數(shù)據(jù)擬合完整版本

ExperimentsinMathematics數(shù)據(jù)擬合Z?'

函數(shù)擬合1.擬合的基本原理；3.用Matlab作最小二乘擬合；4.如何用擬合解決實(shí)際問題。2.最小二乘擬合；

設(shè)

R=at+ba,b為待定系數(shù)求電阻R隨溫度t的變化規(guī)律。已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032引例1：熱敏電阻電阻值的變化規(guī)律

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01對(duì)某人用快速靜脈注射方式一次性注射某種藥物300mg后，經(jīng)過時(shí)間t采集血樣，測(cè)得血藥濃度c如下表：求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形Log10c(t)=at+b引例2：血藥濃度的變化規(guī)律曲線擬合問題的提法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)i=1,…n,

尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x),

使f(x)

在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)

i

i為點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離最小二乘擬合

第一步：先選定一類函數(shù)f(x，a1，a2，

…，am)其準(zhǔn)則為（最小二乘準(zhǔn)則）：使n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x，a1，a2，

…，am)的距離

i的平方和最小

。其中

a1,a2,…am

為待定常數(shù)。f可以為一些簡(jiǎn)單的“基函數(shù)”（如冪函數(shù)，三角函數(shù)等等）的線性組合：第二步：確定參數(shù)a1,a2,…am，問題歸結(jié)為，求

a1,a2,…am

使

J(a1,a2,…am)

最小。這樣的擬合稱為最小二乘擬合。除了最小二乘準(zhǔn)則（即各點(diǎn)誤差的平方和最?。?，你認(rèn)為還可以用怎樣的擬合準(zhǔn)則？比較起來，最小二乘準(zhǔn)則有什么優(yōu)點(diǎn)？思考記最小二乘擬合函數(shù)f(x，a1，…am)的選取

++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1exp(a2x)+++++f=a1exp(a2x)1.通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定f；2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…,n作圖，通過直觀判斷確定f：2.作一般的最小二乘曲線擬合，可利用已有程序lsqcurvefit,其調(diào)用格式為：

a=lsqcurvefit(‘f’,a0,x,y)1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1函數(shù)擬合,可利用已有程序polyfit,其調(diào)用格式為:a=polyfit(x,y,m)用MATLAB作最小二乘擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合多項(xiàng)式次數(shù)系數(shù)注：f為擬合函數(shù)y=f(a,x)的函數(shù)M—文件，f(a,x)為擬合函數(shù)。數(shù)據(jù)點(diǎn)待定常數(shù)a的初值函數(shù)M文件用MATLAB作多項(xiàng)式最小二乘擬合example12.用命令polyfit(x,y,m)得到a1=3.3940,a2=702.49181.選取函數(shù)R=

a1t+a2溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032例.由數(shù)據(jù)擬合R=f(t)用MATLAB作最小二乘曲線擬合例：用函數(shù)f(x)=a1*exp(-a2*x)+a3*exp(-a4*x)擬合下列數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=[0:.1:2]ydata=[5.89553.56392.51731.97901.89901.39381.13591.00961.03430.84350.68560.61000.53920.39460.39030.54740.34590.13700.22110.17040.2636]用命令lsqcurvefit(‘f’,a0,x,y)

example2fun1擬合的應(yīng)用——參數(shù)辨識(shí)數(shù)學(xué)建模的方法：機(jī)理分析和測(cè)試分析。機(jī)理分析是根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理意義。測(cè)試分析將研究的對(duì)象看作一個(gè)“黑箱”，通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。機(jī)理分析——>模型結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)——>未知參數(shù)范例：薄膜滲透率的測(cè)定一、問題：某種醫(yī)用薄膜，具有從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴(kuò)散的功能，在試制時(shí)需測(cè)定薄膜被物質(zhì)分子穿透的能力。測(cè)定方法：用面積為S的薄膜將容器分成體積分別為的兩部份，在兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液。此時(shí)該物質(zhì)分子就會(huì)從高濃度溶液穿過薄膜向低濃度溶液中擴(kuò)散。平均每單位時(shí)間通過單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)K表征了薄膜被該物質(zhì)分子穿透的能力，稱為滲透率。定時(shí)測(cè)量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度，以此確定K。VAVBS二、問題分析考察時(shí)段[t，t+Δt]薄膜兩側(cè)容器中該物質(zhì)質(zhì)量的變化。設(shè)，對(duì)容器的B部分溶液濃度的測(cè)試結(jié)果如下表：（濃度單位）

1）在容器的一側(cè)，物質(zhì)質(zhì)量的增加是由于另一側(cè)的物質(zhì)向該側(cè)滲透的結(jié)果，因此物質(zhì)質(zhì)量的增量應(yīng)等于另一側(cè)的該物質(zhì)向這側(cè)的滲透量。以容器A側(cè)為例，在時(shí)段[t，t+Δt]物質(zhì)質(zhì)量的增量為：分別表示在時(shí)刻t膜兩側(cè)溶液設(shè)的濃度，濃度單位:由于平均每單位時(shí)間通過單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)為K。因此，在時(shí)段[t，t+Δt]，從B側(cè)滲透至A側(cè)的該物質(zhì)的質(zhì)量為：于是有：兩邊除以Δt，并令Δt→0取極限再稍加整理即得：分別表示在初始時(shí)刻兩側(cè)溶液的濃度其中（1）2)注意到整個(gè)容器的溶液中含有該物質(zhì)的質(zhì)量不變,與初始時(shí)刻該物質(zhì)的含量相同，因此

