jié)內(nèi)容的定位是用不等式表示和研究客觀事物的不等關(guān)系，因此，教

材特別強(qiáng)調(diào)構(gòu)建實際問題情景，因此，我們要通過現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)中的大量實例，引導(dǎo)

學(xué)生了解不等式（組）的實際背景，感受不等關(guān)系的普遍性和學(xué)習(xí)不等式知識的重要性,

初步體會用不等式刻畫各種不等關(guān)系的方法，在從實際背景抽象出數(shù)學(xué)模型的過程中

（數(shù)學(xué)建模），使學(xué)生體會知識的形成過程。

2.建議在教學(xué)中不要對這些性質(zhì)的證明作過多的糾纏，而應(yīng)該在說明這些性質(zhì)的

合理性上舉例說明。

在不等式的性質(zhì)的教學(xué)時，要注意不等式性質(zhì)成立的條件，注意區(qū)分不等式性質(zhì)單

向（放縮法）與雙向性（等價性）（雙向性質(zhì)是解不等式的基礎(chǔ)，而證明不等式既可用

單向性質(zhì)也可用雙向性質(zhì)）；例如雙向性：

（1）

（2）

（3）

例1對實數(shù)判斷下列命題的真假.

(1)若a>b,則a2〉"(2)若則

(3)若3>9〉0,則。昆"?<(4)若則

bd

例2已知：。是三個正數(shù)次Zxc中最大的數(shù)，且巴二士，求證：

bd

上i—th7U°7TOC~\~BCC—B,?-++-ra

例3已知：——<?</?<—,求：——匕,——匕的范圍.

2222

(二)一元二次不等式的解法

1.加強(qiáng)不等式與函數(shù)與方程的聯(lián)系，突出數(shù)形結(jié)合的思想。

在一元二次不等式解集的討論中，強(qiáng)調(diào)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，而不是簡

單地告訴學(xué)生一個解題程序。在這個過程中，幫助學(xué)生認(rèn)識到“不等”與“相等”之間

有著不可分割的內(nèi)在聯(lián)系；在總結(jié)解法時，既要條理清晰，操作簡便，又要關(guān)注對“特

例”的處理。

2.簡單的含參的一元二次不等式解法，簡單的二次不等式恒成立問題(結(jié)合學(xué)生

實際情況，分層次，不可一步到位)。

“區(qū)間根問題”、“二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題”以及“二次不等式在區(qū)間上恒

成立的問題”，由于這些問題會涉及到含參數(shù)的問題，因此要注意把握尺度，做到循序

漸進(jìn)。

建議適當(dāng)補(bǔ)充一些可以轉(zhuǎn)化為二次不等式的不等式求解問題，如簡單的分式不等

式，簡單的高次不等式，重點體會等價轉(zhuǎn)化的思想。

(三)基本不等式

基本不等式出現(xiàn)的比較突然，學(xué)生不易接受，因此在引入之后要從多方面進(jìn)行解釋,

加強(qiáng)理解。

利用基本不等式求最值是本課的教學(xué)核心；關(guān)注運用要點：一正，二定，三相等，

要注意“等”的重要性和必要性，與對勾函數(shù)的聯(lián)系；重視實際應(yīng)用題的教學(xué)。

基本不等式僅限于二元均值不等式，不必推廣到三個以上變量的情形。

3函數(shù)的概念與性質(zhì)

20世紀(jì)初，在英國數(shù)學(xué)家貝利和德國數(shù)學(xué)家克萊因等人的大力倡導(dǎo)和推動下，函數(shù)進(jìn)入了中學(xué)

數(shù)學(xué)?？巳R因提出了一個重要的思想一一以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，他認(rèn)為：“函數(shù)

概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在它周圍，進(jìn)行充分地

綜合。”在高中課程中，函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、算法、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，包括概率

統(tǒng)計中的隨機(jī)變量等，以及選修系列3、4中的大部分專題內(nèi)容，都與函數(shù)有著密切的聯(lián)系。用函數(shù)(映

射)的思想去理解這些內(nèi)容，是非常重要的一個出發(fā)點。反過來，通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以加深對

于函數(shù)思想的認(rèn)識。實際上，在整個高中數(shù)學(xué)課程中，都需要不斷地體會、理解“函數(shù)思想”給我

們帶來的“好處”。

教學(xué)目標(biāo)

⑴了解函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

⑵能用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念.

⑶了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

⑷能根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

⑸了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

⑹了解映射的概念.

⑺了解增函數(shù)、減函數(shù)的概念，理解函數(shù)的單調(diào)性，能利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性.

⑻理解二次函數(shù)的圖象變換，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并會利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值.

(9)了解函數(shù)奇偶性的含義，會判斷函數(shù)的奇偶性，能根據(jù)函數(shù)的奇偶性解決有關(guān)問題.

(10)能運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點

(1)理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù).

(2)理解函數(shù)的概念，函數(shù)的表示法.

(3)理解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，學(xué)會判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

(4)掌握用函數(shù)的單調(diào)性求一些函數(shù)的最大值

教學(xué)難點

(1)對抽象符號/(無)的理解，分段函數(shù)的表示及圖像.

(2)應(yīng)用定義證明單調(diào)性.

