2022年北京市順義區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

第第頁2022年北京市順義區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2i1-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）集合A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣2，0}3．（4分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增的是（）A．y=1x B．y＝2x C．y＝log2x D．y4．（4分）已知|a→|＝|b→|＝1，且a→⊥（a→+3A．-13 B．-15 C．5．（4分）在等差數(shù)列{an}中，a7﹣a3＝2，a4＝1，則a12＝（）A．5 B．4 C．3 D．26．（4分）已知x∈R，則“1x＜1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（4分）已知過BD1的平面與正方體ABCD相交，分別交棱AA1，CC1于M，N．則下列關(guān)于截面BMD1N的說法中，不正確的是（）A．截面BMD1N可能是矩形 B．截面BMD1N可能是菱形 C．截面BMD1N可能是梯形 D．截面BMD1N不可能是正方形8．（4分）已知兩點(diǎn)M（﹣5，0），N（5，0），若直線上存在點(diǎn)e，使得|PM|﹣|PN|＝8成立，則稱該直線為“單曲直線”．下列直線中，“單曲直線”是（）①y＝x+2；②x＝4；③y=3④y=1A．①② B．①③ C．②③ D．②④9．（4分）如圖，△OB1A1，△A1B2A2是全等的等腰直角三角形，B1，B2為直角頂點(diǎn)，O，A1，A2三點(diǎn)共線．若點(diǎn)P1，P2分別是邊A1B1，A2B2上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．記m=OB1A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m，n大小不能確定10．（4分）為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某中學(xué)舉辦了主題為“琴、棋、書、畫”的傳統(tǒng)文化知識競賽．現(xiàn)有四位選手進(jìn)入到?jīng)Q賽．決賽按“琴、棋、書、畫”的主題分為四個環(huán)節(jié)，規(guī)定每個環(huán)節(jié)的第一名到第四名的得分依次為4，3，2，1分，四個環(huán)節(jié)結(jié)束后統(tǒng)計總分．若總分第一名獲得14分，總分第二名獲得13分．有下列結(jié)論：①總分第三名不超過9分；②總分第四名可能在某一個環(huán)節(jié)的比賽中拿到3分；③總分第四名不超過6分；④總分第三名可能獲得某一個環(huán)節(jié)比賽的第一名．其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11．（5分）函數(shù)f（x）=2-x+lg（x+1）的定義域?yàn)?2．（5分）在(x2+1x13．（5分）將直線l：x﹣y+2＝0繞著點(diǎn)A（1，3）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°，得到直線l1.則l1的傾斜角為，l1的方程是．14．（5分）若實(shí)數(shù)a，b滿足a＝b﹣1，則使得0＜ab＜2成立的一個a的值是．15．（5分）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不能沿直線到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“出租車距離”．給出下列四個結(jié)論：①若點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，2），則d（O，A）＝3；②到點(diǎn)O（0，0）的“出租車距離”不超過1的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是π；③若點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B是拋物線y2＝x上的動點(diǎn)，則d（A，B）的最小值是1；④若點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B是圓x2+y2＝1上的動點(diǎn)，則d（A，B）的最大值是3+2其中，所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．（14分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在線段AB上．（Ⅰ）證明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)時，求A1D與平面D1EC所成角的大小．17．（14分）在△ABC中，a＝1，csinA=3（Ⅰ）求C的大?。唬á颍┰購臈l件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，判斷△ABC是否存在，若不存在，說明理由；若存在，求出△ABC的面積．條件①：cosAcosC=2條件②：b2﹣c2＝ac；條件③：a，b，c成等差數(shù)列．18．（14分）某單位4人積極參加本地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品的網(wǎng)購活動，共有A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品供選擇，每人只購其中一種．大家約定：每人通過擲一次質(zhì)地均勻的骰子決定自己去購買哪種農(nóng)產(chǎn)品．若擲出點(diǎn)數(shù)為1或2，購買農(nóng)產(chǎn)品A，若擲出點(diǎn)數(shù)大于2，則購買農(nóng)產(chǎn)品B．