2018年遼寧省撫順市中考數(shù)學試卷版含解析

2018年遼寧省撫順市中考數(shù)學試卷（word版含解析）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的）

1.（3.00分）-芭的絕對值是（）

2

A.-2B.2.c.-2D.2

3322

【分析】直接利用絕對值的性質得出答案.

【解答】解：-3的絕對值是：3.

22

故選：D.

【點評】此題主要考查了絕對值，正確把握絕對值的性質是解題關鍵.

2.（3.00分）下列物體的左視圖是圓的是（）

足球

B.

水杯

C.

圣誕帽

D.

魚缸

【分析】左視圖是從物體左面看，所得到的圖形.

【解答】解：A、球的左視圖是圓形，故此選項符合題意；

B、水杯的左視圖是等腰梯形，故此選項不合題意；

C、圓錐的左視圖是等腰三角形，故此選項不合題意；

D、長方體的左視圖是矩形，故此選項不合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵.注意所有的看到的棱

都應表現(xiàn)在三視圖中.

3.(3.00分)下列運算正確的是()

2z：!:i62

A.2x+3y=5xyB.(x+3)=x+9C.(xy")=xyrD.x^-rx^x

【分析】根據(jù)同底數(shù)嘉的乘除法，完全平方公式，以及合并同類項的?法則解答

即可.

【解答】解：A、原式不能合并，錯誤；

B、(x+3)2=X2+6X+9,錯誤；

C、(xy2)3=x3y\正確;

D、xl0-j-x5=x5,錯誤;

故選：C.

【點評】此題考查了同底數(shù)幕的乘除法，完全平方公式，以及合并同類項，熟練

掌握公式及運算法則是解本題的關鍵.

4.（3.00分）二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A.x2lB.xWlC.x>1D.x<l

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得1-xNO,再解不等式即可.

【解答】解：由題意得：1-x20,

解得:xWl,

故選:B.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)是非負

數(shù).

5.（3.00分）撫順市中小學機器人科技大賽中，有7名學生參加決賽，他們決

賽的成績各不相同，其中一名參賽選手想知道自己能否進入前4名，他除了知道

自己成績外還要知道這7名學生成績的（）

A.中位數(shù)B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.方差

【分析】7人成績的中位數(shù)是第4名的成績.參賽選手要想知道自己是否能進入

前4名，只需要了解自己的成績以及，全部成績的中位數(shù)，比較即可.

【解答】解：由于總共有7個人，且他們的分數(shù)互不相同，第4的成績是中位數(shù),

要判斷是否進入前4名，故應知道中位數(shù)的多少.

故選：A.

【點評】此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差

的意義.

6.（3.00分）一次函數(shù)y=-x-2的圖象經(jīng)過（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三，四象限D.第二、三、四象限

【分析】根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b（k#0）中的k、b判定該函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限.

【解答】解：???-1<0,

...一次函數(shù)y=-x-2的圖象一定經(jīng)過第二、四象限；

又,：-2<0,

...一次函數(shù)y=-x-2的圖象與y軸交于負半軸，

...一次函數(shù)y=-x-2的圖象經(jīng)過第二、三、四象限；

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質.一次函數(shù)丫=1?+13的圖象有四種情況：

①當k>0,b>0,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，y的值隨x的值

增大而增大；

②當k>0,b<0,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y的值隨x的值

增大而增大；

③當kVO,b>0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，y的值隨x的

值增大而減?。?/p>

④當k<0,b<0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y的值隨x的

值增大而減小.

7.（3.00分）已知點A的坐標為（1,3）,點B的坐標為（2,1）.將線段AB

沿某一方向平移后，點A的對應點的坐標為（-2,1）.則點B的對應點的坐標

為（）

A.（5,3）B.（-1,-2）C.（-1,-1）D.（0,-1）

【分析】根據(jù)點A、點A的對應點的坐標確定出平移規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求解點

B的對應點的坐標即可.

【解答】VA（1,3）的對應點的坐標為（-2,1）,

平移規(guī)律為橫坐標減3,縱坐標減2,

?.?點B（2,1）的對應點的坐標為（-1,-1）.

故選：c.

