2016屆高三數學（理）33個黃金考點總動員考點13三角函數的圖像和性質解析版含解析

2016屆高三數學33個黃金考點總動員

考點13三角函數的圖像和性質(理)

【考點剖析】

1.最新考試說明：

(D考查三角函數的值域與最值

(2)考查三角函數的單調性

(3)利用三角函數的值域和單調性求參數的值

2.命題方向預測：

(1)三角函數的最值以及三角函數的單調性是歷年高考的重要考點.

(2)利用三角函數的單調性求最值、利用單調性求參數是重點也是難點.

(3)題型不限，選擇題、填空題、解答題都有可能出現，常與多個知識點交匯命題.

3.課本結論總結：

(1)由y=sinx的圖象變換到y(tǒng)=4sin的圖象，有兩種變換方式：①先相位變換再周期變換(伸

縮變換)：；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是I4號>I(3>。)個單位.原因在于相位變換和

周期變換都是針對X而言，即X本身加減多少值，而不是依賴于3X加減多少值.

(2)y=sinx的性質：①定義域為R,值域為［-1,1］；②是周期函數，最小正周期為2萬；

7T7T7TJ7T

③在——+—+2,k/r(kcZ)單調遞增，在—4-4-2k/r(&wZ)單調遞減；

TTTT

④當x=3+2k肛kEZ時,ymax=1；當工=一萬+2%肛4EZ時，ymin=-1；

⑤其對稱軸方程為x=y+版■伏eZ),對稱中心坐標為心肛0),keZ.

(3)y=cosx的性質：①定義域為R,值域為［—1,1］；②是周期函數，最小正周期為27；③在

［一萬+2k肛2左萬］(AeZ)單調遞增，在［2人耳%+247］(女eZ)單調遞減；④當x=2%左,女€Z時，

>max=l；當x=zr+2女乃，女eZ時，ymin=-1；⑤其對稱軸方程為x=人萬伙eZ),對稱中心坐標為

(4乃+、,0),AeZ.

(4)y=tanx的性質：①定義域為(x|xR、+%肛kez1,值域為R；②是周期函數，最小正周期為

萬；③在（―1+左肛'+左7}%eZ）單調遞增；④其對稱中心坐標為

4.名師二級結論：

（1）由，片sinx的圖象變換到y(tǒng)=4sin（。入+0）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸

縮變換），平移的量是個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是一乙（3＞0）個單

（JL）

位.原因在于相位變換和周期變換都是針對X而言，即X本身加減多少值，而不是依賴于。*加減多少值.

M'—rjjIII

（2）在由圖象求三角函數解析式時，若最大值為也最小值為小，則/=一丁，k=F~,3由周期7確定，

9JI

即由一=7求出，。由特殊點確定.

CO

（3）作正弦型函數y=4sin（0）的圖象時應注意：

①首先要確定函數的定義域；

②對于具有周期性的函數，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據周期性作出整個

函數的圖象.

（4）求三角函數值域（最值）的方法：

①利用sinx、cosx的有界性；

②形式復雜的函數應化為y=Asin（m+°）+k的形式逐步分析姐的范圍，根據正弦函數單調性寫出

函數的值域；

③換元法：把sinx或cosx看作一個整體，可化為求函數在區(qū)間上的值域（最值）問題.

5.y=Asin（5+e）、y=Acos（s+*）、y=Atan（5+°）的性質：

①周期性

函數y=4sin（Qx+0）和尸/cos（ox+。）的最小正周期為y=tan（。）的最小正周期為丁一.

I3II3|

②奇偶性

三角函數中奇函數?般可化為y=/sin3才或尸戊anax,而偶函數一般可化為尸/fcos3彳+。的形式.

③研究函數的單調性、最值、對稱性等問題，要注意整體意識，即將以+夕看作一個整體.

5.課本經典習題：

⑴新課標A版第147頁，第A9題（例題）已知y=（sinx+cosx）2+2cos2x.

①求它的遞減區(qū)間；②求它的最大值和最小值.

【解析】y=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+2sinxcosx+1+cos2x=2+sin2x+cos2x

=V2sin(2x+7)+2

rrTT37r7c57r

①令一+2女乃＜2工+乙＜—+2k兀，解得。+k兀+k兀,即函數的單調區(qū)間為

24288

—Fkjr.---卜k,7C(kGZ);

_88J

②由題意得，ymax=V2+2,ymjn=-V2+2.

