2020-2021學(xué)年廣州市番禺區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年廣州市番禺區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知a>0,若不等式-a|+3%W0的解集為W-1},則。的值為（）

A.；B.1C.2D.|

22

2.命題“VX6/?,若%>1,則X>0”的否命題是（）

A.V%eR,若％<1,則％<0B.BxE.R,若x<1,則％<0

C.V%6/?,若％>1,則％<0D.3xG/?,若%>1,貝氏<0

3.等差數(shù)列0中，已知前15項的和叵1,則岡等于（）

A.0B.12C.0D.6

4.設(shè)則“（x+l）（x—2）>0”是“國7儼的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.一名小學(xué)生的年齡和身高（單位：CM）的數(shù)據(jù)如下：

年齡X6789

身高y118126136144

由散點圖可知，身高y與年齡x之間的線性回歸直線方程為歹=8.8%+8,預(yù)測該學(xué)生10歲時的

身高為（）

參考公式：回歸直線方程是：y=bx+a,a=y-bx-

A.154B.153C.152D.151

6.在三棱錐P—ABC中，PA_L平面ABC,PA=AB=BC=AC,M是PC上一點，CM=2MP,則

直線BM與平面ABC所成角的正切值為（）

A.晅B.五C.|D.3

723

x—2

7.已知平面區(qū)域4={（%y）|y42],D2={（xfy）\kx-y+2<0,fc>0},在區(qū)域區(qū)內(nèi)隨機

-y<0

選取一點M,且點M恰好在區(qū)域。2上的概率為P，若0<pW：,則k的取值范圍為（）

4

1

A.k>2B.0</c<1C.k>lD.0<fc<-

22

8.已知橢圓與雙曲線竟-?=1的焦點相同，且短軸長為6,則此橢圓的方程為（）

寸2..2寸2,,2-,2-.2

A.L+y2=iB./+匕=1C.二+匕=1D.二+匕=1

575259925

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.已知拋物線C：丫2=8%的焦點產(chǎn)，圓加：（％—2y+y2=%過9的直線（與拋物線c和圓M從上

到下依次交于4P，Q，B四點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點4與點B的橫坐標(biāo)之積為定值

B.|4B|的最小值為10

C.|4P|+4|BQ|的最小值為13

D.以線段4B為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切

10.下列說法正確的是（）

A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位數(shù)是6

B.已知一組數(shù)據(jù)2,3,5,%,8的平均數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的方差是5.2

C.用分層隨機抽樣時，個體數(shù)最多的層里的個體被抽到的概率最大

D.若X],x2>...?Xio的標(biāo)準(zhǔn)差為2，則3刀1+1,3%2+1>■-->3xio+1的標(biāo)準(zhǔn)差是6

11.設(shè)正實數(shù)a,b滿足a+6=1,則下列選項中，正確的有（）

A.7ab<5B.^+-<4C,y[a+y[b<V2D.a2+b2>-

12.在矩形28CD中，AB=1,AD=2,△ABD沿對角線BD翻折，形成三棱錐4一BCD下列判斷正

確的是（）

A.UAC=V3W是“AB1CD”的充分條件

B.aAC=V3"是"AB1CD”的必要條件

c.當(dāng)AC=百時，三棱錐a-的體積為逐

6

D.三棱錐人-BC。外接球的表面積不是定值

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

x—y<0,

13.已知％,y滿足約束條件工之0,貝！Jz=%+y的最大值為.

y<2

14.在正項等比數(shù)列｛a九｝中，a3=1,a7=9,則的=.

15.在空間直角坐標(biāo)系中，點(H1，缸寫關(guān)于第’軸的對稱點是:獺苒-瀚:，則點P：E%鼠磁到坐標(biāo)原

點。的距離|闔榜|=.

16.雙曲線C的一個焦點到一條漸近線的距離等于半實軸長，則雙曲線的離心率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知圓C：%2+y2=r2,直線/：ax+by=r2,分別根據(jù)下列條件，判斷直線Z與圓C具有怎樣

的位置關(guān)系：

(1)點P(a,b)在圓C上;

(2)點P(a,b)在圓C外.

