高三數(shù)學第一輪總復習教案

高三數(shù)學第一輪總復習講義講義31直線的的方程、兩條直線的位置關系一、基本知識體系：直線的傾斜角、斜率、方向向量：求直線斜率的方法：（1）、定義法：k=tan(≠EQ\f(π,2))；②斜率公式：k=EQ\f(y2-y1,x2-x1)(x1≠x2）；當x1=x2時，斜率不存在。③直線的方向向量：直線L的方向向量為EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),m)=（a,b),則該直線的斜率為k=EQ\f(b,a)直線方程的五種形式：名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式y(tǒng)-y1=k(x-x1)(x1,y1)為直線上的一個定點，且k存在不垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸的直線兩點式EQ\f(y-y1,y2-y1)=EQ\f(x-x1,x2-x1)(x1≠x2,y1≠y2(x1,y1)、(x2,y2)為直線上的兩個定點，不垂直于x軸和y軸的直線截距式EQ\f(x,a)+EQ\f(y,b)=1(a,b≠0)a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過原點的直線一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)斜率為EQ\f(-A,B)，在x軸上的截距為EQ\f(-C,A)，在y軸上的截距為EQ\f(-C,B)任何位置的直線判斷兩條直線的位置關系的條件：斜載式：y=k1x+b1y=k2x+b2一般式：A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1·k2=-1A1A2+B1B2=平行k1=k2且b1≠b2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1重合k1=k2且b1=b2A1B2-A2B1=A1C2-A2C1=B1C2-B2C1直線L1到直線L2的角的公式：tan=EQ\f(k2-k1,1+k1k2)(k1k2≠-1)直線L1與直線L2的夾角公式：tan=|EQ\f(k2-k1,1+k1k2)|(k1k2≠-1)5、點到直線的距離：點P（x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離為d=EQ\f(|Ax0+By0+C|,EQ\r(,A2+B2))6、兩條平行的直線之間的距離：兩條平行線Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0之間的距離d=EQ\f(|C1-C2|,EQ\r(,A2+B2))7、直線系方程：①、過定點P（x0,y0)的直線系方程：y-y0=k(x-x0)；②、平行的直線系方程：y=kx+b；③、過兩直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為：A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=08、對稱問題：點關于點對稱、點關于線對稱、線關于線對稱、線關于點對稱：二、典例剖析：★【例題1】、設函數(shù)（x）=asinx-bcosx圖象的一條對稱軸方程為x=EQ\f(π,4),則直線ax-by+c=0的傾斜角為（B）AEQ\f(π,4)BEQ\f(3π,4)CEQ\f(π,3)DEQ\f(2π,3)★【例題2】已知集合A={（x,y)|x=cos且y=sin,∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若A∩B有兩個元素，則k的取值范圍是_____▲解：畫圖可知，直線與半圓有兩個交點，則[EQ\f(-1,2),0)★【例題3】已知直線過點P（-1，2）,且與以點A（-2，-3）、B（3，0）為端點線段相交，則直線L的斜率的取值范圍是__(k≥5,或k≤EQ\f(-1,2))三、鞏固練習：★【題1】已知兩條直線和互相垂直，則等于 （A）2（B）1（C）0（D）▲解：兩條直線和互相垂直，則，∴a=－1，選D.★【題2】已知過點和的直線與直線平行，則的值為()ABCD▲解：(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,選(B)★【題3】“”是“直線相互垂直”的（B）A．充分必要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件▲【詳解】當時兩直線斜率乘積為，從而可得兩直線垂直；當時兩直線一條斜率為0，一條斜率不存在,但兩直線仍然垂直；因此是題目中給出的兩條直線垂直的充分但不必要條件.●注意：對于兩條直線垂直的充要條件①都存在時；②中有一個不存在另一個為零； 對于②這種情況多數(shù)考生容易忽略.★【題4】若三點A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0,b）(ab0)共線，則,的值等于1/2★【題5】已知兩條直線若，則____.▲解：已知兩條直線若，，則2.★【題6】已知圓－4－4＋＝0的圓心是點P，則點P到直線－－1＝0的距離是．▲解：由已知得圓心為：，由點到直線距離公式得：；★【題7】過點（1，EQ\r(,2)）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝．EQ\f(EQ\r(,2),2)★【題8】直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是A．B．C．D．▲解：由圓的圓心到直線大于，且，選A?！铩绢}9】．若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是：A．B．C．D．▲解：圓整理為，∴圓心坐標為(2，2)，半徑為3，要求圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離應小于等于，∴，∴，∴，，∴，直線的傾斜角的取值范圍是，選B.★【題10】7．圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是A．36B.18C.D.▲．解：圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為>3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R=6，選C.★【題11】設直線過點(0，a)，其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，則a的值為()A．±eq\r(2)B．±2B．±2eq\r(2)D．±4▲解；直線過點(0，a)，其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，設直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑，∴，∴a的值±2，選B．★【題12】如圖，l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在l1、l2、l3上，yxOMDABC－1－1－212BE則△ABC的邊長是(D):（A） （yxOMDABC－1－1－212BE★【題13】如圖，三定點A(2，1)，B(0，－1)，C(－2，1);三動點D，E，M滿足eq\o(AD,\s\up6(→))=teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))=teq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DM,\s\up6(→))=teq\o(DE,\s\up6(→))，t∈[0，1]．(Ⅰ)求動直線DE斜率的變化范圍;(Ⅱ)求動點M的軌跡方程．．▲解：如圖，(Ⅰ)設D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由eq\o(AD,\s\up6(→))=teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))=teq\o(BC,\s\up6(→))，知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)．∴EQ\b\lc\{(\a\al(xD=－2t+2,yD=－2t+1))同理EQ\b\lc\{(\a\al(xE=－2t,yE=2t－1))．