復(fù)變函數(shù)與積分變換考試題庫

三.（8分）r=e"siny為調(diào)和函數(shù)，求p的值，并求出解析函數(shù)/（z）=〃+2。

三（8分）解：1）在1<|z|<2

■尸（-先（步:￡（夕）=工募+舁-4分

Z-/Z-I乙”=0乙Z〃=oZ〃=0乙Z

2）在l<|z-2|<oo

1111]81

f（z）=—（i+—--）=—!—（1+----------------：—）=—5—+y（-ir—r

z-2z-2+1z-2.2）（1?1）z-2?=0（z-2）"-

z-2

分

四.（8分）求/（z）=「]）]2）在圓環(huán)域1<|z|<2和1<卜—2|<+00內(nèi)的洛朗展開式。

四.（8分）解:被積函數(shù)分母最高次數(shù)比分子最高次數(shù)高二次，且在實(shí)軸匕無奇點(diǎn)，在上半平面

有一個(gè)一級極點(diǎn)-2+i,故

ixiz

f—z-------dx=2mRes[---------2+i]-------3分

X+4x+5Z+4z+5

二2疝lim（z-（-2+z））-................=—（cos2-zsin2）-------6分

zT—2+i+4z+5e

故「，2cosx公=2Re「一里——dx=—cos2--------8分

x+4x+5人力尤+4x+5e

2cosx,

----dxo

Cx+4x+5

五.（8分）解:f'（z）=-?：7子/-一一3分

C（J-Z）

由于1+i在|z|=3所圍的圓域內(nèi)，故

r（l+i）=信:;1?款J=2疝（3/+71iy=2萬（—6+13/）--8分

六.（8分）設(shè)〃力=’3,+74+1必,其中c為圓周|z|=3的正向，求

c

六.（8分）解:利用指數(shù)函數(shù)映射的特點(diǎn)以及上半平面到單位圓的分式線性映射，可以得到

n

p—az_0

f（）=il>———（映射不唯一，寫出任何一個(gè)都算對）

ze一Z—

e“-2

七.（8分）求將帶形區(qū)域｛z[O<Im（z）<?映射成單位圓的共形映射。

七.（8分）解:對方程兩端做拉氏變換：

3

$2r（s）-sy（O）-/（O）+（sr（s）7（0））—37（5）=--

5+1

2+1

代入初始條件，得y（s）=..........4分

351

31

=+=24.+_8_+_8_

(s+l)(s+3)(s-1)(s+3)(s-l)5+15-1s+3

1.(5分)請依次寫出z的代數(shù)、兒何、三角、指數(shù)表達(dá)式和z的3次

方根。

z=x+iy=re'3=r(cos0+zsin0)

,O+lkTT

l-----------

z=re3

z：r,Argz

2.(6分)請指出指數(shù)函數(shù)卬=/、對數(shù)函數(shù)卬=lnz、正切函數(shù)卬=12屋

的解析域，并說明它們的解析域是哪類點(diǎn)集。

指數(shù)函數(shù)卬=/、對數(shù)函數(shù)卬=lnz、正切函數(shù)卬=tanz的解析域

分別為：整個(gè)復(fù)平面,無界開區(qū)域；除去原點(diǎn)及負(fù)半實(shí)軸，無界開區(qū)

域，；除去點(diǎn)z=左萬+工，無界開區(qū)域。

2

3.(9分)討論函數(shù)/(Z)=/+iy2的可導(dǎo)性，并求出函數(shù)“Z)在可導(dǎo)

點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。另外，函數(shù)〃z)在可導(dǎo)點(diǎn)解析嗎？是或否請說明理由。

IEdu_dv_du_du_/皿

解：—=2%—=2y—=0—=0,可做

dxdydydy

所以％=y時(shí)函數(shù)可導(dǎo)，且廣(Z)L=2X。

因?yàn)楹瘮?shù)在可到點(diǎn)的任一鄰域均不可導(dǎo)，所以可導(dǎo)點(diǎn)處不解析。

4.(6分)已知解析函數(shù)/(z)=〃+iv的實(shí)部〃=)，3一3/>,求函數(shù)