【經典理由】綜合考查三角恒等變換與三角函數的圖像與性質

(2)新課標A版第147頁，第A10題(例題)已知函數/(x)=cos4x-2sinxcosx-sin。.

TT

①求/(X)的最小正周期；②當XG0,1時，求/(X)的最小值以及取得最小值時X的集合.

【解析】/(x)=cos4X—2sinxcosx-sin'x=cos*x-sin*x-sin2x=cos2x-sin2x

=0cos(2x+j).

2冗

①T=--=^；

?,/xe0=二亍，則一14cos(2x+1)4即/(x)-=-0,此時,2X+^=.T,

即x=W,即取得最小值時x的集合為一濘｝.

8.8J

【經典理由】綜合考查三角恒等變換與三角函數的圖像與性質

6.考點交匯展示：

(1)與定積分的交匯

In

【2014高考湖南卷第9題】已知函數/(x)=sin(x-夕),且『/(x)dx=0,則函數/(x)的圖象的條對稱

軸是()

5萬「77r「冗c7i

AA.x=—B.x=—C.x=—D.x=—

61236

【答案】A

jrrr

【解析】函數/(X)的對稱軸為工一9=萬+占"=>X=(p+-^+k[7T,

所以---(p—k?7i=>(p-----k27c，即對稱軸x=(p?----卜尤乃=------右兀+k^7r(￡N)

3326

貝ijx=衛(wèi)5萬是其中一條對稱軸，故選A.

6

【考點定位】三角函數圖像輔助角公式定積分

(2)與平面向量的交匯

【2014高考山東卷第16題】已知向量。=(cos2x),B=(sin2x,〃)，設函數/*)=〃/,且y=/(x)

的圖象過點(―,VJ)和點(-^—,—2).

(I)求團,〃的值；

(II)將y=/(x)的圖象向左平移w(0<°<〃)個單位后得到函數y=g(x)的圖象,若y=g(x)的圖

象上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1,求〉=8(］)的單調增區(qū)間.

［答案］(I)m=V3,n=l.

TT

(n)函數y=g(x)的單調遞增區(qū)間為伏》—乙,女幻,％eZ.

【解析】

試題分析:(1)由題意知/'(x)=a?3=??sin2x+〃cos2x.

廠7T71

=，%sin—+12cos二

根據的圖象過點《我和浮「得到，66

y=f(x)2),9

4九*4iT

-2=???sin—+?7cos—

a

解得m=JJ：刀=1.

(2)由(1)知：/(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+-).

6

由題意知：g(x)=/(x+9)=2sin(2K+2°+二)，

6

依題意知到點(0,3)的距離為1的最高點為(0二).

將其代入I'=g(x)得sin(2。+—)=1?

6

可得0二二，得到g(x)=2sin(2x+f=2cos2x,

62

由2k兀一冗W2x￡2k樂kwZ,得

冗

k:r-^<x<k兀:keZ>

TT

得到y(tǒng)=g(x)的單調遞增區(qū)間為伏乃幻?eZ.

試題解析:(1)由題意知：/(x)=a^=msin2x+ncos2x.

/(x)的圖象過嗚，回和苧-2)

因為y=

區(qū).兀71

73=msin—+zicos—

所以《66

_.4%4/r

-2=msin——+ncos——

33

即《

解得m==

(2)由(1)知：/(x)=>/3sin2x+cos2x=2sin(2x+-).

6

由題意知：g(x)=f(x+0)=2sin(2x+2?+：)，

6

設j=g(x)的圖象上符合題意的最高點為(毛：2),

由題意知：￡+1=1,所以毛=0,

即到點(0J)的距離為1的最高點為(0J).

將其代入J=g(x)得sin(20+;)=1,

6

因為0v@<；T,所以9=］，

因此g(x)=2sin(2x+-^)=2cos2x>

由1k冗一冗W2xW2k兀:kwZ,得

冗

k冗一^<x<k7T,keZ9

7T

所以，函數y=g(x)的單調遞噌區(qū)間為枕;r-9次幻狀eZ.

考點：平面向量的數量積，三角函數的化簡，三角函數的圖象和性質

(3)與解三角形的交匯

【2015高考湖南，理17】設AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA,且8為鈍

角.

71

(1)證明：B-A=~；

2

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

J?9

【答案】(1)詳見解析；(2)(注,3.