∴kDE=eq\f(yE－yD,xE－xD)=eq\f(2t－1－(－2t+1),－2t－(－2t+2))=1－2t．∴t∈[0，1]，∴kDE∈[－1，1]．(Ⅱ)∵eq\o(DM,\s\up6(→))=teq\o(DE,\s\up6(→))∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)．∴EQ\b\lc\{(\a\al(x=2(1－2t),y=(1－2t)2))，∴y=eq\f(x2,4)，即x2=4y．∵t∈[0，1]，x=2(1－2t)∈[－2，2]．即所求軌跡方程為:x2=4y，x∈[－2，2]※★【題14】已知圓M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題：對任意實數(shù)k與，直線l和圓M相切；（B）對任意實數(shù)k與，直線l和圓M有公共點；對任意實數(shù)，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；（D）對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)，使得直線l與和圓M相切；其中真命題的代號是______________（寫出所有真命題的代號）▲解：圓心坐標為（－cos，sin）d＝;故選（B）（D）O(A)BCDxy圖5※★【題15】在平面直角坐標系中，已知矩形的長為２，寬為１，、邊分別在軸、軸的正半軸上，點與坐標原點重合（如圖５所示）．將矩形折疊，使點落在線段上．（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；（Ⅱ）求折痕的長的最大值．O(A)BCDxy圖5▲解：（Ⅰ）(i)當時,此時A點與D點重合,折痕所在的直線方程，(ii)當時，設A點落在線段上的點，，則直線的斜率，∵∴，∴，∴；又∵折痕所在的直線與的交點坐標（線段的中點）；為，∴折痕所在的直線方程，即，由(i)(ii)得折痕所在的直線方程為：（Ⅱ）折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為由（Ⅰ）知，，∵，∴，設折痕長度為d，所在直線的傾斜角為，(i)當時，此時A點與D點重合,折痕的長為2；(ii)當時，設，，時，l與線段AB相交，此時，時，l與線段BC相交，此時，時，l與線段AD相交，此時，時，l與線段DC相交，此時，∴將k所在的分為３個子區(qū)間：①當時，折痕所在的直線l與線段DC、AB相交，折痕的長，∴，②當時，折痕所在的直線l與線段AD、AB相交，令，即，即，即，∵，∴解得；令，解得，故當時，是減函數(shù)，當時，是增函數(shù)，∵，，∴，∴當時，，，∴當時，，③當時，折痕所在的直線l與線段AD、BC相交，折痕的長，∴，即，綜上所述得，當時，折痕的長有最大值，為．高三數(shù)學第一輪總復習講義講義32簡單的線性規(guī)劃基本知識體系：二元一次不等式（組）Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域：簡單的線性規(guī)劃問題的處理方法：典例剖析：★【題1】、在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()(A)(B)4(C)(D)2▲解析：由題知可行域為，，故選擇B?！铩绢}2】、已知平面區(qū)域D由以為頂點的三角形內(nèi)部以及邊界組成。若在區(qū)域D上有無窮多個點可使目標函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則(C)A．－2B．－1C．1D．4▲解：依題意，令z＝0，可得直線x＋my＝0的斜率為－，結合可行域可知當直線x＋my＝0與直線AC平行時，線段AC上的任意一點都可使目標函數(shù)z＝x＋my取得最小值，而直線AC的斜率為－1，所以m＝1，選C★【題3】、在約束條件下，當時，目標函數(shù)的最大值的變化范圍是A.B.C.D.●解：由交點為，當時可行域是四邊形OABC，此時，；當時可行域是△OA此時，；故選D.★【題4】、設集合，，，（1）的取值范圍是；（2）若，且的最大值為9，則的值是．▲解：（1）（2）；★【題5】、某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學模型中，約束條件為（A）（B）（C）（D）▲解：某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學模型中，約束條件為，選C.★【題6】、設，式中變量滿足下列條件則z的最大值為_____________。（答案：23）★【題7】、已知實數(shù)滿足，則的最大值是_________.▲解：在坐標系中畫出可行域，得三個交點為A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，則的最大值是0.★【題8】、已知變量滿足約束條件若目標函數(shù)（其中）僅在點處取得最大值，則的取值范圍為?！窠猓阂阎兞繚M足約束條件在坐標系中畫出可行域，如圖為四邊形ABCD，其中A(3，1)，，目標函數(shù)（其中）中的z表示斜率為－a的直線系中的截距的大小，若僅在點處取得最大值，則斜率應小于，即，所以的取值范圍為(1，+∞)?！铩绢}9】、已知點P（x，y）的坐標滿足條件點O為坐標原點，那么|PO|的最小值等于,最大值等于____（答案：、）★【題10】、已知則的最小值是_____________.（答案：5）★【題11】、某實驗室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價格為140元；另一種是每袋24千克，價格為120元.在滿足需要的條件下，最少要花費500★【題12】、15設、滿足約束條件，則使得目標函數(shù)的值最大的點是.[答案]★【題13】、制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損率分別為30﹪和10﹪.投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？ 解：設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目. 由題意知目標函數(shù)z=x+0.5y. 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域. 作直線，并作平行于直線的一組直線 與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點，且 與直線的距離最大，這里M點是直線和的交點. 解方程組得x=4，y=6；此時（萬元）. 當x=4，y=6時z取得最大值. 答：投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.三、鞏固練習：★【題1】、設變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為．（答案：-3/2）★【題2】、若集合，，則中元素的個數(shù)為（C）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．★【題3】、如果點在平面區(qū)域上，點在曲線上，那么的最小值為（A）A． B． C． D．★【題4】、已知變量滿足約束條件則的取值范圍是（A）A． B．C． D．★【題5】、某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個項目上共可獲得的最大利潤為（B）（A）36萬元 （B）31.2萬元 （C）30.4萬元 （D）24萬元★【題6】、設是不等式組表示的平面區(qū)域，則中的點到直線距離的最大值是． ★【題7】、已知實數(shù)滿足則的取值范圍是________．（答案： ）★【題8】、設為實數(shù)，若，則的取值范圍是．（解：）★【題9】、在平面直角坐標系中，已知平面區(qū)域，則平面區(qū)域的面積為（B）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．高三數(shù)學第一輪總復習講義講義38曲線與方程基本知識體系：曲線的方程和方程的曲線：在直角坐標系中，如果某曲線C（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。求曲線的方程的一般步驟：建系，設點轉化條件，列出方程化方程(x,y)=0為最簡形式證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。