（Ⅰ）求這4個人中恰有1人購買農(nóng)產(chǎn)品A的概率；（Ⅱ）用ξ，η分別表示這4個人中購買農(nóng)產(chǎn)品A和B的人數(shù)，記X＝ξη，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．19．（14分）已知函數(shù)f(x)=1（Ⅰ）若a＝1，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若對任意x∈[1，+∞），都有f（x）≥lnx．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．（15分）已知橢圓W：x2a2+y（Ⅰ）求橢圓W的方程；（Ⅱ）點(diǎn)B在直線x＝4上，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B1，直線AB，AB1分別交橢圓W于C，D兩點(diǎn)（不同于A點(diǎn)）．求證：直線CD過定點(diǎn)．21．（14分）數(shù)列An：a1，a2，?，an（n≥2）滿足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，?，n），稱Tn＝a1?2n﹣1+a2?2n﹣2+a3?2n﹣3+?+an﹣1?21+an?20為數(shù)列An的指數(shù)和．（Ⅰ）若n＝3，求T3所有可能的取值；（Ⅱ）求證：Tn＜0的充分必要條件是a1＝﹣1；（Ⅲ）若T100＜0，求T100的所有可能取值之和．

2022年北京市順義區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2i1-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=i對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1），在第二象限，故選：B．2．（4分）集合A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣2，0}【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，則A∩B＝{﹣1，0}．故選：B．3．（4分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增的是（）A．y=1x B．y＝2x C．y＝log2x D．y【解答】解：y=1x在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，y＝2x，y＝log2x為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；y＝sinx為奇函數(shù)且在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增．故選：D．4．（4分）已知|a→|＝|b→|＝1，且a→⊥（a→+3A．-13 B．-15 C．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量a→，b→夾角為若|a→|＝|b→|＝1，且a→⊥（a→+3b→），則a→?（a→+3解可得cosθ=-1故選：A．5．（4分）在等差數(shù)列{an}中，a7﹣a3＝2，a4＝1，則a12＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a7﹣a3＝4d＝2，因?yàn)閍4＝1，則a12＝a4+8d＝1+4＝5．故選：A．6．（4分）已知x∈R，則“1x＜1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：由1x＜1可得：x＞1或所以“1x＜1”是“故選：B．7．（4分）已知過BD1的平面與正方體ABCD相交，分別交棱AA1，CC1于M，N．則下列關(guān)于截面BMD1N的說法中，不正確的是（）A．截面BMD1N可能是矩形 B．截面BMD1N可能是菱形 C．截面BMD1N可能是梯形 D．截面BMD1N不可能是正方形【解答】解：如圖，當(dāng)M在A1，N在C點(diǎn)時，截面BMD1N是矩形，故A正確；由平面BCC1B1∥平面ADD1A1，并且B、E、F、D1四點(diǎn)共面，可知MD1∥BN，同理可證ND1∥MB，故四邊形BND1M一定是平行四邊形，故C錯誤；若BND1M是正方形，則MD1⊥BM，這個與A1D1⊥BM矛盾，D正確；當(dāng)點(diǎn)E和F分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)時，D1M＝MB，此時平行四邊形BND1M是菱形，故B正確．故選：C．8．（4分）已知兩點(diǎn)M（﹣5，0），N（5，0），若直線上存在點(diǎn)e，使得|PM|﹣|PN|＝8成立，則稱該直線為“單曲直線”．下列直線中，“單曲直線”是（）①y＝x+2；②x＝4；③y=3④y=1A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】解：因?yàn)閨PM|﹣|PN|＝8，所以點(diǎn)P在以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且2a＝8，c＝5，即a＝4，c＝5，所以b2＝c2﹣a2＝9，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2對于①，聯(lián)立y＝x+2和x216-y29所以Δ＝642﹣4×7×208＜0，所以①不是單曲直線；對于②，聯(lián)立x＝4和x216-y2對于③，因?yàn)閥=34x是x對于④，聯(lián)立和x216-y29所以Δ＝162﹣4×5×（﹣160）＞0，所以④是單曲直線．故選：D．9．（4分）如圖，△OB1A1，△A1B2A2是全等的等腰直角三角形，B1，B2為直角頂點(diǎn)，O，A1，A2三點(diǎn)共線．