山東省淄博市高三三模數(shù)學(xué)試題

高三仿真試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求得指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式從而解得集合，再求即可.【詳解】為上的單調(diào)增函數(shù)，又，故集合的元素為大于等于的整數(shù)；，即，解得，又，故集合；則.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為A.1 B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，方程，可得，所以方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根分別為或，所以.故選：B.3.甲?乙兩所學(xué)校各有3名志愿者參加一次公益活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，若每排同一個(gè)學(xué)校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有（）A.36 B.72 C.144 D.288【答案】B【解析】【分析】先求出第一排有2人來自甲校，1人來自乙校，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出不同的站法種數(shù).同理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù).然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，相加即可得出答案.【詳解】第一排有2人來自甲校，1人來自乙校：第一步，從甲校選出2人，有種選擇方式；第二步，2人站在兩邊的站法種數(shù)有；第三步，從乙校選出1人，有種選擇方式；第四步，第二排甲校剩余的1人站中間，乙校剩余的2人站在兩邊的站法種數(shù)有.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有.同理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù)有.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有.故選：B.4.在中，，的平分線交BC于點(diǎn)D．若，則（）A B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由角平分線定理求得，然后由向量的線性運(yùn)算可用表示出，從而求得，得出結(jié)論．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，又是的平分線，所以，，，又，所以，所以．故選：B．5.中國古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為圓形的木材加工制成截面為矩形的梁，設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為x，與承載重力的方向平行的高度為y，記矩形截面抵抗矩.根據(jù)力學(xué)原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強(qiáng)，則寬x與高y的最佳之比應(yīng)為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓的直徑為，則，將矩形截面抵抗矩表示成關(guān)于的的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)的單調(diào)性、最值，從而得出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的直徑為，則，，，令，由時(shí)，解得；由時(shí)，解得；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以時(shí)取最大值.此時(shí)，所以.故選：B.6.已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，，且．若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，設(shè)，根據(jù)余弦定理得到，計(jì)算得到離心率.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，故四邊形為平行四邊形，設(shè)，，則，，，，中，，整理得到，即，故.故選：A7.如圖，陰影正方形的邊長為1，以其對(duì)角線長為邊長，各邊均經(jīng)過陰影正方形的頂點(diǎn)，作第2個(gè)正方形；然后再以第2個(gè)正方形的對(duì)角線長為邊長，各邊均經(jīng)過第2個(gè)正方形的頂點(diǎn)，作第3個(gè)正方形；依此方法一直繼續(xù)下去.若視陰影正方形為第1個(gè)正方形，第個(gè)正方形的面積為，則（）A.1011 B. C.1012 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知是以公比為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)，并項(xiàng)求和即可.【詳解】第一個(gè)正方形的邊長為，面積為，第二個(gè)正方形的邊長為，面積為，第三個(gè)正方形的邊長為，面積為，……,進(jìn)而可知：是以公比為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，所以，由于,所以，故選：B8.設(shè)A，B是半徑為3球體O表面上兩定點(diǎn)，且，球體O表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)確定軌跡為圓，轉(zhuǎn)化到空間得到軌跡為兩球的交線，計(jì)算球心距，對(duì)應(yīng)圓的半徑為，再計(jì)算周長得到答案.【詳解】以所在的平面建立直角坐標(biāo)系，為軸，的垂直平分線為軸，，則，，設(shè)，，則，整理得到，故軌跡是以為圓心，半徑的圓，轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)繞為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，不變，依然滿足，故空間中的軌跡為以為球心，半徑為的球，同時(shí)在球上，故在兩球的交線上，為圓.球心距為，為直角三角形，對(duì)應(yīng)圓的半徑為，周長為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某種子站培育出A、B兩類種子，為了研究種子的發(fā)芽率，分別抽取100粒種子進(jìn)行試種，得到如下餅狀圖與柱狀圖：用頻率估計(jì)概率，且每一粒種子是否發(fā)芽均互不影響，則（）A.若規(guī)定種子發(fā)芽時(shí)間越短，越適合種植，則從5天內(nèi)的發(fā)芽率來看，B類種子更適合種植B.若種下12粒A類種子，則有9粒種子5天內(nèi)發(fā)芽的概率最大C.從樣本A、B兩類種子中各隨機(jī)取一粒，則這兩粒種子至少有一粒8天內(nèi)未發(fā)芽的概率是D.若種下10粒B類種子，5至8天發(fā)芽的種子數(shù)記為X，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)圖形和概率的概念可判斷A選項(xiàng)；由題意可知發(fā)芽數(shù)X服從二項(xiàng)分布，，再由，且，可求k的最大值；由概率的根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)和相互獨(dú)立事件的概率公式，可計(jì)算選項(xiàng)C;由題意可知X服從二項(xiàng)分布，,可判斷D選項(xiàng).