兩條曲線的交點：兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解，求曲線的交點的問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解的問題。求軌跡方程的常用方法：直接法：直接寫出題目中的等量關系，從而化出所求的軌跡方程；這是最常用的一種求法。定義法：運用解析幾何中一些常用的定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出軌跡方程。相關點法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q（x′,y′)的運動而有規(guī)律地運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求出，則可先將x′,y′表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，這種利用相關動點和所求動點的關系求出軌跡方程的方法叫做相關點法，也叫做代入法。參數(shù)法：有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然后從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。交軌法：求兩動曲線的交點的軌跡方程時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此方法。也可以引入?yún)?shù)來建立這些曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程，故交軌法也屬于參數(shù)法。典例剖析：★【題1】、如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點P的軌跡方程.●[解析]：以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，因為兩圓的半徑都為1,所以有：，設P（x,y）則（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，即綜上所述，所求軌跡方程為：（或）★【題2】、已知兩點M（－2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足＝0，則動點P（x，y）的軌跡方程為()（A）（B）（C）（D）●解：設，，，；則由，則，化簡整理得所以選B★【題3】、如圖，直線l1：與直線l2：之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2.（Ⅰ）分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2；（Ⅱ）若區(qū)域W中的動點P（x，y）到l1，l2的距離之積等于d2，求點P的軌跡C的方程；（Ⅲ）設不過原點O的直線l與（Ⅱ）中的曲線C相交于M1，M2兩點，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點.求證△OM1M2的重心與△OM3M4●解：（I）（II）直線直線,由題意得：即由知 所以即所以動點P的軌跡方程為（III）①、當直線與軸垂直時,由對稱性顯然可知：的中點坐標都為,所以的重心坐標都為,即它們的重心重合.②、當直線與軸不垂直時,設直線的方程為由,得∵由直線與曲線C有兩個不同交點,可知,且設的坐標分別為則 設的坐標分別為由從而所以所以于是的重心與的重心也重合.★【題4】、已知點M（－2，0），N（2，0），動點P滿足條件|PM|－|PN|=，記動點P的軌跡為W；（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求·的最小值.解：（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知動點P的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，實半軸長又半焦距c=2，故虛半軸長；所以W的方程為,；（Ⅱ）設A，B的坐標分別為,；①、當AB⊥x軸時,從而從而②、當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立,消去y得故所以.又因為,所以,從而綜上,當AB⊥軸時,取得最小值2.三、鞏固練習：

★【題1】、直角坐標平面中，若定點與動點滿足，則點P的軌跡方程是__解答：設點P的坐標是(x,y)，則由知★【題2】、．以下幾個關于圓錐曲線的命題中 ①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線； ②設定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓； ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； ④雙曲線有相同的焦點. 其中真命題的序號為【解答】雙曲線的第一定義是:平面上的動點P到兩定點是A,B之間的距離的差的絕對值為常數(shù)2a,且,那么P點的軌跡為雙曲線,故①錯，由,得P為弦AB的中點,故②錯，設的兩根為則可知兩根互與為倒數(shù),且均為正,故③對，的焦點坐標(),而的焦點坐標(),故④正確.★【題3】設過點P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，若，則點P的軌跡方程是（D）A.B.C.D.★【題4】如圖,直線L1和L2相交于點M，L1L2,點NL1.以A,B為端點的曲線段C上的任一點到L2的距離與到點N的距離相等.若AMN為銳角三角形,|AM|=EQ\R(,17),|AN|=3,且|BN|=6.建立適當?shù)淖鴺讼?求曲線段C的方程.（供選擇用）★【題5】、平面的斜線AB交于點B，過定點A的動直線與AB垂直，且交于點C，則動點C的軌跡是（A）一條直線（B）一個圓（C）一個橢圓（D）雙曲線的一支★【題】、在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（Ⅰ）點M的軌跡方程；（Ⅱ）的最小值。解：橢圓方程可寫為:eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1式中a>b>0,且EQ\b\lc\{(\a\al(a2－b2=3,\f(\r(3),a)=\f(\r(3),2)))得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為:x2+eq\f(y2,4)=1(x>0,y>0).y=2eq\r(1－x2)(0<x<1)y'=－eq\f(2x,\r(1－x2))；設P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1,y0=2eq\r(1－x02),y'|x=x0=－eq\f(4x0,y0),得切線AB的方程為:y=－eq\f(4x0,y0)(x－x0)+y0.設A(x,0)和B(0,y),由切線方程得x=eq\f(1,x0),y=eq\f(4,y0).由eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))得M的坐標為(x,y),由x0,y0滿足C的方程,得點M的軌跡方程為:eq\f(1,x2)+eq\f(4,y2)=1(x>1,y>2)(Ⅱ)|eq\o(OM,\s\up6(→))|2=x2+y2,y2=eq\f(4,1－\f(1,x2))=4+eq\f(4,x2－1),∴|eq\o(OM,\s\up6(→))|2=x2－1+eq\f(4,x2－1)+5≥4+5=9.且當x2－1=eq\f(4,x2－1),即x=eq\r(3)>1時,上式取等號.故|eq\o(OM,\s\up6(→))|的最小值為3.