18.已知等比數(shù)列｛&J和等差數(shù)列｛,｝均是首項為2,各項為正數(shù)的數(shù)列，且多=4a2,a2b3=6.

(I)求數(shù)列｛廝｝、｛%｝的通項公式；

1

(H)求數(shù)歹K7一｝的前幾項和SnOGN*);

DnDn+l

(HI)求使a如<0.001成立的正整數(shù)n的最小值.

19.已知函數(shù)/(%)=4/—4ax+(a2—2a+2).

(1)若a=1,求/(x)在閉區(qū)間［0,2］上的值域；

(2)若/Q)在閉區(qū)間［0,2］上有最小值3,求實數(shù)a的值.

20.如圖，四棱錐P—4BCD中，P4_L平面4BCD,四邊形4BCD為直角梯形，AD1DC,DC//AB,

PA=AB=2,AD=DC1.

(1)求證：PC1BC；

(2)E為PB中點，F(xiàn)為BC中點，求四棱錐?！狤FCP的體積.

B

21.為了參加數(shù)學(xué)選拔賽，某高級中學(xué)對高二年級理科、文科兩個數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行了賽前

模擬測試，成績（單位：分）記錄如下：

理科：79,80,81,79,94,92,85,90

文科：94,80,90,81,73,84,90,80

（1）計算理科、文科兩組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差，并從統(tǒng)計學(xué)的角度分析，哪組同學(xué)在此次模擬測

試中發(fā)揮更好；

（2）若在成績不低于90分的同學(xué)中隨機抽出2人進行培訓(xùn)，求抽出的2人中至少有1名理科組同學(xué)的概

率.

22.（本題滿分12分）已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M（-3,巾）到焦點的距

離為5,求拋物線的方程和小的值.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：

本題考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是由已知條件知x<0,從而解絕對值不等式即可.

解：由題意可得-a\<一3%的解集為<-1}.

而由-a|<-3%,可得3%<x-a<-3%,求得％<-p

a_

；?-5=—41,a=2,

故選：C.

2.答案：A

解析：解：否命題的條件做條件，否命題的結(jié)論做結(jié)論的命題是原命題的否命題，

“vxeR,若％>1,貝阮>0"

的否命題為：VxGR,若久W1,則xW0,

故選：A.

根據(jù)命題的否命題的規(guī)則進行求解，就是否定條件做條件，否定結(jié)論做結(jié)論的命題；

本題主要考查命題的否命題的法則，是一道基礎(chǔ)題，注意區(qū)別否命題與命題的否定的區(qū)別.

3.答案：D

解析：試題分析：由等差數(shù)列的前n項和公式得國，所以兇，又兇，所以選D

考點：等差數(shù)列的前n項和公式

4.答案：A

解析：解：由(％+1)(%-2)>0得x>2或％<-1,

由|x|>1得久>1或x<-1,

則“Q+i)(x-2)>o”是“田>r的充分不必要條件，

故選：A.

根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

5.答案：B

解析：

先計算樣本中心點，進而可求線性回歸方程，由此可預(yù)測該學(xué)生10歲時的身高.

本題考查回歸分析的運用，考查學(xué)生的計算能力，確定線性回歸直線方程是關(guān)鍵.

118+126+136+144

解：由題意，八千=7.5,y-----------=131

4

代入線性回歸直線方程為夕=8.8%+可得131=8.8X7.5+%,?,*=65

.Jy=8.8%+65

???x=10時，丁=8,8X10+65=153

故選B.

6.答案：A

解析：解：設(shè)PA=3,過點M作MN〃尸4交4C于點N,連接BN,

…一,…MNCNCM2

-MN//PA,—=—=—=

xL*iO

???MN=2,CN=2,AN=1,

在4ABN中，BN=yjAN2+AB2-2AN-AB-cos^NAB=

Jl2+32-2xlx3x|=V7,

???PA_L平面ABC,MN//PA,MN_L平面ABC,

AMBN是直線BM與平面ABC所成角，

MN22V7

???tan乙MBN=—=-p=——.

BN^77

故直線BM與平面ABC所成角的正切值為處.

7

故選：A.