【詳解】從5天內(nèi)的發(fā)芽率來看，A類種子為，B類種子為，故A選項(xiàng)錯(cuò)；若種下12粒A類種子，由題意可知發(fā)芽數(shù)X服從二項(xiàng)分布，，，則，且，可得，且，所以，即，即有10粒種子5天內(nèi)發(fā)芽的概率最大，故B選項(xiàng)錯(cuò)；記事件A:樣本A種子中隨機(jī)取一粒8天內(nèi)發(fā)芽；事件B:樣本B種子中隨機(jī)取一粒8天內(nèi)發(fā)芽；根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)，這兩粒種子至少有一粒8天內(nèi)未發(fā)芽的概率：，故C選項(xiàng)正確；由題意可知X服從二項(xiàng)分布，，所以，故D選項(xiàng)正確；故選：CD10.設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件A＝“從甲袋中任取1球是紅球”，記事件B＝“從乙袋中任取2球全是白球”，則（）A.事件A與事件B相互獨(dú)立 B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由古典概型概率計(jì)算公式，以及條件概率公式分項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球可知：從甲袋中任取1球?qū)σ掖腥稳?球有影響，事件A與事件B不是相互獨(dú)立關(guān)系，故A錯(cuò)誤；從甲袋中任取1球是紅球的概率為：，從甲袋中任取1球是白球的概率為：，所以乙袋中任取2球全是白球的概率為：，故B錯(cuò)誤；，所以，故C正確；，故D正確.故選：CD11.已知拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為K，斜率為k（k＞0）的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的最小距離是3B.當(dāng)直線l過點(diǎn)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，直線FM的斜率最小值是D.當(dāng)直線l過點(diǎn)K，且AF平分∠BFK時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義判斷A，由判別式求出的范圍結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷B，利用均值不等式判斷C，根據(jù)角平分線定理及拋物線定義判斷D.【詳解】對(duì)A，如圖，作，連接，其中為準(zhǔn)線，由拋物線定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在上時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B，直線l過點(diǎn)時(shí)，直線方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，，則，解得，所以，即，故B正確；對(duì)C，設(shè)，聯(lián)立可得，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，即，，所以，可得，即，所以，解得或（舍去），此時(shí)，滿足題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，如圖，作，由題意知，，連接，其中為準(zhǔn)線，則，聯(lián)立拋物線聯(lián)立可得，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，，由拋物線定義知，，因?yàn)锳F平分∠BFK，所以，由可知，所以，即，所以，又，解得，，所以，即，故D正確.故選：ABD12.如圖，已知圓柱母線長為，底面圓半徑為，梯形內(nèi)接于下底面，是直徑，//，，點(diǎn)在上底面的射影分別為，，，，點(diǎn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為上底面圓內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則（）A.若面交線段于點(diǎn)，則//B.若面過點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)C.的周長為定值D.當(dāng)點(diǎn)Q在上底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記直線，與下底面圓所成角分別為，，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A：先證//面，再利用線面平行的性質(zhì)，即可判斷；對(duì)B：根據(jù)共面，且面，即可判斷；對(duì)C：取點(diǎn)與點(diǎn)重合，以及點(diǎn)與中點(diǎn)重合兩個(gè)位置，分別計(jì)算三角形周長，即可判斷；對(duì)D：根據(jù)題意，找到線面角，得到，結(jié)合余弦定理、基本不等式求的范圍，即可判斷結(jié)果.【詳解】對(duì)A：由題可得//面，面，故//面；又//面，面，故//面；面，故面//面；又面，故//面；又面，面面，故可得//，A正確；對(duì)B：根據(jù)題意，共面，又分別為上的動(dòng)點(diǎn)，故直線面；不妨設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，若要滿足與共面，則直線必過點(diǎn)，又為定點(diǎn)，故B正確；對(duì)C：設(shè)的周長為，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)與中點(diǎn)重合時(shí)，連接：此時(shí)；顯然周長不為定值，C錯(cuò)誤；對(duì)D：過作底面圓垂線，垂足為且在下底面圓周上，即面，連接，則、分別是直線，與下底面圓所成角，所以，，則，，所以，而，，底面圓半徑為，若在對(duì)應(yīng)優(yōu)弧上時(shí)，則，所以，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，若在對(duì)應(yīng)劣弧上時(shí)，則，所以，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，綜上，，故，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：面面平行的性質(zhì)、直線與平面的位置關(guān)系、動(dòng)點(diǎn)問題以及線面角的求解；其中關(guān)于D選項(xiàng)中對(duì)范圍的求解，將空間問題轉(zhuǎn)化為平米問題進(jìn)行處理，也可以直接建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行處理；同時(shí)關(guān)于C選項(xiàng)中的定值問題，選取特殊位置驗(yàn)證，不失為一種較好的做題技巧。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某個(gè)品種的小麥麥穗長度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：、、、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?、、、、、、、、、、、，共?2個(gè)，所以，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)即：10.8.故答案為：14.已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積之比為______.【答案】【解析】【分析】由已知先計(jì)算圓錐母線與底面圓半徑的關(guān)系，再確定其內(nèi)切球半徑，最后由圓錐的側(cè)面積與球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示圓錐IF，設(shè)其底面圓心為F，半徑為r，內(nèi)切球球心為O，半徑為R，內(nèi)切球與母線IH切于點(diǎn)G，則由題意可知，故，易知，即，所以，圓錐的側(cè)面積為，內(nèi)切球的表面積為，故.故答案為：15.已知函數(shù)的零點(diǎn)是以為公差的等差數(shù)列.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先化簡函數(shù)，利用零點(diǎn)求出，根據(jù)單調(diào)遞增求出的值.