高三數(shù)學第一輪總復習講義講義33圓的的方程、直線與圓的位置關系基本知識體系：圓的定義、標準方程、（x-a)2+(y-b)2=r2；參數(shù)方程：圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0配方則有圓心（EQ\f(-D,2)，EQ\f(-E,2)），半徑為EQ\f(1,2)EQ\r(,D2+E2-4F)；反映了其代數(shù)特征：①x2+y2系數(shù)相同且均為1，②不含x·y項點與圓的位置關系：直線與圓的位置關系：①過圓x2+y2=r2上的一點P（x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過圓（x-a)2+(y-b)2=r2；上的一點P（x0,y0)的切線方程為：（x-a)·（x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2；②弦長公式：|AB|=注意：直線與圓的問題中，有關相交弦長劃相切的計算中，一般不用弦長公式，多采用幾何法，即|AB|=2EQ\r(,r2-d2)圓與圓的位置關系：典例剖析：★【題1】、如果直線L將圓:x2+y2-2x-4y=0平分且不通過第四象限,則直線L的斜率的取值范圍是(A)A[0,2]B[0,1]C[0,EQ\f(1,2)]D[0,EQ\f(1,2))★【題2】、若直線x+y=k與曲線y=EQ\r(,1-x2)恰有一個公共點,則k的取值范圍是____-1≤k<1或k=EQ\r(,2)★【題3】、已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于點P、Q，且EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OP)·EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OQ)=0(O為坐標原點)，求出該圓的方程。（（x+EQ\f(1,2))2+(y-3)2=（EQ\f(5,2)）2★【題7】、若圓x2+(y-1)2=1上的任一點P(x,y),有不等式x+y+c≥0恒成立，則c的取值范圍是_____解：(c≥EQ\r(,2)-1)★【題9】、已知點A（3cos，3sin),B(2cos,2sin),則|AB|的最大值是___(5)★【題10】、已知一個圓C：x2+y2+4x-12y+39=0；直線L：3x-4y+5=0，則圓C關于直線L的對稱的圓的方程為_____(（x-4)2+(y+2)2=1)三、鞏固練習：★【題1】、過坐標原點且與圓相切的直線方程為（）（A）（B）（C）（D）解：過坐標原點的直線為，與圓相切，則圓心(2，－1)到直線方程的距離等于半徑，則，解得，∴切線方程為，選A.★【題2】、以點（2，－1）為圓心且與直線相切的圓的方程為(C)（A）（B）（C）（D）解：r＝＝3，故選C★【題3】、已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于(C）A（B）（C）（D）解：設P點的坐標為(x，y)，即，所以點的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選C.★【題4】、直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是A．B．C．D．解：由圓的圓心到直線大于，且，選A?！铩绢}5】圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是A．36B.18C.D.解：圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為>3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R=6，選C.★【題6】、設直線過點(0,a),其斜率為1,且與圓x2+y2=2相切,則a的值為()A.±eq\r(2)B.±2B.±2eq\r(2)D.±4解：設直線過點(0，a)，其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，設直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑，∴，∴a的值±2，選B．★【題7】、過點（1，EQ\r(,2)）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝EQ\f(\r(,2),2)★【題8】、圓是以為半徑的球的小圓，若圓的面積和球的表面積的比為，則圓心到球心的距離與球半徑的比13。解：設圓的半徑為r，則＝，＝，由得rR＝3又，可得13★【題9】、過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率解：(數(shù)形結合)由圖形可知點A在圓的內(nèi)部,圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以★【題10】、若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則這個圓的方程為＿＿＿＿。解：若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則圓心在直線y=x上，且圓心的橫坐標為1，所以縱坐標為，這個圓的方程為?！铩绢}11】、已知直線與圓相切，則的值為－18或8。解：圓的方程可化為，所以圓心坐標為（1，0），半徑為1，由已知可得，所以的值為－18或8?！铩绢}12】、若直線y＝kx＋2與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1有兩個不同的交點，則k的取值范圍是.解：(0，)高三數(shù)學第一輪總復習講義講義34橢圓一、基本知識體系：橢圓的定義：①第一定義：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2)②第二定義：EQ\f(|PF1|,d)=e(橢圓的焦半徑公式：|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0)橢圓的的方程：①焦點在x軸上的方程：（a>b>0）；②焦點在y軸上的方程：（a>b>0）；③當焦點位置不能確定時，也可直接設橢圓方程為：mx2+ny2=1(m>0,n>0)④、參數(shù)方程：橢圓的幾何性質(zhì)：標準方程（a>b>0）（a>b>0）簡圖中心O（0，0）O（0，0）頂點（±a,0)(0,±b)(0,±a)（±b,0)焦點(±c,0)(0,±c)離心率e=EQ\f(c,a)(0<e<1)e=EQ\f(c,a)(0<e<1)對稱軸x=0,y=0x=0,y=0范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b準線方程x=±EQ\f(a2,c)y=±EQ\f(a2,c)焦半徑a±ex0a±ey0幾個概念：①焦準距：EQ\f(b2,c);②通徑：EQ\f(2b2,a);③點與橢圓的位置關系：④焦點三角形的面積：b2tanEQ\f(,2)(其中∠F1PF2=)；⑤弦長公式：|AB|=；⑥橢圓在點P（x0，y0)處的切線方程：;直線與橢圓的位置關系：凡涉及直線與橢圓的問題，通常設出直線與橢圓的方程，將二者聯(lián)立，消去x或y，得到關于y或x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關系及根的判別式等知識來解決，需要有較強的綜合應用知識解題的能力。橢圓中的定點、定值及參數(shù)的取值范圍問題：①定點、定值問題：通常有兩種處理方法：第一種方法是從特殊入手，先求出定點（或定值），再證明這個點（值）與變量無關；第二種方法是直接推理、計算；并在計算的過程中消去變量，從而得到定點（定值）。②關于最值問題：常見解法有兩種：代數(shù)法與幾何法。若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形的性質(zhì)來解決，這就是幾何法；若題目中的條件和結論難以體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、函數(shù)的單調(diào)性法等。③參數(shù)的取值范圍問題：此類問題的討論常用的方法有兩種：第一種是不等式（組）求解法根據(jù)題意結合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式（組）再得出參數(shù)的變化范圍；第二種是函數(shù)的值域求解法：把所討論的參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求得參數(shù)的變化范圍。二、典例剖析：★【題1】、若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則m=（B） A． B． C． D．▲解:∵，∴，∵，∴，∴，故選B．★【題2】、設橢圓的兩個焦點分別為，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（D）ABCD●解：由題意可得,∵b2=a2-c2e=,得e2+2e-1=0,∵e>1,解得e=,選(D)★【題3】、點P（-3,1）在橢圓的左準線上.過點P且方向為EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),a)=(2,-5)的光線，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為:(A)（A）（B）(C)（D）[解析]：如圖,過點P（-3，1）的方向向量EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),a)=(2,-5);所以，即;聯(lián)立：，由光線反射的對稱性知：所以，即;令y=0,得F1（-1，0）;綜上所述得：c=1，;所以橢圓的離心率故選A?！绢}4】、如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|∶|A1F1|＝2(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)若點P為l上的動點，求∠F1PF2最大值．解：(Ⅰ)設橢圓的方程為(a>0,b>0),半焦距為c,則|MA1|=,|A1F1|=a-c