28

【解析】

試題分析：(1)利用正弦定理，將條件中的式子等價變形為sinB=sin(；+H),再結合條件從而得證；(2)

利用(1)中的結論，以及三角恒等變形，將sinX+sinC轉化為只與，有關的表達式，再利用三角函數的

性質即可求解.

試題解析：(1)由a=btanH及正弦定理，得""'=—=sin5=cosA>即sin3=sin(—+J),

cos^4bsin52

父5為鈍角，因此三十Xe(j：笈)，故3=<+乂，即3—4=7；(2)由U)知，C=；T—(X+B)

；r-(2a+m)=不一24>0,Je(0:-),于是sinJ+sinC=sin^-l+sin(--2-4)

■/一

1QTJ5

=sinA+cos2J=-2sin*^4+sin^44-1=-2(sin^4—)*+—,<0<Xv二，0<sinA<—,因此

*<-2(sin由此可知sinX+sinC的取值范圍是

248828

【考點定位】1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數的性質.

【名師點睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識點，屬于中檔題，高考解答

題對三角三角函數的考查主要以三角恒等變形，三角函數的圖象和性質，利用正余弦定理解三角形為主，

難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數求值問題中，?般運用恒等變換，將未

知角變換為一知角求解，在研究三角函數的圖象和性質問題時，一般先運用三角恒等變形，將表達式轉化

為一個角的三角函數的形式求解，對于三角函數與解三角形相結合的題目，要注意通過正余弦定理以及面

積公式實現邊角互化，求出相關的邊和角的大小.

【考點分類】

熱點一三角函數的圖像

1.12015高考山東，理3】要得到函數y=sin4x—(的圖象，只需要將函數〉=5吊4》的圖象()

7T7T

(A)向左平移一個單位(B)向右平移一個單位

1212

(C)向左平移27T個單位(D)向右平移勺7T個單位

33

【答案】B

【解析】因為尸sin4xg；=sin4x—J；，所以要得到函數］?=sin七一??；的圖冢，只需將函

7T

數i：=sin4x的圖象向右平移二個單位.故選3.

12

【考點定位】三角函數的圖象變換.

【名師點睛】本題考查了三角函數的圖象，重點考查學生對三角函數圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正

確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學生對所學知識理解的深度.

2.【2015高考四川，理41下列函數中，最小正周期為且圖象關于原點對稱的函數是()

JI

(A)y=cos(2x+—)(B)y=sin(2x+y)(C)y=sin2x+cos2x(￡>)y=sinx+cosx

【答案】A

277

【解析】對于選項A,因為y=—sin2x,T=m=乃，且圖象關于原點對稱，故選A.

【考點定位】三角函數的性質.

【名師點睛】本題不是直接據條件求結果，而是從4個選項中找出符合條件的一項，故一般是逐項檢驗，

但這類題常?？刹捎门懦?很明顯，C、D選項中的函數既不是奇函數也不是偶函數，而B選項中的函數

是偶函數，故均可排除，所以選A.

3.12014全國1高考理第6題】如圖，圖0的半徑為1,A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為

射線0A,終邊為射線0P,過點P作直線0A的垂線，垂足為M,將點M到直線0P的距離表示成x的函數/(x),

則>=/(x)在［0,4］的圖像大致為(

【答案】C

【解析】

試題分析：如圖所不，當OWx4—時，在中，Q1/=。產cosx=cosx.在KrAOJ/D中，JO=

jr

OMsinx=cosxsinx=-sin2x；當;vx?；r時，在KzAORl/中，OM=OPcos(^-x)=-cosx,

在火f'Ql/Z)中，MD=OMsin(,T-x)=-cosxsinx=--^sin2x,所以當OWXWTT時，］=f(x)的圖

冢大致為C.

【考點定位】1.解直角三角形；2、三角函數的圖象.

4.[2015高考湖北，理17]某同學用“五點法”畫函數/(x)=4sin(s+0)(°>0,|夕|<,在某一個周期內的

圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：

兀3兀

cox^cp0n2兀

22

兀5兀

X

36

Asin?x+(p)05-50

(I)請將上表數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數/(幻的解

析式；

(II)將y=圖象上所有點向左平行移動，(。>0)個單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖

象若y=g(x)圖象的一個對稱中心為(募，0),求。的最小值.