〃z)=“+iv的表達(dá)式,并使〃0)=0。

,/u=y3-3x2y

du(dvdu_o2dv

——=一6孫=——,——=3y2-3x=

dxdydydx

v=x3-3xy2+c

解：/(2)=y3-3x2y+i(x3-3xy2)+ic

v/(0)=0

c=0

/(z)=V-3打+5-3q2)

5.(6X2)計(jì)算積分:

其中C為以z。為圓心，「為半徑的正向圓周，〃為正整數(shù);

(2)f————dZo

樂3(Z-1)2(Z+2)

解(1)設(shè)C的方程為2=10+廠/加)，則

1?j

rdz=產(chǎn)ireo

嚴(yán)一]產(chǎn)%"

而i

=L—

=t.(cos16-isin〃，)d6

所以i—"17=[-^==加1(當(dāng)〃=0時(shí)。

卜(Z-Z。嚴(yán)卜Z-Z。

[—―~7=0(當(dāng)〃K0時(shí))。

1("Zo嚴(yán)

(2)f———dz

%=3(z-1)2(Z+2)

fe?「e:

(z-(z+2)J*i=%(%-i)2(%+2)

e’

=f2-dz

晨吆(Z-If

ez

=瓦i?(——y+2TCi-

z+2z=l?

=-e7ti+-e-27ti=-(2e+e-2>i.

999

6.(5X2)分別在圓環(huán)(1)0<|z|<l,(2)0<|z-l|<l內(nèi)將函數(shù)

/(z)=」丁展為羅朗級數(shù)。

z(l—z)2

1

解：(1)

(一)21

=￡〃z"(IZ|<1),

M=0

00

1n-\

/(z)=-=Z〃MZ(|z|<1).

(一)2n=l

1?

n

⑵-—i—=y(-i)(z-ir(Iz-1|<D.

zl+z-l士

i

/(z)=￡(T)"(Z-D"

22

z(l-z)U-l)?=0

=f(T)"(z—l)"-2(|z-l|<1).

”=0

7.(12)求下列各函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。

(1)/(z)=^^；(2)〃z)=^—;(3)/(z)=ze±.

zzsinz

解：(1)???z=0為/(z)的可去奇點(diǎn),

Res[/(z),0]=0;

(2)z=0為〃z)的三階極點(diǎn),z=E(%=±L±2,…)為/(z)的一階極

點(diǎn),

口?！阿?，0】fW“J,

(7)1

口。"⑶，

R]=2zsm+z~s—(E)2’

(3)z=l為〃z)的本性奇點(diǎn),

ze；T=(z-l+l)y-----~

七〃!(z-l)"

3

Res[/(z),l]=c_]=-o

8.(7)分式線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的映照特點(diǎn)各是什么。

分式線性函數(shù)具有保角性、保圓性、保對稱性的映照特點(diǎn)，

指數(shù)函數(shù)具有將帶形域映照為角形域的映照特點(diǎn)，

惠函數(shù)具有將帶形域映照帶形域的映照特點(diǎn)。

9.(6分)求將上半平面Im(z)AO保形映照成單位圓|w|Yl的分式

線性函數(shù)。

解：卬=J?三二(Im(z0)〉O)

Z—0

10.(5X2)(1)己知F[f(t)]=F((o),求函數(shù)f(255)的傅里葉變換;

(2)求函數(shù)F3)=-------------的傅里葉逆變換。

(3+i69)(5+i69)

]i-tw/

解(1)???F[f\at+b)]=—e^F(-),

|a|a

18

F[/(2/-5)]=-e2F(y)；

(2),/F(co)-——-----------

3+i<y5+i(y

3+ia)5+1。

_e_3,-e_5f,r>0,

0,t<0;

_I

11.(5X2)(1)求函數(shù)")=6，”2)的拉普拉斯變換；

(2)求拉普拉斯逆變換Lt—一]?