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右

移加，左移減；縱坐標上移加，下移減，本題根據(jù)對應點的坐標確定出平移規(guī)律

是解題的關鍵.

8.（3.00分）如圖，AB是。0的直徑，CD是弦，ZBCD=30°,OA=2,則陰影部

分的面積是（）

A.2LB..2JLc.nD.2n

33

【分析】根據(jù)圓周角定理可以求得NBOD的度數(shù)，然后根據(jù)扇形面積公式即可解

答本題.

【解答】解：?.?/BCD=30°,

.,.ZB0D=60°,

???AB是。0的直徑，CD是弦，0A=2,

9

...陰影部分的面積是：60義兀X2=22L,

3603

故選:B.

【點評】本題考查扇形面積的計算、圓周角定理，解答本題的關鍵是明確題意，

找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答.

9.（3.00分）如圖，菱形ABCD的邊AD與x軸平行，A、B兩點的橫坐標分別為

1和3,反比例函數(shù)y=3的圖象經(jīng)過A、B兩點，則菱形ABCD的面積是（，）

X

A.472B.4C.2&D.2

【分析】作AHLBC交CB的延長線于H,根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出A的坐標、

點B的坐標，求出AH、BH,根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)菱形的面積公式計算即

可.

【解答】解：作AHLBC交CB的延長線于H,

?.?反比例函數(shù)y=^的圖象經(jīng)過A、B兩點，A、B兩點的橫坐標分別為1和3,

X

...A、B兩點的縱坐標分別為3和1,即點A的坐標為（1,3）,點B的坐標為（3,

1）,

/.AH=3-1=2,BH=3-1=2,

由勾股定理得，AB=^22+22=2V2?

???四邊形ABCD是菱形，

，BC=AB=2五，

二菱形ABCD的面積=BCXAH=4&,

故選：A.

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義、菱形的性質，根據(jù)反比

例函數(shù)解析式求出A的坐標、點B的坐標是解題的關鍵.

10.(3.00分)已知拋物線y=ax2+bx+c(0V2aWb)與x軸最多有一個交點.以

下四個結論：

①abc>0；

②該拋物線的對稱軸在x=-1的右側；

③關于x的方程ax2+bx+c+l=0無實數(shù)根；

④a+b+c

b

其中，正確結論的個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)拋物線的系數(shù)與圖象的關系即可求出答案.

【解答】解：①???拋物線y=ax2+bx+c(0<2aWb)與x軸最多有一個交點，

...拋物線與y軸交于正半軸，

.,.c>0,

abc>0.

故正確；

②?.,0<2a〈b,

2a

--L<-1,

2a

該拋物線的對稱軸在x=-1的左側.

故錯誤;

③由題意可知：對于任意的X,都有y=ax2+bx+c20,

ax，bx+c+l21>0,即該方程無解，

故正確；

④;拋物線尸ax，bx+c（0V2aWb）與x軸最多有一個交點，

:.當x=T時,y>0,

.,.a-b+c>0,

a+b+c22b,

Vb>0,

...a+b+c/2.

b

故正確.

綜上所述，正確的結論有3個.

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，解題的關鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖

象與系數(shù)的關系，本題屬于中等題型.

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3.00分）第十三屆全國人民代表大會政府工作報告中說到，五年來我國

國內生產(chǎn)總值已增加到萬元，將數(shù)據(jù)用科學計數(shù)法表示為8.27X10”.

【分析】科學計數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中1W|a|V10,n為整數(shù).確

定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點

移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，n

是負數(shù).

【解答］解:=8.27X109,

故答案為:8.27X109.

【點評】此題考查科學計數(shù)法的表示方法.科學計數(shù)法的表示形式為aX10”的

形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

12.(3.00分)分解因式：xy2-4x=x(y+2)(y-2).

【分析】原式提取x,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=x(y2-4)=x(y+2)(y-2),

故答案為：x(y+2)(y-2)

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法

是解本題的關鍵.

13.(3.00分)甲，乙兩名跳高運動員近期20次的跳高成績統(tǒng)計分析如下:

贏=L70m,—=l-70m,s小。.。。7,s>0.。。3,則兩名運動員中,乙的

成績更穩(wěn)定.