【答案】(I)/(x)=5sin(2x--)(II)

6;6

【解析】(I)根據表中已知數據，解得.4=5,0=2,。=-1數據補全如下表:

0

兀3兀

0冗27

KK7兀5%13

X一兀

12312~612

月sin(0X*o)050—50

且函數表達式為/(X)=5sin(2x-4)

TE7T

(II)由(I)知/(x)=5sin(2x—),得g(x)=5sin(2x+2?！?.

66

因為丁=sinx的對稱中心為(譏0),ke1

令2*-2夕4㈤解得x哼后31

由于函數J=g(x)的圖冢關于點0)成中心對稱，令今

解得""_事kwZ.由”0可知，當彳=1時，，取得最，卜值之

236

【考點定位】“五點法”畫函數〃x)=Asin?x+夕)(。＞0,⑷〈,在某一個周期內的圖象，?:角函數的平移

變換，三角函數的性質.

【名師點睛】“五點法”描圖：

(l)y=sinx的圖象在血2汨上的五個關鍵點的坐標為：(0,0),(y,l),(n,0),-1),(2兀，0).

Jr37r

(2)y=cosx的圖象在［0,2兀］上的五個關鍵點的坐標為：(0,1),(―,0),(兀，—1),(——,0),(2n,1).

【方法規(guī)律】

1.用“五點法”作圖應抓住四條：①將原函數化為＞=45足(皿+0)(4＞0,。＞0)或

9JI

y=Acos(m+°)(A〉0,cy＞0)的形式；②求出周期7=二??；③求出振幅4④列出一個周期內的五個特

殊點，當畫出某指定區(qū)間上的圖象時，應列出該區(qū)間內的特殊點.

TT

2.y=Asin(3+0)的圖象有無窮多條對稱軸，可由方程加+尹=人乃+萬伏eZ)解出；它還有無窮多個

對稱中心，它們是圖象與X軸的交點，可由01+9=人乃(AwZ),解得x=-L(〃ez),即其對稱中心

為dk——n—(b0)acz).

CL)

3.相鄰兩對稱軸間的距離為T，相鄰兩對稱中心間的距離也為*

【解題技巧】根據y=Asm(cox+(p)+k(A＞0,。〉0)的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考

慮：

最高占一最低點

(1)4的確定：根據圖象的最高點和最低點，即/二＞巴…2取隊”；

(2)4的確定：根據圖象的最高點和最低點，即“=最仙-點';最低點;

(3)。的確定：結合圖象，先求出周期T,然后由7=空(。＞0)來確定3；

CL)

（4）。的確定：法一：代入圖像的最高點坐標（x”x）或最低點坐標（々，當），則如i+e=；TT+2A7T（kwZ）

、3萬、

或如？+9=5+2攵%（攵GZ）,求。值.

,（I）（I）

法二：由函數y=4sin（"+O）+4最開始與x軸的交點的橫坐標為一一（即令3葉。=0,x=——）確定

（jJ（JL）

如：將函數〃x）=sx（其中。>0）的圖象向右平移3個單位長度，所得圖象關于x=I對稱，則。的

2o

最小值是

46B.&C?D.4

344

【答案】D

【解析】試題分析：將f（x）=5M3x的圖冢向左平移二個單位，所得圖象關于尸說明原圖家關于x

26

=一二"對稱，于是f{―――）=-）=±1>故「"二=k兀+二（依上,w=3j-+—（JJ-G2）,由

333324

于M>0,故當片0時取得最小值2.選。

4

【考點】三角函數的圖象與性質

【易錯點睛】研究三角函數圖像的變換時，要注意由？=45淪加（4〉0,。〉0）的圖像變換成

y=Asin（（vx+^）（A>0,（y>0）的圖像的變換過程：y=Asin（tax+^）=Asin［（y（x+—）］（A>0,?！?）的

CD

\（p\

圖像由曠=45出姓（4〉0,啰〉0）的圖像向左（e>0）或向右（°<0）平移吧個單位長度.

CD

如：【2014浙江高考第4題】為了得到函數y=sin3x+cos3x的圖像，可以將函數y=JIsin3x的圖像

()

A.向右平移27F個單位B.向左平移2n個單位

44

C.向右平移二7T個單位D.向左平移上7T個單位

1212

【答案】D

【解析】y=sin3x+cos3x=J^sin（3x+?）故只需將y=&sin3x向左平移氣個單位.

4

考點：三角函數化簡、圖像平移.