若點(diǎn)P1，P2分別是邊A1B1，A2B2上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．記m=OB1A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m，n大小不能確定【解答】解：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)腰長為1，則O（0，0），A1（2，0），A2（22，0），B1（22，22），B2（32直線A1B1的方程為y=2-x，所以設(shè)P1（x1，2-x1），其中x1∈（2直線A2B2的方程為y＝22-x，所以設(shè)P2（x2，22-x2），其中x2∈（32則m=OB1→?OP2→=（22，22）?（x2，2n=OB2→?OP1→=（322，22）?（x1，2-x1故m＜n，故選：B．10．（4分）為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某中學(xué)舉辦了主題為“琴、棋、書、畫”的傳統(tǒng)文化知識競賽．現(xiàn)有四位選手進(jìn)入到?jīng)Q賽．決賽按“琴、棋、書、畫”的主題分為四個環(huán)節(jié)，規(guī)定每個環(huán)節(jié)的第一名到第四名的得分依次為4，3，2，1分，四個環(huán)節(jié)結(jié)束后統(tǒng)計總分．若總分第一名獲得14分，總分第二名獲得13分．有下列結(jié)論：①總分第三名不超過9分；②總分第四名可能在某一個環(huán)節(jié)的比賽中拿到3分；③總分第四名不超過6分；④總分第三名可能獲得某一個環(huán)節(jié)比賽的第一名．其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④【解答】解：每個項目第一名到第四名的得分依次為4，3，2，1分，即一個項目得分之和為4+3+2+1＝10分，四個項目總和得分為40分，∵總分第一名獲得14分，總分第二名獲得13分，∴第三名和第四名得分之和為40﹣14﹣13＝13分，則總分第四名不可能超過6分，故③正確，若第一名和第二名包攬前2名，則共得分4×（4+3）＝28分＞14+13，即第一名和第二名，不可能包攬前2名，則總分第一名和總分第二名只能是兩人包攬4個第一名，3個第三名，一個第二名，故總分第三名可能獲得某一個環(huán)節(jié)比賽的第一名，故④錯誤，①由于第三和第四名得分之和為13分，則第三名的總分可能超過9分，故①正確；②總分第一名獲得14分，應(yīng)該是4+4+4+2＝14，此時第二名得分應(yīng)該是3+3+3+4＝13，或者第一名是4+4+3+3＝14，此時第二名是3+2+4+4＝13，得分情況如圖：則總分第四名可能在某一個環(huán)節(jié)的比賽中拿到3分；故②正確，故正確的是①②③，故選：C．二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11．（5分）函數(shù)f（x）=2-x+lg（x+1）的定義域?yàn)椤窘獯稹拷猓汉瘮?shù)f（x）=2-x+lg（令2-x≥0x+1＞0解得﹣1＜x≤2；所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，2]．故答案為：（﹣1，2]．12．（5分）在(x2+1x【解答】解：（x2+1x）5的展開式的通項公式為Tr+1=C5r（x2）5﹣r令10﹣3r＝1，解得r＝3，所以（x2+1x）5的展開式中，x的系數(shù)為故答案為：10．13．（5分）將直線l：x﹣y+2＝0繞著點(diǎn)A（1，3）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°，得到直線l1.則l1的傾斜角為60°，l1的方程是3x﹣y+3-3=【解答】解：直線l：x﹣y+2＝0的傾斜角為：45°，直線l：x﹣y+2＝0繞點(diǎn)A（1，3）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°得到直線l1，則直線l1的傾斜角為60°，直線l1的斜率：3，所以直線l1的方程為y﹣3=3（x﹣1），整理得3x﹣y+3-故答案為：60°；3x﹣y+3-314．（5分）若實(shí)數(shù)a，b滿足a＝b﹣1，則使得0＜ab＜2成立的一個a的值是12【解答】解：∵a＝b﹣1，∴b＝a+1，∴0＜ab＜2可化為0＜a（a+1）＜2，解得﹣2＜a＜﹣1或0＜a＜1，故a的值可以是12故答案為：1215．（5分）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不能沿直線到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“出租車距離”．給出下列四個結(jié)論：①若點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，2），則d（O，A）＝3；②到點(diǎn)O（0，0）的“出租車距離”不超過1的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是π；③若點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B是拋物線y2＝x上的動點(diǎn)，則d（A，B）的最小值是1；④若點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B是圓x2+y2＝1上的動點(diǎn)，則d（A，B）的最大值是3+2其中，所有正確結(jié)論的序號是①③④．