【分析】根據(jù)方差的性質，可得答案.

【解答】解:kL70m,-=1.70m,s/=0.007,s.M,003,

?X甲-X乙，S甲>s乙，

則兩名運動員中，乙的成績更穩(wěn)定，

故答案為：乙.

【點評】本題考查了方差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越

大，反之也成立.

14.(3.00分)一個不透明布袋里有3個紅球，4個白球和m個黃球，這些球除

顏色外其余都相同，若從中隨機摸出1個球是紅球的概率為上，則m的值為2.

3

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以計算出總的球的個數(shù)，從而可以求得m的值.

【解答】解：由題意可得，

m=3。-3-4=9-3-4=2,

3

故答案為:2.

【點評】本題考查概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的m的值.

15.（3.00分）將兩張三角形紙片如圖擺放，量得Nl+N2+N3+N4=220°,則

【分析】直接利用三角形內角和定理得出N6+N7的度數(shù)，進而得出答案.

【解答】解：如圖所示：Zl+Z2+Z6=180°,Z3+Z4+Z7=180°,

VZ1+Z2+Z3+Z4=22O°,

AZl+Z2+Z6+Z3+Z4+Z7=360°,

.,.Z6+Z7=140°,

.*.Z5=180o-(Z6+Z7)=40°.

故答案為：40°.

【點評】此題主要考查了三角形內角和定理，正確應用三角形內角和定理是解題

關鍵.

16.(3.00分)如圖，口ABCD中，AB=7,BC=3,連接AC,分別以點A和點C為

圓心，大于UC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M,N,作直線MN,交CD于點E,

2

連接AE,則4AED的周長是10.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可知AD=BC=3,CD=AB=7,再由垂直平分線的性

質得出AE=CE,據(jù)此可得出結論

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形,AB=7,BC=3,

.,.AD=BC=3,CD=AB=7.

?.?由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，

.\AE=CE,

.'.△ADE的周長=AD+(DE+AE)=AD+CD=3+7=10.

故答案為：10.

【點評】本題考查的是作圖-基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題

的關鍵.

17.(3.00分)如圖，AAOB三個頂點的坐標分別為A(8,0),0(0,0),B

(8,-6),點M為0B的中點.以點0為位似中心，把AAOB縮小為原來的L,

2

得到aA'O'B',點M'為O'B'的中點，則MM'的長為—至或

【分析】分兩種情形畫出圖形，即可解決問題；

【解答】解：如圖，在Rt^AOB中，0B=^62+82=10,

①當AA'OB'在第三象限時，MM'=1.

2

②當AA"0B"在第二象限時,MMZ=11,

2

故答案為反或11.

22

【點評】本題考查位似變換，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分

類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.

18.(3.00分)如圖，正方形AOBO?的頂點A的坐標為A(0,2),為正方形

AOBO?的中心；以正方形AOBO?的對角線AB為邊，在AB的右側作正方形ABCM”

0?為正方形AB0：A的中心；再以正方形AB0A的對角線A.B為邊，在A,B的右側

作正方形ABBQ,。3為正方形ABBQ,的中心；再以正方形ABB。的對角線AB

為邊在AB的右側作正方形ABO5A2，0,為正方形ABQ5A2的中心:…;按照此規(guī)

律繼續(xù)下去，則點0刈-的坐標為(210,0-2,21009).

【分析】由題意Qi(1,1),02(2,2),0：,(,4,2),04(,6,4),05(10,

n

4),06(14,8)…觀察可知，下標為偶數(shù)的點的縱坐標為2T,下標為偶數(shù)的

點在直線y=4+l上,點0刈8的縱坐標為2叫可得2儂=4+1,同側*=2皿°-2,

22

可得點0刈s的坐標為(21010-2,21009).

【解答】解：由題意Q,(1,1),02(2,2),03(,4,2),04(,6,4),

05(10,4),06(14,8)…

n

觀察可知，下標為偶數(shù)的點的縱坐標為2萬，

下標為偶數(shù)的點在直線y=Lx+l上，

2

點0刈8的縱坐標為2嗎

.-.2,009=1X+1,

2

.,.x=210l0-2,

...點。刈8的坐標為(2,010-2,21009).