熱點二三角函數的最值

1.12015高考安徽，理10】已知函數〃x)=AsinWx+°)(A,口,尹均為正的常數)的最小正周期

27r

為萬，當X=1-時，函數/(X)取得最小值，則下列結論正確的是()

(A)/(2)</(-2)</(0)(B)/(O)</(2)</(-2)

(C)/(-2)</(0)</(2)(D)/(2)</(0)</(-2)

【答案】A

27T2b

【解析】由題意,/(X)=Asiniax+0：l(J>0,ey>0,<p>0)?T=---=—=719所以。:，則

⑷d)

/('x')=Asin(2x+(:?).而當x=W時，2x二^+°=3+2%T慶cZ,解得夕=：+2k兀2cZ.

3326

所以〃x)=Asin2x+/a>0)，則當2x+?=:+”，即x.+Ax-Z時,/d)即得最大

值要比較)的大小，只需判斷2：-20與最近的最高點處對稱軸的距離大小，距離越大,

值越小，易知0,2與工比較近，—2與一”比較近，所以，當左=0時，x=~,此時|0-￥H0.52,

6666

rr《7《7

|2--|=1.47,當k=T時，x=--,此時一2-(一=)=0.6,所以/(2)v〃-2)</(0),故選A.

666

【考點定位】1.三角函數的圖象與應用；2.函數值的大小比較.

【名師點睛】對于三角函數中比較大小的問題，一般的步驟是：第一步，根據題中所給的條件寫出三角函

數解析式，如本題通過周期判斷出口，通過最值判斷出夕，從而得出三角函數解析式；第二步，需要比較

大小的函數值代入解析式或者通過函數圖象進行判斷，本題中代入函數值計算不太方便，故可以根據函數

圖象的特征進行判斷即可.

2.【2015高考陜西，理3】如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數

TT

y=3sin(—x+°)+k,據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為()

6

A.5B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】由圖象知：ymin=2,因為Vmin=-3+左，所以-3+欠=2,解得：k=5,所以這段時間水深的

最大值是=3+左=3+5=8,故選C.

【考點定位】三角函數的圖象與性質.

【名師點晴】本題主要考查的是三角函數的圖象與性質，屬于容易題.解題時一定要抓住市:要字眼“最大

值”，否則很容易出現錯誤.解三角函數求最值的試題時:我們經常使用的是整體法.本題從圖象中可知

sin(菅x+°)=-l時，y取得最小值，進而求出左的值，當sin[^x+e]=l時，y取得最大值.

3.12014全國2高考理第14題】函數/(x)=sin(x+28)-2sin°cos(x+o)的最大值為.

【答案】1

【解析】由題意知：f(x)=sin(x+2(p)-2sin<pcos(x+(3)=sin[^+(x+<p)]-2sin0cos(x+0)

=sincos(x+^>)+cossinIx+(p)-2sincosIx+<p]-cossin(x+^?)-sin^?cos(x+(p)

=sin[(x+<p)-<?]=sinx,即/(x)=sinx,因為xe&,所以f(x)的最大值為1.

【考點】本小題主要考查兩角和與差的三角函數、三角函數的最值的求解，熟練公式是解答好本類題目的

關鍵.

7T7T

4.12014高考江西理第16題】一知函數/(元)=5m(1+6)+485(1+2。)，其中QE/?超￡(一于5)

(1)當。=啦,。=巳時，求/(x)在區(qū)間[0,加上的最大值與最小值；

4

7T

⑵若/勺)=0,/(萬)=1,求4,9的值.

歷"=T

【答案】(1)最大值為注，最小值為T.(2)%.

20——

6

【解析】

試題分析：(1)求三角函數最值，首先將其化為基本三角函數形式：當。=&g=2時，

4

/(%)=sin(x+?)+后cos(x+y)=*sinx+Y^cosx-V2sinx=sing-x),再結合基本三角函數性質求最

值：因為x€[0/],從而f-xe[-苧,￡],故/(X)在[0,句上的最大值為正，最小值為-L(2)兩個獨立

4442

f(-)=0Icos0(\-2asin^)=0冗4

條件求兩個未知數，聯(lián)立方程組求解即可.山12，得2asin；e-sin9-a=l'乂夕《瑪苧知

.fw=11osinsina-

a=-\

cos”0,解得工乃.

u=---

6

試題解析：解(1)當a==；時，

fx()=sin(x--V5cos(x-y)=^inx-〈cos工-V2sinx=sin(^--x)

因為xe［0用，從而：丁_、4一3丁T片JT］

444

故/(X)在［0,T］上的最大值為《，最小值為-1.

