2023屆陜西省漢中市高三上學期教學質量第一次檢測數(shù)學（理）試題

2023屆陜西省漢中市高三上學期教學質量第一次檢測數(shù)學（理）試題一、單選題1．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則下列結論正確的有（）A．的共軛復數(shù)為 B．C．的虛部為 D．在復平面內(nèi)是第三象限的點【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)除法的運算法則，結合共軛復數(shù)的定義、復數(shù)模的公式、復數(shù)虛部的定義、復數(shù)在復平面對應點的特征逐一判斷即可.【詳解】因為，所以的共軛復數(shù)為；；的虛部為；在復平面內(nèi)對應點的坐標為，它在第四象限，故選：B2．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求解集合中的一元二次不等式和絕對值不等式即可進一步得解.【詳解】，，故選：A.3．命題“空間幾何體是正三棱錐”是命題“空間幾何體是正四面體”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)正三棱錐和正四面體的定義，以及充分、必要條件的判斷即可求解.【詳解】側棱與底面邊長都相等的正三棱錐為正四面體，所以正三棱錐不一定是正四面體，但正四面體一定是正三棱錐，所以“空間幾何體是正三棱錐”是命題“空間幾何體是正四面體”的必要不充分條件，故選：.4．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的正負進行綜合判斷.【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，故排除A選項；因為時，令，即，所以，故，排除B、D選項.故選：C.5．m，n為空間中兩條不重合直線，為空間中一平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】根據(jù)空間中的線線平行、線面平行、線面垂直的定義以及性質逐項進行判斷.【詳解】A．因為，，所以當時，不滿足，故錯誤；B．根據(jù)“垂直于同一平面的不同直線互相平行”可知B正確；C．因為，，所以可能是異面直線，故錯誤；D．因為，，所以時也滿足，故錯誤，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是通過分析已知的平行垂直關系，找尋不符合條件描述的反例，由此排除選項.6．已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，前6項的乘積是64，那么的最小值是A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【詳解】分析：先利用題意和等比數(shù)列的性質得到，再利用基本不等式進行求解．詳解：由等比數(shù)列的性質，得，即，又因為，所以（當且僅當時取等號）．點睛：本題考查等比數(shù)列的性質、基本不等式等知識，意在考查學生的邏輯思維能力和基本計算能力．7．為得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【分析】先將原函數(shù)用誘導公式變形為正弦函數(shù)表示，再根據(jù)“左加右減”的原則判斷即可.【詳解】故可由的圖象向左平移個單位長度得到.故選：A.8．6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎題.9．直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及兩點的距離公式，利用圓的標準方程及點到直線的距離公式，結合圓上的點到直線的最值問題及三角形的面積公式即可求解.【詳解】因為直線分別與軸，軸交于兩點，所以令，得，所以，令，得，所以，所以，因為圓的方程為，所以圓心坐標為，半徑為，所以圓心到直線的距離為,設點到直線的距離為，所以，即，于是有，所以，故面積的取值范圍為.故選:A.10．扇子文化在中國源遠流長.如圖，在長為?寬為的矩形白紙中做一個扇環(huán)形扇面，扇面的外環(huán)弧長為，內(nèi)環(huán)弧長為，徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為.若從矩形中任意取一點，則該點落在扇面中的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出小扇形的半徑，計算扇環(huán)的面積，即可求解面積型幾何概型問題．【詳解】設小扇形的半徑為r，則大扇形的半徑為r+16，則有，解得，所以扇環(huán)面積為所以若從矩形中任意取一點，則該點落在扇面中的概率為故選：D．11．若雙曲線的實軸的兩個端點與拋物線的焦點是一個直角三角形的頂點，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】如圖所示，拋物線的焦點為，雙曲線的實軸端點為由題得，化簡即得解.【詳解】解：如圖所示，拋物線的焦點為，雙曲線的實軸端點為由題得，，所以，所以所以故選：B12．若函數(shù)的兩個零點是，則（）A． B．C． D．無法判斷【答案】C【分析】首先將函數(shù)的零點轉化為函數(shù)和的交點，再結合函數(shù)的單調性可知，，去絕對值后，即可求解.【詳解】令，則，如圖分別畫出和，兩個零點分別設為，且函數(shù)單調遞減，如圖可知，，，即，所以.故選：C二、填空題13．曲線在點處的切線方程為__________________.【答案】【解析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率k，再求得，可得切點的坐標，代入公式，即可求得切線方程.【詳解】由題意得，所以在點處切線的斜率，又，即切點為，所以切線方程為，整理可得.故答案為：14．已知向量，若，則___________.【答案】##【分析】先利用平面向量垂直的坐標表示求得，再利用平面向量線性運算與模的坐標表示即可求得結果.【詳解】因為，，所以，得，則，所以，故.故答案為：.15．已知數(shù)列滿足：，若，則的通項公式為___________.【答案】【分析】結合遞推公式的結構特點構建一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出構建的數(shù)列的通項公式，進而得解.【詳解】因為，所以，則數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以，則，故答案為：.16．若三角形內(nèi)切圓半徑為，三邊長分別為，，，則，利用類比思想：若四面體內(nèi)切球半徑為，四個面的面積為，，，，則四面體的體積____________.【答案】【分析】根據(jù)類比思想，“”變成“”，“邊”變成“面”，“內(nèi)切圓半徑”變?yōu)椤皟?nèi)切球半徑”.【詳解】若四面體內(nèi)切球半徑為，四個面的面積為，，，，則四面體的體積.證明：如果四面體，其內(nèi)切球球心為則故答案為：.三、解答題17．已知分別為內(nèi)角的對邊，且(1)求角；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）結合正弦定理，邊化角即可求解角；（2）結合三角形面積公式與余弦定理求解，即可得的值.