故答案為(2*2,2?

【點評】本題考查規(guī)律型：點的坐標，一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是學會探究

規(guī)律的方法，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

三、解答題(第19題10分，第20題12分，共22分)

2

19.（10.00分）先化簡，再求值：（1-x+-J_）/+4x+4,其中x=tan45°

x+1x+1

+（1）

2

【分析】先根據(jù)分式混合運算順序和運算法則化簡原式，再根據(jù)三角函數(shù)值、負

整數(shù)指數(shù)愚得出x的值，最后代入計算可得.

【解答】解：原式=（上式+工）+&+2）2

x+1x+1x+1

二（2+x）（2-x）?x+1

x+1（2+x）2

2+x

當*521145°+(L)-'=1+2=3時,

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式的化簡求值的方

法.

20.（12.00分）撫順市某校想知道學生對“遙遠的赫圖阿拉”，“旗袍故里”

等家鄉(xiāng)旅游品牌的了解程度，隨機抽取了部分學生進行問卷調查，問卷有四個選

項（每位被調查的學生必選且只選一項）A.十分了解，B.了解較多，C.了解

較少，D.不知道.將調查的結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)兩幅

統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：

對家鄉(xiāng)旅游品牌了解程度扇形統(tǒng)計圖

（1）本次調查了多少名學生?

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）該校共有500名學生，請你估計“十分了解”的學生有多少名？

（4）在被調查“十分了解”的學生中有四名學生會干部，他們中有3名男生和

1名女生，學校想從這4人中任選兩人做家鄉(xiāng)旅游品牌宣傳員，請用列表或畫樹

狀圖法求出被選中的兩人恰好是一男一女的概率.

【分析】（1）根據(jù)B組人數(shù)以及百分比計算即可解決問題；

（2）求出C組人數(shù)，畫出條形圖即可解決問題；

（3）用500X“十分了解”所占的比例即可；

（4）先畫出樹狀圖，繼而根據(jù)概率公式可求出兩位參賽選手恰好是一男一女的

概率.

【解答】解：（1）154-30%=50（人），

答：本次調查了50名學生.

(2)50-10-15-5=10(人)，

（3）500X12.=100（人），

50

答：該校共有500名學生，請你估計“十分了解”的學生有100名.

（4）樹狀圖如下:

共有12種等可能情況，其中所選兩位參賽選手恰好是一男一女有6種.

所以，所選兩位參賽選手恰好是一男一女的概率P=-L=L.

122

【點評】本題考查了折線統(tǒng)計圖、樹狀圖法求概率的知識，信息量較大，注意仔

細認真審題，培養(yǎng)自己的讀圖能力，善于尋找解題需要的信息，屬于中考?？碱}

型.

四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）

21.（12.00分）如圖，BC是路邊坡角為30°,長為10米的一道斜坡，在坡頂

燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的

夾角NDAN和NDBN分別是37°和60°（圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一

平面內，CM〃AN）.

（1）求燈桿CD的高度；

（2）求AB的長度（結果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：73=1.73.sin37°心

060,cos37°-0.80,tan37°^0.75）

【分析】（1）延長DC交AN于H.只要證明BC=CD即可；

（2）在RtZ\BCH中，求出BH、CH,在RtZ\ADH中求出AH即可解決問題;

【解答】解：（1）延長DC交AN于H.

D

M

H

VZDBH=60°,ZDHB=90°,

/.ZBDH=30°,

VZCBH=30°,

：.ZCBD=ZBDC=30°,

.\BC=CD=10（米）.

（2）在RtZ^BCH中，CH=1BC=5,BH=5Js^8.65,

2

/.DH=15,

在Rt^ADH中，AH=—更_=15=20,

tan37°0.75

/.AB=AH-BH=20-8.65=11.4（米）.

【點評】本題考查解直角三角形的應用-坡度坡角問題，解題的關鍵是學會添加

常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

22.（12.00分）為落實“美麗撫順”的工作部署，市政府計劃對城區(qū)道路進行

.了改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成.已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率

的3倍，甲隊改造360米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用3天.