設(shè)PA=3,過點M作MN〃P4交AC于點N,連接BN,推導(dǎo)出是直線與平面ABC所成角,

由此能求出直線BM與平面4BC所成角的正切值.

本題考查線面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，是中檔題.

7.答案：B

解析：解：依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合久所表示的平面區(qū)域是三角形與4所表示的平面

區(qū)域是陰影部分的三角形（如圖），

由圖可知01=|x4x4=8,

由于0<p4熱啥

所以0<。2w2.由于直線恒過點(0,2),

所以直線依-y+2=0與直線x=-2的交點在(—2,2)與(—2,0)之間，

則kx—y+2<0的斜率k>0的取值范圍是：(0,1].

故選B

本題考查的知識點是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出。1、對應(yīng)面積的大小，然后將其代入幾何概

型的計算公式進行求解.在解題過程中，注意三角形面積的應(yīng)用.

本題考查的知識點是二元一次不等式(組)與平面區(qū)域、幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出。對應(yīng)面積的

大小，并將其面積代入幾何概型計算公式進行求解.幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，

可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān).

8.答案：C

解析：

本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意先求出雙曲線的焦點坐標(biāo).

根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，分析可得橢圓的焦點在x軸上，且c=4,

又由橢圓的短軸長可得b的值，由橢圓的幾何性質(zhì)計算可得a的值，將a、b的值代入橢圓方程即可得

答案.

22

解：根據(jù)題意，雙曲線上—匕=1的焦點為(±4,0),

124

又由橢圓與雙曲線的焦點相同，則橢圓的焦點在%軸上，且c=4,

又由橢圓的短軸長為6,則b=3,

則小=b2+c2=25,

故橢圓的方程為：三+匕=1.

259

故選C.

9.答案：AD

解析：解：拋物線C：V=8x的焦點?(2,0),準(zhǔn)線方程為久=-2,

設(shè)為)，3(久2，、2)，直線，的方程為X=my+2,

與拋物線的方程聯(lián)立，可得y2-8my-16=0,

可得丫1+火=8m,乃力=一16，

則/七=絲"=竺*=4,故A正確；

2

\AB\=%1+冷+4=m?+y2)+8=8m+8>8,當(dāng)7n=0時，|AB|取得最小值8,故B錯誤；

由|4P|+4\BQ\=\AF\-\PF\+4(|BF|-|FQ|)=\AF\+4|BF|-\PF\-4\QF\=/+2+4(x2+

2)-i-2

J2

=+4x2+y>2j4%i%2+y=日當(dāng)且僅當(dāng)％i=2%2，取得等號，

即有|4P|+4|BQ|的最小值為弓，故C錯誤；

由|4B|=8+8爪2,AB的中點的橫坐標(biāo)為生署=匕手=2+462,

可得4B的中點到準(zhǔn)線的距離為2+4血2+2=4+4巾2=/43|,

則以線段4B為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，故D正確.

故選：AD.

由聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運用韋達定理，可判斷4由弦長公式，求得最小值，可判斷B；

由拋物線的定義和基本不等式求得最小值，可判斷C；由線段的中點坐標(biāo)和弦長公式，結(jié)合直線和圓

的位置關(guān)系，可判斷D.

本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力、

推理能力，屬于中檔題.

10.答案：BD

解析:解：，10X60%=6,

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位數(shù)為第六位和第七位的平均數(shù)，即等=6.5,故

A選項錯誤，

???數(shù)據(jù)2,3,5,x,8的平均數(shù)為5,

，2+3+5+%+8=5x5,即％=7,

??.數(shù)據(jù)2,3,5,7,8的方差是=故2選項正確，

用分層隨機抽樣時，每層的個體被抽到的概率相同，故C選項錯誤，

,%2，…，*10的標(biāo)準(zhǔn)差為2，方差為4,

.--3%1+1,3X2+1,3久io+1的方差為32x4=36,即標(biāo)準(zhǔn)差為6,故。選項正確.

故選：BD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的概念，即可判斷4選項，利用平均數(shù)和方差的公式，即可判斷B選項，

結(jié)合分層抽樣的概念，即可判斷C選項，運用隨機變量函數(shù)線性方差公式，即可判斷。選項.