【詳解】（1）解：，由正弦定理得，所以由于，所以，則，又，所以；（2）解：由（1）得，由余弦定理得，，.18．如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.(1)求證：；(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先證明，再結合線面垂直證明線線垂直.（2）首先建立坐標系，再分別求出平面和平面的法向量，再求二面角即可.【詳解】（1）證明：由于四邊形為菱形，則平面平面又平面平面平面，又平面（2）如下圖，取的中點，連接，為等邊三角形，，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則由題意得，又，則，，由（1）知平面，則可取為平面的法向量設平面的法向量為，則，，令得，設二面角的平面角為，則，由題知二面角的銳二面角，所以二面角大小為.19．某企業(yè)為響應國家在《“十四五”工業(yè)綠色發(fā)展規(guī)劃》中提出的“推動綠色發(fā)展，促進人與自然和諧共生”的號召，推進產(chǎn)業(yè)結構高端化轉型，決定開始投入生產(chǎn)某新能源配件.該企業(yè)初步用甲?乙兩種工藝進行試產(chǎn)，為了解兩種工藝生產(chǎn)新能源配件的質量情況，從兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取了件進行質量檢測，得到下圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定質量等級包含合格和優(yōu)等兩個等級，綜合得分在的是合格品，得分在的是優(yōu)等品.(1)從這100件甲工藝所生產(chǎn)的新能源配件中按質量等級分層抽樣抽取5件，再從這5件中隨機抽取2件做進一步研究，求恰有1件質量等級為優(yōu)等品的概率；(2)根據(jù)頻率分布直方圖完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為新能源配件的質量等級與生產(chǎn)工藝有關？該企業(yè)計劃大規(guī)模生產(chǎn)這種新能源配件，若你是該企業(yè)的決策者，你會如何安排生產(chǎn)，為什么？合格品優(yōu)等品合計甲生產(chǎn)工藝乙生產(chǎn)工藝總計附：，其中.【答案】(1)(2)列聯(lián)表答案見解析，有的把握認為配件的質量和生產(chǎn)工藝有關，選擇甲工藝生產(chǎn)新能源配件，理由見解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出合格品?優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率，根據(jù)分層抽樣求出5個配件中，合格品和優(yōu)等品的件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式可求出結果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出合格品?優(yōu)等品的頻數(shù)，可得列聯(lián)表，利用公式，其中，求出，對照臨界值表可得有的把握認為配件的質量和生產(chǎn)工藝有關.根據(jù)優(yōu)等品率可作出決策.【詳解】（1）由甲工藝頻率分布直方圖可知，合格品?優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率分別為和，所以按分層抽樣抽取的5個配件中，有合格品2個?優(yōu)等品3個，所以從5個中隨機抽取2個，恰有1個質量等級為優(yōu)等品的概率為：.（2）甲生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的合格品有件，優(yōu)等品有件，乙生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的合格品有件，優(yōu)等品有件，所以列聯(lián)表為：合格品優(yōu)等品總計甲生產(chǎn)工藝4060100乙生產(chǎn)工藝5545100總計95105200所以由于，所以有的把握認為配件的質量和生產(chǎn)工藝有關.應該選擇甲工藝生產(chǎn)新能源配件，因為甲的優(yōu)等品率為，乙的優(yōu)等品率僅為.20．已知橢圓）的左、右焦點分別為，離心率為為橢圓上的一個動點.面積的最大值為2.(1)求橢圓的標準方程.(2)設斜率存在的直線與的另一個交點為，是否存在點，使得.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量關系求解即可；（2）設直線方程為：聯(lián)立直線與橢圓的方程，先討論時是否滿足，當時，根據(jù)直線斜率列式化簡求解即可.【詳解】（1）由題意，離心率，由當是的上頂點時，面積的最大，則，得.又，故橢圓的標準方程為（2）存在點，使得.由題知，設直線方程為：，聯(lián)立，得設，設的中點為，則是該方程的兩個根，，則，當時，由易得；當時，由知，則直線斜率，所以，得.所以，由于，則，綜上所述，故存在點，使得，且的取值范圍.【點睛】方法點睛：本題主要考查了橢圓的基本量關系，同時也考查了利用直線與圓錐曲線的關系，列式利用韋達定理表達所求式，從而化簡求解的問題.常用點坐標表達斜率、中點等，再代入韋達定理化簡求解.屬于難題.21．已知函數(shù)為常數(shù).(1)若，求的最小值；(2)在（1）的條件下，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由可求出，然后利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值；（2）將問題轉化為證成立，令，則只需證明，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最小值大于等于零即可.【詳解】（1）由題得，則，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.（2）證明：由（1）知：，所以要證即證，即證，即證，因為，所以即證，令，則只需證明，由（1）知，令，則在遞增，所以當時，取得最小值0，所以，即，所以原不等式成立.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關鍵是將問題轉化為，然后通過換元，構造函數(shù)，利用導數(shù)求其最值即可，考查數(shù)轉化思想和計算能力，屬于較難題.22．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程，并化為標準方程；(2)已知點的極坐標為與曲線交于兩點，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）變形為，結合，求出直角坐標方程，為圓，再化為標準方程；（2）求出點的直角坐標，將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，用的幾何意義求解.【詳解】（1）兩邊同乘以可得：，由可得：，即；（2）