從而：加上初值條件：代入式（1）得：便可得出CB(t)的變化規(guī)律，從而根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，估計(jì)出參數(shù)K,。三、數(shù)學(xué)模型假設(shè)：1）薄膜兩側(cè)的溶液始終是均勻的；2）平均每單位時(shí)間通過單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比。3）薄膜是雙向同性的即物質(zhì)從膜的任何一側(cè)向另一側(cè)滲透的性能是相同的。基于假設(shè)和前面的分析，B側(cè)的濃度CB(t)應(yīng)滿足如下微分方程和初始條件：四、求解方法：1.函數(shù)擬合法前面得到的模型是一個(gè)帶初值的一階線性微分方程，解之得：?jiǎn)栴}歸結(jié)為利用CB在時(shí)刻tj的測(cè)量數(shù)據(jù)Cj(j=1,2,...,N)來辨識(shí)K和。引入從而用函數(shù)CB(t)來擬合所給的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而估計(jì)出其中的參數(shù)a,b,K。將代入上式有：用MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算.1）編寫函數(shù)M-文件nongdu.mfunctionf=nongdu(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata);其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;2)在工作空間中執(zhí)行以下命令(test1.m)

tdata=linspace(100,1000,10);

cdata=[4.544.995.355.655.906.10...6.266.396.506.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit

(‘nongdu’,x0,tdata,cdata)3)輸出結(jié)果:x=0.007-0.0030.1012

即k=0.1012,a=0.007,b=-0.003,nongdutest1進(jìn)一步求得：2.非線性規(guī)劃法利用CB在時(shí)刻tj的測(cè)量數(shù)據(jù)Cj(j=1,2,...,N)來辨識(shí)K和。問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)即求函數(shù)的最小值點(diǎn)（K，a，b）。3.導(dǎo)函數(shù)擬合法前面得到的微分方程為：令上式變?yōu)椋哼@可以看作隨CB的變化規(guī)律(j=1,2,...,N)若知道一組數(shù)據(jù)則可用最小二乘擬合的方法來求出函數(shù)中的未知參數(shù)K和h。即為求參數(shù)K,a使下列誤差函數(shù)達(dá)到最?。涸搯栴}等價(jià)于用函數(shù)f(K,a,CB)=K(0.01a-0.02CB)來擬合數(shù)據(jù)(j=1,2,...,N)用MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算.％求數(shù)據(jù)點(diǎn)(j=1,2,...,N)tdata=linspace(100,1000,10);cdata=1e-05.*[454499535565590...

610626639650659];[d,ifail]=e01bef(tdata,cdata);[cj,dcj]=e01bgf(tdata,cdata,d,tdata);1）編寫函數(shù)M-文件baomof.mfunctionf=baomof(x,cdata)f=x(1)*(0.01*x(2)-0.02*cdata)其中x(1)=K;x(2)=h2)編寫命令M文件(baomo21.m)3)輸出結(jié)果:x=0.10090.014

即k=0.1009,h=0.014％作函數(shù)擬合x0=[0.2,0.1];x=lsqcurvefit

('baomof',x0,cdata,dcj')4.線性化迭代法前面帶初始條件的一階線性微分方程的解為其中：

如果得到了參數(shù)K的一個(gè)較好的近似值K*，則將CB(t)關(guān)于K在K*處展開，略去

K的二次及以上的項(xiàng)得CB(t)的一個(gè)近似式通過極小化確定a,b,d,再由

K=d/0.02b得到K*的修正值

K。K*K*-K,得到K的一個(gè)新的近似值，用同樣的方法再求新的修正值

K。這個(gè)過程可以不斷重復(fù)，直到修正值足夠小為止。1）當(dāng)K的初值取為k=0.3時(shí)，出現(xiàn)奇異情況，迭代不收斂；2）當(dāng)K的初值取為k=0.2時(shí)，經(jīng)四次迭代，已經(jīng)收斂到一個(gè)很好的解。迭代結(jié)果如下表。五、結(jié)果及誤差分析幾種方法得出的結(jié)果及相應(yīng)的誤差總結(jié)于下表，誤差為計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之差的平方和。注：導(dǎo)函數(shù)擬合法得出的參數(shù)值精度有限，線性化迭代法要求參數(shù)的初值比較接近精確值。因此可將導(dǎo)函數(shù)擬合法和線性化迭代法結(jié)合起來使用，把前者得到的參數(shù)K的值作為迭代法中K的初值，這樣可使迭代法收斂或收斂更快。3）取K的初值為k=0.1009,只一次迭代就得到2）中的最后結(jié)果。函數(shù)擬合法的擬合效果求解參數(shù)辨識(shí)模型的方法：函數(shù)擬合；非線性規(guī)劃；導(dǎo)函數(shù)擬合；線性化迭代；其它方法。布置“函數(shù)擬合”實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1.掌握用MATLAB計(jì)算函數(shù)擬合的方法內(nèi)容

2.用函數(shù)擬合方法解決實(shí)際問題。?給藥方案一種新藥用于臨床之前，必須設(shè)計(jì)給藥方案。在快速靜脈注射下，所謂給藥方案是指，每次注射計(jì)量多大，間隔時(shí)間多長(zhǎng)。藥物進(jìn)入肌體后隨血液輸送到全身，在這過程中不斷被吸收、分解、代謝，最終排出體外。藥物向體外排出的速率與血藥濃度成正比。單位體積血液中的藥物含量，稱血藥濃度。臨床上，每種藥物有一個(gè)最小有效濃度c1和最大治療濃度c2。設(shè)計(jì)給藥方案時(shí)，要使血藥濃度保持在c1——c2之間，設(shè)本題研究的藥物的c1=10(g/ml),c2=25(g/ml),對(duì)某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥物300mg后，在一定時(shí)刻t（小時(shí)）采集血樣，測(cè)得血藥濃度c(g/ml),如下頁表。試設(shè)計(jì)該藥