條件概率 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

條件概率第七章隨機(jī)變量及其分布2024/4/29條件概率與全概率公式引

入在必修二《概率》一章的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道，對(duì)于同一試驗(yàn)中的兩個(gè)事件A與B，當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，事件A與B同時(shí)發(fā)生的概率有P(AB)=P(A)P(B).事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率事件A發(fā)生與否不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率當(dāng)事件A與B不相互獨(dú)立時(shí)()，如何表示事件A與B同時(shí)發(fā)生(即積事件AB)的概率呢？團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545問題1：某個(gè)班級(jí)有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如表所示.在班級(jí)里隨機(jī)選擇一個(gè)做代表.(1)選到男生的概率是多少？(2)如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多少？事件B：“選到男生”，n(B)=25記事件A：“選到團(tuán)員”，則n(A)=30，探究新知解：隨機(jī)選擇一人做代表，則樣本空間Ω包含45個(gè)等可能的樣本點(diǎn)。則n(Ω)=45團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545問題1：某個(gè)班級(jí)有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如表所示.在班級(jí)里隨機(jī)選擇一個(gè)做代表.(1)選到男生的概率是多少？(2)如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多少？事件B：“選到男生”，n(B)=25記事件A：“選到團(tuán)員”，則n(A)=30，探究新知解：隨機(jī)選擇一人做代表，則樣本空間Ω包含45個(gè)等可能的樣本點(diǎn)。則n(Ω)=45（2）“在選到團(tuán)員的條件下，選到男生“的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，此時(shí)相當(dāng)于以A為樣本空間來考慮事件B發(fā)生的概率，記為P(B|A)而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(AB)=16，根據(jù)古典概型知識(shí)可知，條件概率——壓縮了樣本空間問題2：假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭.隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，那么：(1)該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率又是多大？探究新知（1）根據(jù)古典概型知識(shí)可知，該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率為：用b表示男孩，g表示女孩，則兩個(gè)小孩的性別構(gòu)成的樣本空間Ω={bb,gg,bg,gb}，且所有樣本點(diǎn)是等可能的.事件A：“選擇的家庭中有女孩”，則A={gg,bg,gb}，事件B：“選擇的家庭中兩個(gè)小孩都是女孩”，則B={bb}.問題2：假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭.隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，那么：(1)該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率又是多大？探究新知（2）”在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個(gè)小孩都是女孩”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A).此時(shí)，A成為樣本空間，事件B就是積事件AB,根據(jù)古典概型知識(shí)可知：條件概率——壓縮了樣本空間用b表示男孩，g表示女孩，則兩個(gè)小孩的性別構(gòu)成的樣本空間Ω={bb,gg,bg,gb}，且所有樣本點(diǎn)是等可能的.事件A：“選擇的家庭中有女孩”，則A={gg,bg,gb}，事件B：“選擇的家庭中兩個(gè)小孩都是女孩”，則B={bb}.在上面兩個(gè)問題中，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率都是:

這個(gè)結(jié)論對(duì)于一般的古典概型仍然成立.∴在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率還可以通過

來計(jì)算.探究新知

事實(shí)上，如圖所示，若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間.此時(shí)，事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)與A包含的樣本點(diǎn)數(shù)的比值，即注：若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間；此時(shí)，事件B包含的樣本點(diǎn)數(shù)與事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)相同.條件概率：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.探究新知求P(B|A)：

探究新知

當(dāng)A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率等于B發(fā)生的概率，說明A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率，故事件A與B相互獨(dú)立.樣本空間不同

若事件A與B相互獨(dú)立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，則反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，則故事件A與B相互獨(dú)立.條件概率：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.探究新知求P(B|A)：

我們稱上式為概率的乘法公式例題講解

例1在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.求:(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率;(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

(1)“第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.從5道試題中每次不放回地隨機(jī)抽取2道，則

解：設(shè)A＝“第1次抽到代數(shù)題”，B＝“第2次抽到幾何題”.

(2)“在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題”的概率就是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.由于例題講解

例1在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.求:(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率;(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.因此，事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為解法2：(在縮小的樣本空間A上求P(B|A))

設(shè)A＝“第1次抽到代數(shù)題”，B＝“第2次抽到幾何題”.在第1次抽到代數(shù)題的條件下，還剩2道代數(shù)題和2道幾何題從例1可知，求條件概率有兩種方法：①是基于樣本空間Ω，先計(jì)算P(A)和P(AB)，再利用條件概率公式求P(B|A)；

②是根據(jù)條件概率的直觀意義,增加了“A發(fā)生”的條件后,樣本空間縮小為A,求P(B|A)就是以A為樣本空間計(jì)算AB的概率.

條件概率只是縮小了樣本空間,因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P(A)>0，則條件概率的性質(zhì)為：例題講解(2)若B和C互斥，則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)

析：記3張獎(jiǎng)券為n1，n2，z，其中z表示中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券；

記事件A,B,C分別表示甲、乙、丙中獎(jiǎng)；

樣本空間Ω={zn1n2，zn2n1，n1zn2，n2zn1，n1n2z，

n2n1z}A={zn1n2，zn2n1}B={n1zn2，n2zn1}C={n1n2z，

n2n1z}例題講解例2.已知3張獎(jiǎng)券中只有1張有獎(jiǎng)，甲、乙、丙3名同學(xué)依次不放回地各隨機(jī)抽取1張，他們中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？目標(biāo)：即研究3人中獎(jiǎng)的概率是否相等.例2.已知3張獎(jiǎng)券中只有1張有獎(jiǎng)，甲、乙、丙3名同學(xué)依次不放回地各隨機(jī)抽取1張，他們中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？目標(biāo)：即研究3人中獎(jiǎng)的概率是否相等.例題講解事實(shí)上，在抽獎(jiǎng)問題中，無論是放回隨機(jī)抽取還是不放回隨機(jī)抽取，中獎(jiǎng)的概率都與抽獎(jiǎng)的次序無關(guān).例3.已銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后1位數(shù)字.求：(1)任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率；(2)如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率.析：記事件Ai為“第i次按對(duì)密碼”，事件A為“不超過2次就按對(duì)”，(2)記事件B為“最后一位為偶數(shù)”，例題講解P48-1.設(shè)A?B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6.

根據(jù)事件包含關(guān)系的意義及條件概率的意義，直接寫出P(B|A)和P(A|B)的值，再由條件概率公式進(jìn)行驗(yàn)證.AB

事件A：產(chǎn)品為合格品；事件B：產(chǎn)品為一級(jí)品；BA課堂練習(xí)P48-3.袋子中有10個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)白球，3個(gè)黑球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.

求：(1)在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率；事件A事件B法1：第1次摸到白球的條件下，第2次有9個(gè)球可選，其中有6個(gè)白球，法2：課堂練習(xí)P48-3.袋子中有10個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)白球，3個(gè)黑球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.

求：(1)在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概