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)榈牧泓c(diǎn)是以為公差的等差數(shù)列，所以周期為，即，解得；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.所以m的最大值為.故答案為：.16.已知函數(shù)的定義域，且對(duì)任意的，都有，若在上單調(diào)遞減，且對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由，得到是偶函數(shù)，再結(jié)合在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，再根據(jù)對(duì)任意的，不等式恒成立求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)的定義域，且對(duì)任意的，都有，所以，故，則，所以是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對(duì)稱性可得在上單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知.（1）求角A的大??；（2）給出以下三個(gè)條件：①，b＝4；②；③.若以上三個(gè)條件中恰有兩個(gè)正確，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可；（2）先由余弦定理分析條件確定正確的是②③，然后由正弦定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，若，則，不滿足，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】由及①，由余弦定理可得，即，由，解得；由及②，由余弦定理可得，由可得，可得；由及③，由三角形面積公式可得，可得.經(jīng)分析可知①②不能同時(shí)成立，①③不能同時(shí)成立，正確條件為②③，故，.代入②可得可得.在中，由正弦定理，故.18.已知數(shù)列中，，點(diǎn)，在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于n的整式，使得恒成立，若存在，寫出的表達(dá)式，并加以證明，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，可得與的關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，進(jìn)而可求得的表示式，化簡整理，可得，利用累加法，即可求得的表達(dá)式，結(jié)合題意，即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，在直線上，所以，即，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；（2），所以，所以，即，所以，，所以所以，根據(jù)題意恒成立，所以，所以存在關(guān)于n的整式，使得恒成立，【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)表達(dá)式，整理得與的關(guān)系，再利用累加法求解，若出現(xiàn)（關(guān)于n的表達(dá)式）時(shí)，采用累加法求通項(xiàng)，若出現(xiàn)（關(guān)于n的表達(dá)式）時(shí)，采用累乘法求通項(xiàng)，考查計(jì)算化簡的能力，屬中檔題.19.在長方體中，，過，，B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為10.（1）求棱的長；（2）求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用長方體和三棱錐體積公式，結(jié)合題意，計(jì)算即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間之間坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的方向量及其夾角的余弦值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)，由題設(shè)；，即，解得，故的長為.【小問2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系；由已知及（1），可知，，，，設(shè)平面的法向量為，有，，其中，，則有，即，解得，，取，得平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量為，有，其中，，即，解得，得平面的一個(gè)法向量，故，則平面和平面夾角的余弦值為.20.有一大批產(chǎn)品等待驗(yàn)收，驗(yàn)收方案如下：方案一：從中任取6件產(chǎn)品檢驗(yàn)，次品件數(shù)大于1拒收；方案二：依次從中取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)；若取到次品，則停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍無次品，通過驗(yàn)收.（1）若本批產(chǎn)品次品率為，選擇“方案二”，求需要抽取次數(shù)X的均值；（2）若本批產(chǎn)品次品率為，比較選擇哪種方案容易通過驗(yàn)收？【答案】（1）均值為（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別求出的取值所對(duì)應(yīng)的概率，然后按照期望的求解公式，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，分別表示出方案一與方案二對(duì)應(yīng)的概率，通過比較，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】隨機(jī)變量需要抽取次數(shù).其分布列為：，，，；.需要抽取次數(shù)的均值為.【小問2詳解】按照方案一：通過驗(yàn)收的概率為：按照方案二：通過驗(yàn)收的概率為：當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)選擇方案一更容易通過驗(yàn)收；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)選擇方案一、方案二結(jié)果相同；當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)選擇方案二更容易通過驗(yàn)收；21.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為4，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點(diǎn)，且∠RAS＝60°.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點(diǎn)M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點(diǎn)記為點(diǎn)N，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，則利用點(diǎn)A到漸近線的距離為列方程組求解；（2）方法①設(shè)點(diǎn)，寫出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理把，表示為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的函數(shù)進(jìn)行求解；方法②設(shè)直線的斜率為k，利用角平分線的向量表示，韋達(dá)定理，弦長公式，參數(shù)間的轉(zhuǎn)化，最終把表示為關(guān)于k的函數(shù)進(jìn)行求解.【小問1詳解】由題意可知：△ARS是正三角形，所以點(diǎn)A到漸近線的距離為所以，解得，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是：【小問2詳解】方法①：由雙