2

（1）甲、乙兩工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米？

（2）若甲隊工作一天需付費用7萬元，乙隊工作一天需付費用5萬元，如需改

造的道路全長1200米，改造總費用不超過145萬元，至少安排甲隊工作多少天？

【分析】（1）設乙工程隊每天能改造道路的長度為x米，則甲工程隊每天能改

造道路的長度為3x米，根據(jù)工作時間=工作總量+工作效率結合甲隊改造360

2

米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用3天，即可得出關于x的分式方程，解之

經(jīng)檢驗后即可得出結論；

（2）設安排甲隊工作m天，則安排乙隊工作1200-60m天,根據(jù)總費用=甲隊每

40

天所需費用義工作時間+乙隊每天所需費用X工作時間結合總費用不超過145萬

元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論.

【解答】解：（1）設乙工程隊每天能改造道路的長度為x米，則甲工程隊每天

能改造道路的長度為3x米，

2

根據(jù)題意得：儂-警3,

x-x

2

解得：x=40,

經(jīng)檢驗，x=40是原分式方程的解，且符合題意，

.,.2x=3.X40=60.

22

答：乙工程隊每天能改造道路的長度為40米，甲工程隊每天能改造道路的長度

為60米.

（2）設安排甲隊工作m天，則安排乙隊工作1200-60m天,

40

根據(jù)題意得：7m+5X空絲幽LW145,

40

解得:m^lO.

答：至少安排甲隊工作10天.

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是:

（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關系，正確列出

一元一次不等式.

五、解答驗（滿分12分）

23.（12.00分）如圖，RtZ\ABC中，ZABC=90°,以AB為直徑作。0,點D為

。。上一點，且CD=CB、連接DO并延長交CB的延長線于點E.

(1)判斷直線CD與。0的位置關系，并說明理由；

(2)若BE=4,DE=8,求AC的長.

【分析】(1)欲證明CD是切線，只要證明OD,CD,利用全等三角形的性質即

可證明；

(2)設。0的半徑為r.在RtAOBE中，根據(jù)OEJEB4OBM可得(8-r)2=r+42,

推出r=3,由tanNE=%型，推出苴=生，可得CD=BC=6,再利用勾股定理即

EBDE48

可解決問題；

【解答】(1)證明：連接0C.

VCB=CD,CO=CO,OB=OD,

/.△OCB^AOCD,

/.Z0DC=Z0BC=90°,

/.OD±DC,

；.DC是。。的切線.

(2)解：設。。的半徑為r.

在RtAOBE中,*/0E=EB2+0B2,

，(8-r)2=r2+42r,

r=3,

*/tanZE=^=^5l,

EBDE

.?.2=CD,

/.CD=BC=6,

在RtAABC中，AC=,JAB2+BC2=V62+6

【點評】本題考查直線與圓的位置關系、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)

等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

六、解答題(滿分12分)

24.(12.00分)俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀念冊，每本

進價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且獲利不高于30%.試銷售期間發(fā)現(xiàn)，

當銷售單價定為44元時，每天可售出300本，銷售單價每上漲1元，每天銷售

量減少10本，現(xiàn)商店決定提價銷售.設每天銷售量為y本，銷售單價為x元.

(1)請直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式和自變量x的取值范圍；

(2)當每本足球紀念冊銷售單價是多少元時，商店每天獲利2400元？

(3)將足球紀念冊銷售單價定為多少元時，商店每天銷售紀念冊獲得的利潤w

元最大？最大利潤是多少元？

【分析】(1)售單價每上漲1元，每天銷售量減少10本，則售單價每上漲(x

-44)元，每天銷售量減少10(x-44)本，所以y=300-10(x-44),然后利

用銷售單價不低于44元，且獲利不高于30%確定x的范圍；

(2)利用每本的利潤乘以銷售量得到總利潤得到(x-40)(-10x+740)=2400,

然后解方程后利用x的范圍確定銷售單價；

(3)利用利用每本的利潤乘以銷售量得到總利潤得到w=(x-40)(-lOx+740),

再把它變形為頂點式，然后利用二次函數(shù)的性質得到x=52時w最大，從而計算

出x=52時對應的w的值即可.