(3)利用數(shù)學(xué)本質(zhì)正確判斷函數(shù)的奇偶性.

知識結(jié)構(gòu)與教學(xué)安排

課時安排

本章教學(xué)時間約需要13課時，具體分配如下:

3.1集合約4課時

3.2函數(shù)及其表示約4課時

3.3函數(shù)的基本性質(zhì)約3課時

實習(xí)作業(yè)約1課時

小結(jié)約1課時

4指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,本章繼第一章學(xué)習(xí)完函數(shù)概念和基本性質(zhì)后,較為系統(tǒng)地研究

最重要的兩個基本初等函數(shù):指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù).通過這些函數(shù)的研究,使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到函數(shù)

是刻畫現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型，是一種通過某一事物的變化信息可推知另一事物信息的對應(yīng)

關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.并要求結(jié)合實際問題,感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)

的起始課程，函數(shù)的重要性主要表現(xiàn)在兩個方面：一是函數(shù)思想的價值；二是函數(shù)的應(yīng)用價值.從兩

個方面學(xué)習(xí)函數(shù)的應(yīng)用，一是函數(shù)與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系：再一個是函數(shù)與實際的聯(lián)系.力圖在理念、

方法和能力上為高中階段的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)

⑴理解有理指數(shù)幕的含義，了解無理指數(shù)幕及實數(shù)指數(shù)幕的意義,掌握塞的運算.

⑵了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.

⑶理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點.

⑷在解決實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

⑸理解對數(shù)的概念及其性質(zhì)，知道能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù).

⑹了解對數(shù)的發(fā)展歷史以及簡化運算的作用.

⑺了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系,初步理解對數(shù)函數(shù)的概念,體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的

函數(shù)模型.

⑻能夠畫出具體的對數(shù)函數(shù)的圖象，了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

⑼了解反函數(shù)的定義,知道指數(shù)函數(shù)y=相與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

⑩掌握累函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的變化特點，會區(qū)別它們變化的速度的不同.

(11)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與

方程根的聯(lián)系.

(12)根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解二分法是求方

程近似解的常用方法.

(13)能利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)間的增長差異；結(jié)合實例體會直線上

升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.

教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點

(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念和運算性質(zhì).

(2)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).幕函數(shù)的一些性質(zhì)

(3)對數(shù)式與指數(shù)式的互化

(4)函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)的觀點處理問題的意識

(5)通過“二分法”求方程的近似解.

(6)將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異,

結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。

教學(xué)難點

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念理解.

(2)對數(shù)函數(shù)概念的理解

(3)底數(shù)a對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值變化的影響.

(4)函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)與方程思想的滲透.

(5)怎么選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題。

課時安排

本章教學(xué)時間約需要22課時，具體分配如下:

4.1指數(shù)函數(shù)約6課時

4.2對數(shù)函數(shù)約6課時

4.3累函數(shù)約1課時

4.4函數(shù)與方程約3課時

4.5函數(shù)建模及其應(yīng)用約4課時

實習(xí)作業(yè)約1課時

小結(jié)約1課時

5.三角函數(shù)

本章學(xué)情分析與教材分析：

（一）學(xué)情分析：本章內(nèi)容主要包括三角函數(shù)任意角的概念、弧度制、任意角的三角函

數(shù)、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)模型及其應(yīng)用.

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和

對數(shù)函數(shù)，對函數(shù)有了一定的認(rèn)識.三角函數(shù)是學(xué)生遇到的第一個周期性函數(shù)，是高中

階段學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù).學(xué)完本章以后，學(xué)生應(yīng)對函數(shù)的一般內(nèi)容，如函數(shù)

符號、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建立更完整的認(rèn)識.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中已有銳角的三角函數(shù)的概念，但沒有將其作為一種函數(shù)來教學(xué)，關(guān)

注的只是三角函數(shù)值，主要利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)邊角的問

題.到了高中階段，需要從函數(shù)的角度來認(rèn)識三角函數(shù)，落實大綱中與三角函數(shù)部分相

關(guān)的教學(xué)內(nèi)容與要求.

本章首先對角的概念進(jìn)行推廣，并通過弧度制對角的度量建立角與實數(shù)之間的一一

對應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)奠定基礎(chǔ)；為了角的概念推廣

的需要，把角放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，不僅建立了角的大小與終邊位置的關(guān)系，

而且通過角的終邊上的點的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)，并利用角的終邊上點的坐標(biāo)

的正負(fù)直觀性，判斷三角函數(shù)值的符號，得到特殊角的三角函數(shù)值，建立同角三角函數(shù)

的兩個基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)圖像以及誘導(dǎo)公式幫助學(xué)生從“形”與

“數(shù)”兩方面理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的變化規(guī)律；最后利用計算器及誘導(dǎo)公式，能由已

知三角函數(shù)值求出指定范圍的角.

（二）教材分析:

1.核心素養(yǎng)

《三角函數(shù)》可看作是《函數(shù)》一章內(nèi)容的延伸和拓展，在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體

會三角函數(shù)與一般函數(shù)之間的關(guān)系，即個性與共性之間的關(guān)系.同時，在本章的教學(xué)中，

要特別注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如突出“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.由于三角函數(shù)的基礎(chǔ)

是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，所以教學(xué)中既要“以