I=-1

/(￡)=0/B.cos^(l-2asin^)=0

(2)由,:又dw(一W)知cost?=0,解得'；K

九二._1仲'26tsin^-sin^-a=l

jm=1?I6

考點：三角函數性質

(方法規(guī)律】求解涉及三角函數的值域(最值)的題目一般常用以下方法：

(1)利用sinx、cosx的有界性;

(2)形式復雜的函數應化為尸4sin(ox+0)+4的形式逐步分析。x+0的范圍，根據正弦函數單調性寫

出函數的值域：

(3)換元法：把sinx或cosx看作一個整體，可化為求函數在區(qū)間上的值域(最值)問題.

【解題技巧】求三角函數的最值問題，最主要的題型是：通過三角恒等變形將所給解析式化為

y=Asin?x+勿)+k(A>0,切>0)的形式，再進行求解.

①當xeH時，ymax=A+k,ymin=-A+k-,

②當xe[a㈤時.，則先求m+e的范圍，再利用正弦函數y=sinf的圖像寫出函數y=sin(m+°)的最值,

再進一步求解.

如：【2014全國2高考理第14題】函數/(x)=sin(x+2e)-2sin9cos(x+9)的最大值為..

【答案】1

【解析】由題意知：f(x)=sin(x+2夕)-2sin°cos(x+0)=sin[°+(x+夕)]-2sin0cos(x+(p)

=sin9cos(x+0)+cos夕sin(x+°)—2sin^>cos(x+^)=cos^sin(x+^)-sinQcos(x+°)

sin[(x+(p)-(p]^sinx,即/(x)=sinx,因為xeR，所以/(x)的最大值為1.

【考點】本小題主要考查兩角和與差的三角函數、三角函數的最值的求解，熟練公式是解答好本類題目的

關鍵.

【易錯點睛】在求函數的最值時，一般思路通過三角恒等變換化成y=Asin(雙+0)+%的形式，但不要忽

視變形中的等價性，如定義域的變化.

如：【河南省安陽一中2015屆高三第一次月考6】函數》=出匚*土的值域是()

COSX

A.[-4,0]B.[-4,4)C.[-4,0)D.(-4,0]

【答案】D

【解析】

jr工

試題分析：先由cosxx0=XHz)得函數的定義域為｛xc出x=再由

I=cos三:一c°sX化簡得I，=Tsin：X,由于XH%r+2.(kez)所以04sin?x<1,從而

cosx2

-4<-4sin:x<0,BP-4<y<0,故選D.

考點：三角函數的值域.

熱點三三角函數的性質

1.12015高考新課標1,理8】函數/(x)=cos(3x+°)的部分圖像如圖所示，則/(x)的單調遞減區(qū)間為

()

1313

(A)(攵4——,k兀+—),keZ(B)(2ZTT—2k4H—),kGZ

4444

keZ

【答案】D

171

—co+(p=—

A7TTTT

【解析】由五點作圖知，■,解得0?=萬，(p=—,所以/(x)=cos(乃x+—),令

53萬44

—G)+(P=-----

142

2人%<%x+工<2k乃+肛AeZ,解得2k—上vx<2人+±,《wZ,故單調減區(qū)間為(2k——,2k+~),

44444

k&Z,故選D.

【考點定位】三角函數圖像與性質

【名師點睛】本題考查函數y=Acos(?yx+e)的圖像與性質，先利用五點作圖法列出關于以夕方程，求

出59,或利用利用圖像先求出周期，用周期公式求出?,利用特殊點求出夕，再利用復合函數單調性

求其單調遞減區(qū)間，是中檔題，正確求。，夕使解題的關鍵.

2.12015高考湖南，理9】將函數/(x)=sin2x的圖像向右平移以0<9<9個單位后得到函數g(x)的

圖像，若對滿足|/(X])—g(X2)|=2的X],X2,有ki-々Imin=9，則夕=()

57r_7t?7t7t

A.—B.—C.—D.一

12346

【答案】D.

【解析】

試題分析：向右平移夕個單位后，得至(Ig(x)=sin(2x-2(?),又『(xJ-gCq)1=2,...不妨

—丁一三

23=；+2左笈，2七一2夕=一;"+2也；r,???演一七=：一夕+(左一次)；1,又丁|毛一工4心=工，

jrjr7T

--0=二=夕=二，故選D.