由題意,得∴a=2,b=,c=1.故橢圓的方程為(Ⅱ)設P(-4,y0),y0≠0,∴只需求tan∠F1PF2的最大值即可.設直線PF1的斜率k1=,直線PF2的斜率k2=,∵0<∠F1PF2<∠PF1M<,∴∠F1PF2為銳角.∴tan∠F1PF2=；當且僅當,即|y0|=時,tan∠F1PF2取到最大值此時∠F1PF2最大,∴∠F1PF2的最大值為arctan.三、鞏固練習：★9．(20XX年湖南理科)設分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（D）A． B． C． D．★【題1】、已知△ABC的頂點B、C在橢圓EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（C）（A）2EQ\r(,3)（B）6（C）4EQ\r(,3)（D）12★【題2】、橢圓的中心為點它的一個焦點為相應于焦點F的準線方程為則這個橢圓的方程是（D）（A）（B）（C）（D）解：橢圓的中心為點它的一個焦點為∴半焦距，相應于焦點F的準線方程為∴，，則這個橢圓的方程是，選D.★【題3】、在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為（B）(A)(B)(C)(D)解：不妨設橢圓方程為（ab0），則有，據(jù)此求出e＝，選B★【題4】已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是；解：已知為所求；★【題5】、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則________________;★【題6】、橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程.解：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3；在Rt△PF1F2中故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2－c2=4,所以橢圓C的方程為＝1；(Ⅱ)設A，B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）；已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）；從而可設直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因為A，B關于點M對稱；所以解得，所以直線l的方程為即8x-9y+25=0.顯然，所求直線方程符合題意?！铩绢}7】在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限，半徑為的圓與直線相切于坐標原點，橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．（1）求圓的方程；（2）試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解:(1)設圓C的圓心為(m，n)則解得所求的圓的方程為；(2)由已知可得；；橢圓的方程為；右焦點為F(4，0)；假設存在Q（x,y)，則有且（x-4)2+y2=16，解之可得y=3x，從而有點（EQ\f(4,5),EQ\f(12,5))存在?！铩绢}9】設橢圓上一點到左準線的距離為10，是該橢圓的左焦點，若點滿足，則．答案為：2★【題10】設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求使得下述命題成立：設圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點，則．解:（Ⅰ）：由題設及，，不妨設點，其中，由于點在橢圓上，有，，解得，從而得到，過點作，垂足為，易知，故；由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即．（Ⅱ）解法一：圓上的任意點處的切線方程為．當時，圓上的任意點都在橢圓內(nèi)，故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標是方程組的解．當時，由①式得代入②式，得，即，于是，．若，則．所以，．由，得．在區(qū)間內(nèi)此方程的解為．當時，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為．另一方面，當時，可推出，從而．綜上所述，使得所述命題成立．★【題11】設F1、F2分別是曲線的左、右焦點.（Ⅰ）若P是第一象限內(nèi)該曲線上的一點，，求點P的作標；（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為作標原點），求直線的斜率的取值范圍.（Ⅰ）易知，，．∴，．設．則，又，聯(lián)立，解得，．（Ⅱ）顯然不滿足題設條件．可設的方程為，設，．聯(lián)立∴由；，，得．①又為銳角，∴又∴∴．②綜①②可知，∴的取值范圍是．【題8】（20XX年全國）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于B，D兩點，過的直線交橢圓于A，C兩點，且，垂足為P．（Ⅰ）設P點的坐標為，證明：；（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值．解：（Ⅰ）橢圓的半焦距，由；知點在以線段為直徑的圓上，由于r=1<b=EQ\r(,2),則此圓必在此橢圓之內(nèi),從而有；（Ⅱ）（?。┊?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．設，，則，，由于弦BD為焦點弦，則有；因為與相交于點，且的斜率為．所以，．四邊形的面積．當時，上式取等號．（ⅱ）當?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r，四邊形的面積．綜上，四邊形的面積的最小值為．湖南省省級示范性高中……洞口三中高三數(shù)學第一輪總復習講義講義35雙曲線一、基本知識體系：雙曲線的定義：①第一定義：||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2)注意焦點三角形的應用；②第二定義：EQ\f(|PF1|,d)=e（e>1)2、雙曲線的方程：①焦點在x軸上的方程：（a>0，b>0）；②焦點在y軸上的方程：（a>0，b>0）；③當焦點位置不能確定時，也可直接設橢圓方程為：mx2-ny2=1(m·n<0)④、雙曲線的漸近線：改1為0,分解因式則可得兩條漸近線之方程.雙曲線的幾何性質(zhì)：標準方程（a>0，b>0）（a>0，b>0）簡圖中心O（0，0）O（0，0）頂點（±a,0)(0,±a)焦點(±c,0)(0,±c)離心率e=EQ\f(c,a)(e>1)e=EQ\f(c,a)(e>1)范圍x≥a或x≤-ay≥a或y≤-a準線方程x=±EQ\f(a2,c)y=±EQ\f(a2,c)漸近線y=±EQ\f(b,a)xy=±EQ\f(a,b)x焦半徑P(x0,y0)在右支上時：|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a;P(x0,y0)在左支上時：|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a;P(x0,y0)在上支上時：|PF1|=ey0+a,|PF2|=ey0-a;P(x0,y0)在下支上時：|PF1|=-ey0-a,|PF2|=-ey0+a;幾個概念：①焦準距：EQ\f(b2,c);②通徑：EQ\f(2b2,a);③等軸雙曲線x2-y2=(∈R,≠0)：漸近線是y=±x,離心率為：EQ\r(,2)；④焦點三角形的面積：b2cotEQ\f(,2)(其中∠F1PF2=)；⑤弦長公式：|AB|=；⑥注意；橢圓中：c2=a2-b2,而在雙曲線中:c2=a2+b2,直線與雙曲線的位置關系：討論雙曲線與直線的位置關系時通常有兩種處理方法：①代數(shù)法：通常設出直線與雙曲線的方程，將二者聯(lián)立，消去x或y，得到關于y或x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關系及根的判別式等知識來解決，：②、數(shù)形結合法。