本題考查了分層抽樣的概念，以及平均數(shù)與方差公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：ACD

解析:

本題考查的知識要點：不等式的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及

思維能力，屬于一般題.

直接利用不等式的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用判斷4B、C、。的結(jié)論.

解：對于2：由于正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則a+b22V^，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時

等號成立，故A正確；

對于B：工+工=（a+b）?+工）=2+^+222+2陌=4,當(dāng)且僅當(dāng)士=，即a=b=：時等號成

立，故2錯誤；

對于C：若論+傷<&，則a+b+2VHF<2,由于a+b=l,所以而三|,由4可知正確，故C

正確；

對于D：由于2（a2+爐）2（a+b）2,所以a2+b22|,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=之時等號成立，故。正確；

故選：ACD.

12.答案：ABC

解析：解：若AC=陋,在A4BC中，AB=1,BC=2,

可得筋+心=心，即2BJ.4C,

XABLAD,ACCtAD=A,則AB1平面4CD,

而CDu平面ACD,貝!MB_LCD；

若AB_LC。，由ABJ.A。，ADC\CD=D,

則4B1平面ACD,ACu平面ACD,可得4B1AC,

而4B=1,BC=2,可得2占=-4-1=百,

故A、8都正確；

當(dāng)4。=百，可得AaCD為C為直角頂點的直角三角形，

可得匕-BCD=VB-ACD=|xlxixlxV3=^故C正確；

取BD的中點。，連接04,0C,由AABD和ABCD均以BD為斜邊的直角三角形，

可得。4=OB=0C=0D=-BD=—.

22

可得。為三棱錐a-BCD的球心，貝口球=4TTR2=47r嗎2=5兀，故。錯誤.

故選：ABC.

考慮4C=g,由勾股定理的逆定理和線面垂直的判定和性質(zhì)，推得4B1CD；

再由48，。。，結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)，推得48，AC,再由勾股定理可得AC=百，即可判定

A,B；

再由三棱錐的體積公式，計算可判斷C；

取BD的中點0,由等腰三角形的性質(zhì)可得。為三棱錐的外接球的球心，求得球的半徑R,由球的表面

積公式計算可判斷D.

本題考查命題的真假判斷，主要是空間線線的位置關(guān)系和棱錐的體積、棱錐的外接球的表面積求法，

考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題.

13.答案：4

(x-y<0,

解析：解：由x,y滿足約束條件卜20,作出可行域如圖，

ly<2

聯(lián)立3二;解得4(2,2).

由圖可知，使目標(biāo)函數(shù)z=x+y取得最大值最大值的最優(yōu)解為

點4的坐標(biāo)，

???z=%+y的最大值為：4.

故答案為：4.-5

由約束條件作出可行域，結(jié)合圖形得到使目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最優(yōu)解，代入坐標(biāo)求得2=%+、的最

小值.

本題考查了簡單的線性規(guī)劃，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，解答的關(guān)鍵是正確作出可行域，是

中檔題.

14.答案：3

解析：解:在正項等比數(shù)列｛即｝中，an>0,

,?*CI3=1,=9,

???al=a3a7=1x9=9,

則=3,

故答案為：3

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.

本題主要考查等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

15.答案：麻

解析：試題分析：兩點關(guān)于y軸對稱，則兩點的橫坐標(biāo)，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，所以由點

（T哉題關(guān)于裁軸的對稱點是:詢「廿一期可得做=通盤=成沖印:二勒姆；甩吸，「帆|=0

考點：空間點對稱的位置關(guān)系及空間兩點間距離

點評：點值阪熄關(guān)于X的對稱點值3，關(guān)于y軸的對稱點繩勒;f3，關(guān)于z軸的對稱點

《一繩-4城，若域嗎葉痂兩次；.蹴寓>；癡邈）則空間H讖兩點間的距離公式為

碳=43-漏雪,地蒯一離f土值一遇?’容易題

16.答案:V2

解析：解：根據(jù)題意，假設(shè)雙曲線的焦點在%軸上，且其方程為：m-旨=1,

a2bz

有c=Va2+b2y

其焦點坐標(biāo)為（土Va2+爐,0）,漸近線方程y=±￡x,SPbx+ay=0

焦點到漸近線的距離d=\/az+bz=b,

又由該雙曲線的焦點到漸近線的距離等于半實軸長，則有a=b,

則c=yja2+b2=V2a,

則該雙曲線的離心率e=：=魚，

故答案為：V2.

