2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點突破第7章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積考點4幾何體的體積

幾何體的體積角度1直接利用公式求體積(2024·遼寧遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體摸底)底面半徑為3，表面積為24π的圓錐的體積為(A)A．12π B．36πC．3eq\r(55)π D．9eq\r(55)π[解析]設(shè)圓錐的母線長為l，因為圓錐的底面半徑為3，表面積為24π，所以S表＝9π＋eq\f(1,2)×2π×3×l＝24π，解得l＝5，所以圓錐的高為h＝eq\r(l2－r2)＝4，所以，圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)×9π×4＝12π.故選A.角度2割補法求體積(2024·福建漳州質(zhì)檢)如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是矩形，EF<AB，EF∥AB，若AB＝25，AD＝10，且底面ABCD與其余各面所成角的正切值均為eq\f(3,5)，則該五面體的體積是(C)A．225 B．250C．325 D．375[解析]過E作EO⊥平面ABCD于O，過O作GH∥BC分別交AB，CD于G，H，記BC的中點為M，連接EM，OM，同理作出FJ，F(xiàn)I，IJ，如圖，由題意可知∠EMO、∠EGO分別為相應(yīng)面與底面所成的角，即tan∠EMO＝tan∠EGO＝eq\f(3,5)，∴OG＝OM＝5，從而OE＝3，JG＝15，∴五面體的體積V＝VF－ADIJ＋VFIJ－EGH＋VE－BCHG＝S△EGH·JG＋2×eq\f(1,3)SBCHG·OE＝225＋100＝325.故選C.[思考]本節(jié)考點3例2中陀螺的體積為eq\f(7π,3).角度3等體積法求體積(2024·浙江浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考)生活中有很多常見的工具有獨特的幾何體結(jié)構(gòu)特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構(gòu)如圖所示的五面體ADE－BCF，其中四邊形ABFE與CDEF都為等腰梯形，ABCD為平行四邊形，若AD⊥平面ABFE，且EF＝2AB＝2AE＝2BF，記三棱錐D－ABF的體積為V1，則該五面體的體積為(C)A．8V1 B．5V1C．4V1 D．3V1[解析]因為ABCD為平行四邊形，所以S△ABD＝S△BCD，所以VF－BCD＝VF－ABD＝V1.取EF的中點G，連接AG，DG，由題意知VD－AEG＝VD－AGF＝VD－ABF＝V1，所以該五面體的體積V＝VD－AEG＋VD－AGF＋VD－ABF＋VF－BCD＝4V1.故選C.名師點撥：求空間幾何體的體積的常用方法【變式訓(xùn)練】1．(2024·湖南長沙質(zhì)檢)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，現(xiàn)將△ABD沿BD折起成△A1BD，折起過程中，當(dāng)A1B⊥CD時，四面體A1BCD體積為(B)A．2 B．eq\f(3\r(7),2)C．3eq\r(7) D．eq\f(9\r(7),2)[解析]由A1B⊥A1D及A1B⊥CD，故A1B⊥平面A1CD，所以A1B⊥A1C，即此時△A1BC為直角三角形，又由A1B⊥CD及BC⊥CD，于是CD⊥平面A1BC，所以此時四面體A1BCD的體積為eq\f(1,3)×3×eq\f(1,2)×3×eq\r(7)＝eq\f(3\r(7),2).故選B.2．(2023·全國甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為(A)A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3[解析]取AB中點E，連接PE，CE，如圖，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，又PE，CE?平面PEC，PE∩CE＝E，∴AB⊥平面PEC，又PE＝CE＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，PC＝eq\r(6)，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，所以V＝VB－PEC＋VA－PEC＝eq\f(1,3)S△PEC·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×2＝1，故選A.3.(2024·江西九校聯(lián)考改編)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的體積