注意直線與雙曲線有兩個交點時，兩交點可能在雙曲線的一支上，也可能在兩支上。雙曲線中的定點、定值及參數(shù)的取值范圍問題：①定點、定值問題：通常有兩種處理方法：第一種方法是從特殊入手，先求出定點（或定值），再證明這個點（值）與變量無關；第二種方法是直接推理、計算；并在計算的過程中消去變量，從而得到定點（定值）。②關于最值問題：常見解法有兩種：代數(shù)法與幾何法。若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形的性質(zhì)來解決，這就是幾何法；若題目中的條件和結論難以體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、函數(shù)的單調(diào)性法等。③參數(shù)的取值范圍問題：此類問題的討論常用的方法有兩種：第一種是不等式（組）求解法根據(jù)題意結合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式（組）再得出參數(shù)的變化范圍；第二種是函數(shù)的值域求解法：把所討論的參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求得參數(shù)的變化范圍。二、典例剖析：★【題1】雙曲線的漸近線方程是(C)（A）（B）（C）（D）★【題2】已知雙曲線的焦點為、，點在雙曲線上且軸，則到直線的距離為(C)（A）（B）（C）（D）★【題3】已知雙曲線的焦點為，點在雙曲線上且，則點到軸的距離為（C）ABCD解：由,得MF1⊥MF2,不妨設M(x,y)上在雙曲線右支上，且在x軸上方,則有(ex-a)2+(ex+a)2=4c2，即(ex)2+a2=2c2,∵a=1,b=,c=,e=,得x2=,y2=,由此可知M點到x軸的距離是,選(C)★【題4】已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ A． B． C．D．解：設E是正三角形MF1F2的邊MF1與雙曲線的交點,則點E的坐標為(),代入雙曲線方程,并將c=ae代入,整理得e4-8e2+4=0,由e>!,解得e=,選(D)★【題5】若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是__________?！铩绢}6】設雙曲線的右焦點為，右準線與兩條漸近線交于P、兩點，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率.解：雙曲線的右焦點為(c,0)，右準線與兩條漸近線交于P()、()兩點，∵FP⊥FQ，∴，∴a=b,即雙曲線的離心率e=.★【題7】雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則（A）A．B．C．D．★【題8】若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則m=（C）(A)(B)(C)(D)★【題9】已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于(C)A.B.C.2D.4★【題10】過雙曲線的左頂點作斜率為1的直線,若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點,且,則雙曲線的離心率是(A)A．B．C．D．★【題11】已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2)=1(a>eq\r(2))的兩條漸近線的夾角為eq\f(π,3),則雙曲線的離心率為()A.2B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(6),3)D.eq\f(2\r(3),3)解：已知雙曲線(a>eq\r(2))的兩條漸近線的夾角為eq\f(π,3)，則，∴a2=6，雙曲線的離心率為eq\f(2\r(3),3)，選D．★【題12】已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為(A)（A）（B）（C）（D）解：雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A★【題13】為雙曲線的右支上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為（B）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：設雙曲線的兩個焦點分別是F1（－5，0）與F2（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大，此時|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝8－1＝7【題14】已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）；（Ⅰ）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；（Ⅱ）設點P、、關于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。解：（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為(a>b>0),其半焦距c=6；∴,b2=a2-c2=9.所以所求橢圓的標準方程為（2）點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關于直線y=x的對稱點分別為點P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).設所求雙曲線的標準方程為由題意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16.所以所求雙曲線的標準方程為★【題15】已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）解：已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，∴≥，離心率e2=，∴e≥2，選C★【題17】設動點到點和的距離分別為和，，且存在常數(shù)，使得．（1）證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）如圖，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點．問：是否存在，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）在中，；；（小于的常數(shù)）；故動點的軌跡是以，為焦點，實軸長的雙曲線．方程為．（2）、在中，設，，，．假設為等腰直角三角形，則；由②與③得，則由⑤得，；，；故存在滿足題設條件．高三數(shù)學第一輪總復習講義講義36拋物線一、基本知識體系：1、拋物線的定義：EQ\f(|PF|,d)=e（其中e=1，注意：定點F不能在定直線L上）2、拋物線的的標準方程和幾何性質(zhì)：標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖象頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點F（EQ\f(p,2),0)F（-EQ\f(p,2),0)F（0,EQ\f(p,2))F（0,-EQ\f(p,2))準線x=-EQ\f(p,2)x=EQ\f(p,2)y=-EQ\f(p,2)y=EQ\f(p,2)焦半徑EQ\f(p,2)+x0EQ\f(p,2)-x0EQ\f(p,2)+y0EQ\f(p,2)-y0離心率e=1e=1e=1e=13、幾個概念：①p的幾何意義：焦參數(shù)p是焦點到準線的距離，故p為正數(shù)；②焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的EQ\f(1,4)；③方程中的一次項的變量與對稱軸的名稱相同，一次項的系數(shù)符號決定拋物線的開口方向。