【解答】解：(1)y=300-10(x-44),

即y=-10x+740(44<xW52)；

(2)根據(jù)題意得(x-40)(-lOx+740)=2400,

解得修=50,X2=64(舍去)，

答：當每本足球紀念冊銷售單價是50元時，商店每天獲利2400元；

(3)w=(x-40)(-lOx+740)

=-10X2+1140X-29600

=-10(x-57)2+2890,

當xV57時，w隨x的增大而增大，

而44WxW52,

所以當x=52時，w有最大值，最大值為-10(52-57)2+2890=2640,

答：將足球紀念冊銷售單價定為52元時，商店每天銷售紀念冊獲得的利潤w元

最大，最大利潤是2640元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用：利用二次函數(shù)解決利潤問題，解此類題

的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后利用二次函數(shù)的性質確定其

最大值；在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.也考查了一

元二次方程的應用.

七、解答題(滿分12分)

25.(12.00分)如圖，ZSABC中，AB=BC,BD_LAC于點D,ZFAC=±ZABC,且

2

NFAC在AC下方.點P,Q分別是射線BD,射線AF上的動點，且點P不與點B

重合，點Q不與點A重合，連接CQ,過點P作PELCQ于點E,連接DE.

B

（1）若NABC=60°,BP=AQ.

①如圖1,當點P在線段BD上運動時，請直接寫出線段DE和線段AQ的數(shù)量關

系和位置關系；

②如圖2,當點P運動到線段BD的延長線上時，試判斷①中的結論是否成立，

并說明理由；

（2）若NABC=2a#60°,請直接寫出當線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關系時,

能使（1）中①的結論仍然成立（用含a的三角函數(shù)表示）.

【分析】（1）①先判斷出aABC是等邊三角形，進而判斷出NCBP=NCAQ,即可

判斷出ABPC之△AQC,再判斷出APCQ是等邊三角形，進而得出CE=QE,即可得

出結論；

②同①的方法即可得出結論；

（2）先判斷出，ZPAQ=90°-ZACQ,ZBAP=90°-ZACQ,進而得出NBCP=N

ACQ,即可判斷出進而判斷出△BPCS^AQC,最后用銳角三角函數(shù)即可得出結論.

【解答】解：（1）①DE=L\Q,DE〃AQ,

2

理由：連接PC,PQ,

在aABC中，AB=AC,ZABC=60°,

.'.△ABC是等邊三角形，

/.ZACB=60°,AC=BC,

VAB=BC,BD1AC,

/.AD=CD,ZABD=ZCBD=±ZBAC,

2

,/ZCAF=1ZABC,

2

/.ZCBP=ZCAQ,

<BC=AC

在aBPC和4AQC中，NCBP=/CAQ，

BP=AQ

.".△BPC^AAQC(SAS),

，PC=QC,ZBPC=ZACQ,

，ZPCQ=ZPCA+ZAQC=ZPCA+ZBCP=ZACB=600,

.,.△PCQ是等邊三角形，

VPE±CQ,

/.CE=QE,

VAD=CD,

.*.DE=1AQ,DE〃AQ；

2

②DE〃AQ,DE=LQ,

2

理由：如圖2,連接PQ,PC,

同①的方法得出DE〃AQ,DE=1AQ；

2

(2)AQ=2BP?sina

理由：連接PQ,PC,

要使DE=LQ,DE〃AQ,

2

VAD=CD,

/.CE=QE,

VPE1CQ,

；.PQ=PC,

易知,PA=PC,

.\PA=PE=PC

以點P為圓心，PA為半徑的圓必過A,Q,C,

/.ZAPQ=2ZACQ,

VPA=PQ,

AZPAQ=ZPQA=1(180°-ZAPQ)=90°-ZACQ,

2

VZCAF=ZABD,ZABD+ZBAD=90°,

/.ZBAQ=90°,

/.ZBAP=90°-ZPAQ=90°-ZACQ,

易知，ZBCP=ZBAP,

/.ZBCP=ZACQ,

VZCBP=ZCAQ,

/.△BPC^AAQC,

；iBP_BC=BC：

"AQ=AC而，

在RtaBCD中，sina=CD,

BC

/.-^-=9X