【解答】解：對于①：若點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，2），則d（O，A）＝|0﹣1|+|0﹣2|＝3，故①正確；對于②：設(shè)到點(diǎn)O（0，0）的“出租車距離”不超過1的點(diǎn)為（x，y），則|x|+|y|≤1，作出圖象如圖1所示，該圖為對角線長為2的菱形，故面積為S=12×2×2=2對于③：設(shè)B（y2，y），則作出圖2，直線AB∥y軸交y2＝x于D（1，1），直線AC∥x軸，交y2＝x于C（2，2），易知當(dāng)B點(diǎn)落在曲線段BC上時，可取得d（A，B此時d（A，B）＝y(tǒng)2﹣1+2﹣y＝y(tǒng)2﹣y+1，y∈[1，2]，顯然該函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，故y＝1時，d（A，B）min＝1，故③正確；對于④：易知點(diǎn)A（1，2）在單位圓外，設(shè)B（cosθ，sinθ），故d（A，B）＝1﹣cosθ+2﹣sinθ＝3﹣（sinθ+cosθ）＝3-2sin(θ+π4)，顯然當(dāng)θ=5π4時，d（A，故答案為：①③④．三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．（14分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在線段AB上．（Ⅰ）證明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)時，求A1D與平面D1EC所成角的大?。窘獯稹浚á瘢┳C明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE＝x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0）∴D1E→=（1，x，﹣1），A1D→=（﹣1，0，﹣1），∴D1E→（II）解：由（I）知EC→=（﹣1，1，0），設(shè)平面D1EC的一個法向量為n→=（x，y，則n→?EC→=0n→?E平面D1EC的一個法向量為n→設(shè)A1D與平面D1EC所成的角為θ，又A1所以sinθ=×所以θ=π所以A1D與平面D1EC所成角的大小為π317．（14分）在△ABC中，a＝1，csinA=3（Ⅰ）求C的大??；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，判斷△ABC是否存在，若不存在，說明理由；若存在，求出△ABC的面積．條件①：cosAcosC=2條件②：b2﹣c2＝ac；條件③：a，b，c成等差數(shù)列．【解答】解：（I）因?yàn)閏?sinA=3由正弦定理asinA=csinC，可得asinC＝所以asinC=3即tanC=3又0＜C＜π，所以C=π（II）選擇條件①：cosAcosC=2由（I）知，C=π所以cosA=2因?yàn)锳∈（0，π），可得A=π所以B=5π12，此時△因?yàn)閍＝1，所以c=asinC又因?yàn)閟in所以S△ABC選擇條件②：b2﹣c2＝ac，因?yàn)镃=π由余弦定理可得cosπ又a＝1，所以可得b2﹣c2＝b﹣1，又由條件②：b2﹣c2＝ac可得b2﹣c2＝c，所以c＝b﹣1，又a＝1，所以可得b＝a+c，這與在△ABC中，a+c＞b矛盾故此時△ABC不存在；選擇條件③：a，b，c成等差數(shù)列，因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a+c，因?yàn)閍＝1，所以2b＝1+c，又由余弦定理可得cosπ化簡得b2﹣c2＝b﹣1，聯(lián)立方程組2b=1+cb解得b＝1或b＝0（舍），又a=1，C=π所以△ABC為等邊三角形，此時△ABC存在，所以S△ABC18．（14分）某單位4人積極參加本地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品的網(wǎng)購活動，共有A、B兩種農(nóng)產(chǎn)品供選擇，每人只購其中一種．大家約定：每人通過擲一次質(zhì)地均勻的骰子決定自己去購買哪種農(nóng)產(chǎn)品．若擲出點(diǎn)數(shù)為1或2，購買農(nóng)產(chǎn)品A，若擲出點(diǎn)數(shù)大于2，則購買農(nóng)產(chǎn)品B．（Ⅰ）求這4個人中恰有1人購買農(nóng)產(chǎn)品A的概率；（Ⅱ）用ξ，η分別表示這4個人中購買農(nóng)產(chǎn)品A和B的人數(shù)，記X＝ξη，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．【解答】解：（I）根據(jù)題意可知，這4個人中每個人去購買產(chǎn)品A的概率為13，每個人取購買產(chǎn)品B的概率為2設(shè)“這4個人中恰有i人去購買農(nóng)產(chǎn)品A”為事件Ai（i＝0，1，2，3，4），則P（Ai）=C4i故這4個人中恰有1人購買農(nóng)產(chǎn)品A的概率P（A1）=C（II）由題意可知，X的所有可能取值為0，3，4，P（X＝0）＝P（A0）+P（A4）=16P（X＝3）＝P（A1）+P（A3）=32P（X＝4）＝P（A2）=24故X的分布列為：X034P17402481故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×1719．（14分）已知函數(shù)f(x)=1（Ⅰ）若a＝1，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若對任意x∈[1，+∞），都有f（x）≥lnx．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（I）當(dāng)a＝1時，f（x）=1求導(dǎo)可得，f'（x）=1f'（1）=12+所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣0＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0（II）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，即12可設(shè)g(x)=1則g′(x)==(x-1)[ax-(2-a)]令g′（x）＞0可解得x＞討論：（1）當(dāng)2?aa≤1時，即a≥1時，g′（x）＞0在x所以g（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）min＝g（1）＝a﹣1，又a≥1所以g（1）≥0恒成立，即a≥1時滿足，（2）