④通徑：2p二、典例剖析：★【題1】、拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(B)（A）（B）（C）（D）0★【題2】、．拋物線y2=2px(p＞0)上有A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三點，F(xiàn)是它的焦點，若|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列，則（A）A．x1、x2、x3成等差數(shù)列B．y1、y2、y3成等差數(shù)列C．x1、x3、x2成等差數(shù)列D．y1、y3、y2成等差數(shù)列xyOAB圖4★【題3】、在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AO)·EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BO)=0（如圖４所示）；（Ⅰ）求得重心（即三角形三條中線的交點）xyOAB圖4的軌跡方程；（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．解：（Ⅰ）∵直線的斜率顯然存在，∴設直線的方程為，，依題意得：，①∴，②③；又∵，∴，即，④由③④得，，∴；∴則有直線的方程為∴從而①可化為，∴⑤，不妨設的重心G為，則有⑥，⑦，由⑥、⑦得：，即，這就是得重心的軌跡方程．（Ⅱ）由弦長公式得；把②⑤代入上式，得，設點到直線的距離為，則，∴，∴當，有最小值，∴的面積存在最小值，最小值是．★【題4】、設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則（B）A．9 B．6 C．4 D．3★【題5】、拋物線上的點到直線距離的最小值是（）A．B．C．D．解：設拋物線上一點為(m，－m2)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A.★【題6】、已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1),B(x2，y2)兩點，則的最小值是32.解：顯然0，又＝4（）8，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。（注意聯(lián)系均值不等式?。铩绢}8】、①過拋物線y2=4x的焦點做直線L交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標是3,則|AB|=____(答案:8)②拋物線y2=2px(p>0)焦點弦AB的兩個端點的坐標是A(x1,y1),B(X2,y2),則EQ\f(y1y2,x1x2)之值是(B)A4B-4Cp2D–p2③拋物線x2=4y的焦點F和點A(-1,8),P為拋物線上一點,則|PA|+|PF|最小值是(B)A6B9C12D16④在③題中,若將條件改為A(3,1),其它不變,則是____(答案:3)⑤直線y=2x+m與圓x2+y2=1相交于A,B兩點,以x軸正半軸為始邊,OA為終邊(O為坐標原點)的角為,OB為終邊的角為,則sin(+)=____(答案:EQ\f(-4,5))★【題9】、過直角坐標平面xoy中的拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作一條傾斜角為EQ\f(π,4)的直線與拋物線相交于A，B兩點。（1）用P表示A，B之間的距離；（2）證明：∠AOB的大小是與P無關的定值，并求出這個值?！窠猓海?）焦點F（1，0），過拋物線的焦點且傾斜角為EQ\f(π,4)的直線方程是y=x-EQ\f(p,2)；設點則有：（2）由于cos∠AOB=EQ\f(EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OA)·EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OB),|EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OA)|·|EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OB)|)=∴的大小是與p關的定值，即=π-arccosEQ\f(3EQ\r(,41),41)★【題10】、已知拋物線y2=2(x+)的焦點為F，準線為l，試判斷：是否存在同時滿足以下兩個條件的雙曲線C：（1）雙曲線C的一個焦點是F，相應F的準線為l；（2）直線m垂直于x－y=0，雙曲線C截直線m所得的線段的長為2，并且截得線段的中點恰好在直線x－y=0上；若存在，求出這條雙曲線的方程；若不存在，說明理由.●解：∵y2=2(x+)；∴焦點為F（0，0），準線l：x=－1；設雙曲線C存在，其離心率為e，點（x,y)為雙曲線C上任意一點，由條件=e,得：（1－e2）x2+y2－2e2x－e2=0；又設與x－y=0垂直的直線m為y=－x+b,則雙曲線C應與m有兩個交點，設為A（x1,y1）、B(x2,y2),且|AB|=2.由得(2－e2)x2－2(e2+b)x+b2－e2=0.則(*)成立，且x1+x2=,x1x2=；又|AB|=2，所以2［()2－4()］=8；所以=1.①；又AB的中點M（）在直線x－y=0上，∴.②；由①、②解得此時（*）成立，所以滿足條件的雙曲線C存在，其方程為3x2－y2+8x+4=0.★【題11】已知AB是拋物線x2=2py(p＞0)的任一弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，L為準線.m為過A點且以EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),v)=(0,-1)為方向向量的直線.①若過A點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|=|CF|；②若EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OA)·EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OB)+p2=0（A，B異于原點），直線OB與m相交于點P，試求P點的軌跡方程；③若AB為焦點弦，分別過A，B點的拋線物的兩條切線相交于點T，求證：AT⊥BT，且T點在L上.●解：（1）如圖，設A（x1,y1）,則直線m為：x=x1,又∵y′=∴kAC=，于是AC的方程為：y-y1=(x-x1),即y=x-y1.令x=0,得y=-y1,即C（0,-y1）.由定義，|AF|=y1+,又|CF|=-(-y1)=y1+,故|AF|=|CF|.（2）設A（x1,y1）,B(x2,y2),P(x,y)；EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OA)·EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),OB)+p2=0x1x2+y1y2+p2=0x1x2+EQ\f(x12x22,4p2)+p2=0；∴x1x2=-2p2.直線OB的方程：y=①；又直線m的方程：x=x1②①×②：xy=∵x≠0,∴y=-p.故P點的軌跡方程為y=-p.（3）設A（x1,y1）,B(x2,y2),T(x0,y0).則kAT=由于AB是焦點弦，可設AB的方程為:y=kx+代入x2=2py，得：x2-2pkx-p2=0；∴x1x2=-p2,于是kAT·kBT=故AT⊥BT.由（1）知，AT的方程：y=∴y0=，即x0x1-py1=py0,同理：x0x2-py2=py0.∴AB的方程為：x0x-py=py0，又∵AB過焦點，∴-即y0=-,故T點在準線l上.t★【題12】、如圖，過拋物線x2=2y的準線上任一點P，做拋物線的兩條切線，切點分別為A、B，拋物線的焦點為F，試推斷是否存在常數(shù)，使得EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FA)·EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FB)=|EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FP)|2成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由?！