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廣東省深圳市龍文教育2024屆高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知x,y滿足不等式,且目標(biāo)函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則t的取值范圍()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]2.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.3.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.4.設(shè)點,P為曲線上動點,若點A,P間距離的最小值為,則實數(shù)t的值為()A. B. C. D.5.一個組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.6.若是定義域為的奇函數(shù),且,則A.的值域為 B.為周期函數(shù),且6為其一個周期C.的圖像關(guān)于對稱 D.函數(shù)的零點有無窮多個7.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有3個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)9.若點(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或10.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.11.已知,則“直線與直線垂直”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.函數(shù)與在上最多有n個交點,交點分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.10二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在如圖所示的三角形數(shù)陣中,用表示第行第個數(shù),已知,且當(dāng)時,每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和,即,若,則正整數(shù)的最小值為______.14.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大值為時,三棱錐的外接球的表面積為______.15.雙曲線的焦點坐標(biāo)是_______________,漸近線方程是_______________.16.記復(fù)數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為,已知z=2+i,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知動圓Q經(jīng)過定點,且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線?(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為,過點P作曲線C的切線,切點為A,若過點P的直線m與曲線C交于M,N兩點,則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.18.(12分)已知x∈R,設(shè),,記函數(shù).(1)求函數(shù)取最小值時x的取值范圍;(2)設(shè)△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,求△ABC的面積S的最大值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位,建立極坐標(biāo)系.(1)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為,若直線l與曲線C交于兩點A.B,求AB的長;(2)設(shè)M、N是曲線C上的兩點,若,求面積的最大值.20.(12分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:時間(小時)[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”?男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87921.(12分)已知函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時,求的零點;(2)當(dāng)時,證明:.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
作出可行域,對t進行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值,即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當(dāng)t≤2時,可行域即為如圖中的△OAM,此時目標(biāo)函數(shù)z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合題意t>2時可知目標(biāo)函數(shù)Z=9x+6y在的交點()處取得最大值,此時Z=t+16由題意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選:B.【點睛】此題考查線性規(guī)劃,根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,涉及分類討論思想,關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.2、A【解析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算,屬于中檔題.3、A【解析】
求出集合,然后進行并集的運算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
設(shè),求,作為的函數(shù),其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識求的最小值.【詳解】設(shè),則,記,,易知是增函數(shù),且的值域是,∴的唯一解,且時,,時,,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.5、C【解析】
根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.6、D【解析】
運用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點有無窮多個;因為,,令,則,即,所以的圖象關(guān)于對稱,由題意無法求出的值域,所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),主要是抽象函數(shù)的性質(zhì),運用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.7、D【解析】
討論,,三種情況,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時,,故,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且;當(dāng)時,;當(dāng)時,,,函數(shù)單調(diào)遞減;如圖所示畫出函數(shù)圖像,則,故.故選:.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.8、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.9、D【解析】
由題得,解方程即得k的值.【詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式,意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.10、A【解析】
由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運算.11、B【解析】
由兩直線垂直求得則或,再根據(jù)充要條件的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,“直線與直線垂直”則,解得或,所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件,故選B.【點睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系,及必要不充分條件的判定,其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值,同時熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
根據(jù)直線過定點,采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點個數(shù),然后利用對稱性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過定點且在是關(guān)于對稱如圖通過圖像可知:直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關(guān)于對稱所以故選:C【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點在于正確畫出圖像,同時掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2022【解析】
根據(jù)條件先求出數(shù)列的通項,利用累加法進行求解即可.【詳解】,,,下面求數(shù)列的通項,由題意知,,,,,,數(shù)列是遞增數(shù)列,且,的最小值為.故答案為:.【點睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用,結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,屬于難題.14、【解析】
根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示:過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時,,即.∴三點共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.15、【解析】
通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求解,,即可得到所求的結(jié)果.【詳解】由雙曲線,可得,,則,所以雙曲線的焦點坐標(biāo)是,漸近線方程為:.故答案為:;.【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了運算能力,屬于容易題.16、3﹣4i【解析】
計算得到z2=(2+i)2=3+4i,再計算得到答案.【詳解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,則.故答案為:3﹣4i.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算,共軛復(fù)數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),拋物線;(2)存在,.【解析】
(1)設(shè),易得,化簡即得;(2)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得,要使,只需.聯(lián)立直線m與拋物線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.【詳解】(1)設(shè),由題意,得,化簡得,所以動圓圓心Q的軌跡方程為,它是以F為焦點,以直線l為準(zhǔn)線的拋物線.(2)不妨設(shè).因為,所以,從而直線PA的斜率為,解得,即,又,所以軸.要使,只需.設(shè)直線m的方程為,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,設(shè),,則,..故存在直線m,使得,此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及拋物線中的存在性問題,考查學(xué)生的計算能力,是一道中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算,以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到f(x)=,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案;(2)先求出C的大小,再根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求出,根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】(1).令,k∈Z,即時,,取最小值,所以,所求的取值集合是;(2)由,得,因為,所以,所以,.在中,由余弦定理,得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以的面積,因此的面積的最大值為.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運算和二倍角公式,兩角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面積公式,屬于中檔題.19、(1);(2)1.【解析】
(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(2),,由(1)通過計算得到,即最大值為1.【詳解】(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為,即;再將,,代入上式,得,故曲線C的極坐標(biāo)方程為,顯然直線l與曲線C相交的兩點中,必有一個為原點O,不妨設(shè)O與A重合,即.(2)不妨設(shè),,則面積為當(dāng),即取時,.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,三角形面積的最值問題,是一道容易題.20、(1)男生人數(shù)為人,女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見解析,有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān).【解析】
(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表,先求出二聯(lián)表中數(shù)值,再結(jié)合公式計算,利用表格數(shù)據(jù)對比判斷即可【詳解】(1)因為男生人數(shù):女生人數(shù)=900:1100=9:11,所以男生人數(shù)為,女生人數(shù)100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每周平均體育鍛煉時間超過2小時的人數(shù)為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時間超過2小時的女生人數(shù)為37人,聯(lián)表如下:男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時
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