236

【考點定位】三角函數的圖象和性質.

【名師點睛】本題主要考查了三角函數的圖象和性質，屬于中檔題，高考題對于三角函數的考查，多以

/(x)=Asin(?+e)為背景來考查其性質，解決此類問題的關鍵：一是會化簡，熟悉二角恒等變形，對」.

角函數進行化簡；：是會用性質，熟悉正弦函數的單調性，周期性，對稱性，奇偶性等.

3.12015高考上海，理13】已知函數/(x)=sinx.若存在占,x2,???,x,“滿足0<%<x2<…<x,"W6工，

且|/(須)-/卜2)卜|/(々)-/(演)卜?一+|/(七_1)-/(/)|=12(m>2,meN*),則m的最小值

為-

【答案】8

【解析】因為〃x)=sinx,所以|/(乙)一/(匕)仁/(初皿一/(初檢=2,因此要使得滿足條件

|/(%)一/(超)|+/(馬)一/(七)|+…+/(X.T)一/(%)|=12的m最小,須取

人九■3乃5萬7乃9乃1\n/口r.c

X\=0'X2=萬，覆=—>X4=虧，工5=虧，％=~^X7=~Y^Xi=61,即m=8.

【考點定位】三角函數性質

【名師點睛】三角函數最值與絕對值的綜合，可結合數形結合解決.極端位置的考慮方法是解決非常規(guī)題的

一個行之有效的方法.

4.【2015高考重慶，理18】已知函數/(x)=sin［q-x)sinx-Jicos?x

(1)求〃x)的最小正周期和最大值；

(2)討論/(x)在上的單調性.

【答案】⑴最小正周期為p，最大值為弓旦(2)“X)在崇!|］上單調遞增；/(x)在店，爭上

單調遞減.

【解析】

11j/(x)=sin-xsinx-^/3cos:x=cosxsinx-(1+cos2x)

=：sin2x-￡(1+cos2x)=gsin2x-坐cos2x-*=sin(2x-m)-￡

因此f(x)的最小正周期為,7,最大值為三&

㈡當工w［工工］時，有0K2x-1二乃，從而

633

當0S2x-14：時即.4x4蓑時，f(x)單調遞噌，

TTTT'亢27F

當二￡2萬-三￡『時即二WxWq時，/(x)單調遞減,

23123

綜上可知，/（x）在UTT,357r］上單調遞增；/（X）在［537r,2絲7r］上單調遞減.

612123

【考點定位】三角函數的恒等變換，周期，最值，單調性，考查運算求解能力.

【名師點睛】三角函數的性質由函數的解析式確定，在解答三角函數性質的綜合試題時要抓住函數解析式

這個關鍵，在函數解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數解析式化為一個角的一個三角函

數形式，然后利用正弦（余弦）函數的性質求解，三角函數的值域、三角函數的單調性也可以使用導數的

方法進行研究.

【方法規(guī)律】y-Asin（<ax+（p）>y=Acos（3x+°）、y=Atan（&r+e）的性質：

①周期性

函數尸4sin（Qx+0）和y=4cos（3x+。）的最小正周期為y=tan（ox+。）的最小正周期為7^7.

②奇偶性

三角函數中奇函數?般可化為y=/sinox或y=/tana>x,而偶函數，一般可化為尸力cos。了+6的形式.

③研究函數的單調性、最值、對稱性等問題，要注意整體意識，即將。X+9看作一個整體.

如：【2015高考北京，理15】已知函數/（x）=&sin］cos:逝sin￡.

（I）求〃x）的最小正周期；

（II）求“X）在區(qū)間［-兀,0］上的最小值.

【答案】（1）2萬,（2）—1-----

2

【解析】

(I)f(x)=亞sin±cos——V2sin*'=也.-sinx-&1-cosX

2222

⑴/G）的最小正周期為T=半=2兀；

（2）V一然二一三4x+三42，當x+2=-2,x=-正時，/Q）取得最小值為:

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考點定位：本題考點為三角函數式的恒等變形和三角函數圖象與性質，要求熟練使用降基公式與輔助角公

式，利用函數解析式研究函數性質，包括周期、最值、單調性等.

【名師點睛】本題考查三角函數式的恒等變形及三角函數的圖象與性質，本題屬于基礎題，要求準確應用

降幕公式和輔助角公式進行變形，化為標準的y