窠?；設點A（x1,EQ\f(x12,2)),B(x2,EQ\f(x22,2)),∵y′=x,∴切線PA方程為；y-EQ\f(x12,2)=x1(x-x1),即y=x1x-EQ\f(x12,2)；同理有切線PB方程為y=x2x-EQ\f(x22,2)；聯(lián)立兩方程解得點P（EQ\f(x1+x2,2)，EQ\f(x1x2,2)），由于點P在準線y=EQ\f(-1,2)上，則有x1x2=-1；又焦點F（0，EQ\f(1,2)），∴EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FA)=（x1,EQ\f(x12-1,2)），EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FB)=（x2,EQ\f(x22-1,2)），點P（EQ\f(x1+x1,2)，EQ\f(-1,2)），∴EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FA)·EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FB)=x1x2+EQ\f(1,4)（x12-1）（x22-1）=-1-EQ\f(1,4)（x1+x2）2，又EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FP)=（EQ\f(x1+x2,2)，-1），∴|EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FP)|2=EQ\f(1,4)（x1+x2）2+1，從而有EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FA)·EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FB)=-|EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),FP)|2，故存在=-1滿足題設條件。高三數(shù)學第一輪總復習講義講義37直線與圓錐曲線的位置關系基本知識體系：直線與圓錐曲線的位置關系：要解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，通常把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y（或消去x）得到關于x（或關于y）的一元二次方程，再考查其△，從而確定直線與圓錐曲線的的交點個數(shù)：（1）若△<0，則直線與圓錐曲線沒有公共點；②若△=0，則直線與圓錐曲線有唯一的公共點；③若△>0，則直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點；從幾何角度來看：直線與圓錐曲線的位置關系對應著相交（有兩個交點）、相切（有一個公共點）、相離（沒有公共點）三種情況；這里特別要注意的是：當直線與雙曲線的漸近線平行時、當直線與拋物線的對稱軸平行時，屬于相交的情況，但只有一個公共點。直線被圓錐曲線截得的弦長問題：①直線與圓錐曲線有兩個交點A（x1,y1)、B(x2,y2)，一般將直線方程L：y=kx+m代入曲線方程整理后得到關于x的一元二次方程則應用弦長公式：|AB|=；或?qū)⒅本€方程L:x=EQ\f(1,k)y+t代入曲線方程整理后得到關于y的一元二次方程則應用弦長公式：|AB|=；②過焦點的弦長的求解一般不用弦長公式去處理,而用焦半徑公式會更簡捷;垂直于圓錐曲線的對稱軸的焦點弦長稱為圓錐曲線的通徑,其中橢圓、雙曲線的通徑長都為EQ\f(2b2,a),而拋物線的通徑長為2p；對于拋物線y2=2px（p>0)而言，還有如下的焦點弦長公式，有時用起來很方便：|AB|=x1+x2+p；|AB|=EQ\f(2p,sin2)(其中為過焦點的直線AB的傾斜角）直線與圓錐曲線相交的中點弦的的問題,常用的求解方法有兩種：①設直線方程為y=kx+m，代入到圓錐曲線方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關系去處理（由于直線方程與圓錐曲線方程均未定，因而通常計算量較大）；②利用點差法：例如在橢圓內(nèi)有一定點P（x0,y0),求以P為中點的弦的直線方程時，可設弦的兩端點為A（x1,y1)、B(x2,y2)，則A、B滿足橢圓方程，即有兩式相減再整理可得：EQ\f((x1+x2)(x1-x2),a2)=-EQ\f((y1+y2)(y1-y2),b2)；從而可化出k=EQ\f(y1-y2,x1-x2)=EQ\f((x1+x2),(y1+y2))·EQ\f(-b2,a2)=EQ\f(x0,y0)·EQ\f(-b2,a2)；對于雙曲線也可求得：k=EQ\f(y1-y2,x1-x2)=EQ\f((x1+x2),(y1+y2))·EQ\f(b2,a2)=EQ\f(x0,y0)·EQ\f(b2,a2);拋物線也可用此法去求解，值得注意的是，求出直線方程之后，要根據(jù)圖形加以檢驗。解決直線與圓錐曲線問題的一般方法是：①解決焦點弦（過圓錐曲線的焦點的弦）的長的有關問題，注意應用圓錐曲線的定義和焦半徑公式；②已知直線與圓錐曲線的某些關系求圓錐曲線的方程時，通常利用待定系數(shù)法；③圓錐曲線上的點關于某一直線的對稱問題，解決此類問題的方法是利用圓錐曲線上的兩點所在的直線與對稱直線垂直，則圓錐曲線上兩點的中點一定在對稱直線上，再利用根的判別式或中點與曲線的位置關系求解。5、圓錐曲線中的定點、定值及參數(shù)的取值范圍問題：①定點、定值問題：通常有兩種處理方法：第一種方法是從特殊入手，先求出定點（或定值），再證明這個點（值）與變量無關；第二種方法是直接推理、計算；并在計算的過程中消去變量，從而得到定點（定值）。②關于最值問題：常見解法有兩種：代數(shù)法與幾何法。若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形的性質(zhì)來解決，這就是幾何法；若題目中的條件和結論難以體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、函數(shù)的單調(diào)性法等。③參數(shù)的取值范圍問題：此類問題的討論常用的方法有兩種：第一種是不等式（組）求解法根據(jù)題意結合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式（組）再得出參數(shù)的變化范圍；第二種是函數(shù)的值域求解法：把所討論的參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求得參數(shù)的變化范圍。典例剖析：★【題1】、過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（）A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有無窮多條D．不存在解答：的焦點是(1，0)，設直線方程為(1)；將(1)代入拋物線方程可得，x顯然有兩個實根，且都大于0，它們的橫坐標之和是，選B★【題2】、已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為（O為原點），則兩條漸近線的夾角為（D）A．30oB．45oC．60oD．90o[解析]:雙曲線:則,所以求得a=b,所以雙曲線為等軸雙曲線,則兩條漸進線夾角為900,★【題3】、設直線關于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B、，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數(shù)為（）（A）1（B）2（C）3（D）4解：直線關于原點對稱的直線為：2x+y－2=0，該直線與橢圓相交于A(1,0)和B(0,2)，P為橢圓上的點，且的面積為，則點P到直線l’的距離為，在直線的下方，原點到直線的距離為，所以在它們之間一定有兩個點滿足條件，而在直線的上方，與2x+y－2=0平行且與橢圓相切的直線，切點為Q(,)，該點到直線的距離小于，所以在直線上方不存在滿足條件的P點.★【題4】、過雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_________．解：由題意可得,即c2-a2=a2+ac,化成關于e的方程e2-e-2=0,解得e=2★【題5】、如圖，點、分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上