根據(jù)題意，假設(shè)雙曲線的焦點在X軸上，設(shè)出方程，由標(biāo)準(zhǔn)方程可得其焦點坐標(biāo)以及漸近線方程，進

而由點到直線距離公式可得焦點到漸近線的距離d=b,結(jié)合題意可得a=b,由雙曲線的性質(zhì)，進

而由離心率公式可得答案.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的焦點到漸近線的距離.

2

17.答案：解：圓心C到直線/的距離d=W由，

(1)因為點P(a,b)在圓C上，所以可得a?+b2=r2,

所以圓心C到直線/的距離&=r,所以直線/與圓相切；

(2)因為點P(a,b)在圓C外,所以口2+爐>「2,

所以圓心C到直線/的距離d<r,

所以直線I與圓相交.

解析：求出圓心C到直線I的距離d的表達式，再由P在圓上，圓外求出a,b與r的關(guān)系，進而求出d與

r的關(guān)系，判斷出直線Z與圓的位置關(guān)系.

本題考查判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，屬于中檔題.

18.答案：解：(1)設(shè)｛曲｝的公比為4,｛匕｝的公差為d,d>0.

vb2=4a2,a2b3=6.二2+d=4X2q,2qX(2+2d)=6,

解得d=2,q=|.

n-2

5=2XC)nT=(|),bn=2+2(n-1)=2n.

,i_i___5_、

f

(bnbn+12n(2n+2)4mn+V

_11.11..11x_11X_n

Sc=-(1-----1---------F…H-----------)=-f1-------)=-----，

n714v223nn+174'n+174n+4

(川)由(I"導(dǎo)死n=a2n=(｝2n-2,

vabn<0,001,

即(｝2n-2<0,001,

22n-2>1000,

???2n-2>10,

即九>6,

.??滿足題意的正整數(shù)律的最小值為6.

解析：(I)利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式即可得出.

(H)利用裂項求和即可求出.

(川)由(1)得a3uaznuG)2n-2,利用與n<0.001,化簡即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

19.答案：解：(D/Q)=4/—4久+1=4(%—|)2,

%=1時，取得最小值0,%=2時，取得最大值9,

f。)在閉區(qū)間［0,2］上的值域為［0,9］；

(2)/(%)=4?！?+2—2a,

2

①當(dāng)/<0即a<0時，f(x)min=f(0)=a—2a+2=3,解得：a=1—四或a=1+四(舍)；

@0<^<2即0<a<4時，=(?)=2—2a=3,解得：a=-“舍);

2

③;>2即a>4時，f(x)min=/(2)=a-10a+18=3,解得：a=5+國或a=5-g(舍).

綜上可知：a的值為1-式或5+VTU.

解析：本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查分類討論的思想方法

和運算能力，屬于中檔題.

(1)求出函數(shù)的對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到值域；

(2)將/Q)配方，求得對稱軸，討論區(qū)間和對稱軸的關(guān)系，運用單調(diào)性，可得最小值，解方程可得a的

值.

20.答案：(1)證明：如圖所示，

???PA1平面4BCD,BCu平面ABCD,

PA1BC,D,,、5

連接AC,???4。=CD,AD1CD,/J-'^

AC=V2,----------------------—

由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcos45°=2,

BC=V2,又AB=2,

AB2=AC2+BC2,

BC1AC,

：.BCJ_平面PAC,又PCu平面PAC,

PC1BC.

(2)解：S四邊形PEFC=^SAPBC，

解析：(1)如圖所示，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：PA1BC,由2爐=AC2+8c2,可得BC1AC,

再利用線面垂直的判定定理即可證明.

Q)由于S四邊形PEFC=04PBC，可得力-PEFC==[%-BCD=]XX