s2+45+5

解(1)F(s)=e4L[e2(,~2)u(t-2)]=e4e_2sL[e2/?(/)]

e2(2-5)

5-2

/\1S-i「S+2-21-2trS-2r

(2)L'r-------=L1-----；—]=eL——

s2+4i+5(i+2)2+1s2+l

=""{L'[^-]-2L'[^-]}

5+15+1

-2f

=e(cosr-2sinz)o

12.(6分)解微積分方程：y'(t)+1jv(r)dr=1,y(0)=0,

解：?/$y(s)+-y(s)=-,y(s)=^—,y(r)=sint。

sss+1

三解答題（每題7分）

1）設(shè)f（z）=x2+axy+by2-i（cx2+dxy+y2）□問常數(shù)a也c,d為何值時(shí)（（z）

在復(fù)平面上處處解析？并求這時(shí)的導(dǎo)數(shù)。

解：=2x+ay,—=ax+2by,—=2cx+dy,—=dx+2y,(2分)則

dxdydxdy

du_dv

對任意的(x,y)有<:x出入即(2x+@=dx+2y(]分)可得:

du_dv[ax+2hy=-2cx-dy

dy~dx

a=d=2,b=c=—l(2分).這時(shí)

f'(z)=—+i—=2(x+y)-2i(x一y)或2z-2iz(2分)

OXox

2)求(-1?的所有三次方根。

A7J,2Z+12Z+1八]。///k\nTt1,.

解：(一1>=cos----兀+isin-----兀Ar=0,1,2(4分%w0=cos—+isin—=—+1

...15兀..57i1.V-

=cos7i+isin7i=-1,=cos—+isin——=--i—(3分)

23322

3.卜2dz其中。是z=0到z=3+4i的直線段。

解:原式=［卜2M+4叱爭武史普（2分）或

-344分4丫'1分4

原式=1》2（1+字）3ch=。+不）3￡=9（1+不）3（2分）

4.fe'coszdzo（積分曲線指正向）

g=2

解:原式=0.（7分）

5f也（積分曲線指正向）

,%=2Z（Z+1）（”3）

解:原式=2尢{Res",0]+Res",—1]}（3分）

11（2分）疝

=2兀皿沁---------4-lim----------]=-----（2分）

e（z+l）（z-3）Z"Z（Z-3）」6

6將〃z）=--一在l<|z|<2上展開成羅朗級數(shù)。

（z-l）（z-2）

11產(chǎn)-1

解：原式=—分）=一：2徐+工]（3+3分）

Z—2Z—1M=o2Z

7.求將單位圓內(nèi)|z|<l保形映照到單位圓內(nèi)|訓(xùn)<1且滿足/（；）=0,

arg/'（；）=5的分式線性映照。

1

解：設(shè)卬=/（z）=e1"——看（4分），貝ljr（g）=e'"&ne=3（2分）,故

w^i—~^（2分）.

2-z

四解答題（1,2,3題各6分，4題9分）

1.求/"）=[,（人為正實(shí)數(shù)）的傅氏變換。

e-t>0

k,

解：尸（⑼=Cee-3df（2分）=^-庫（*+必）工8=J.

Nk4-i6yk+i①

1.設(shè)f（t）=t2+te~'+e2'sin6t+6（t）,求/（f）的拉氏變換。

解：e+Sir正品+】（E分）

3）設(shè)F（s）=*y,求尸（s）的逆變換。

sG+1）

I1a分）

1I1

解：L[F（5）]=L[-^]-L[-r^-]=t-smt（2.5,2.5分）

4.應(yīng)用拉氏變換求解微分方程

y"+2y'-3y=e~'

7（0）=0,y（o）=i

解:因?yàn)閟2y（s）—sy（0）—y，（0）+2[sy（s）-y（0）]-2y（s）=—,（3分）所以

5+1

5+20分)311八、

y（s）=-—-(2分)

(5-1)(5+1)(5+3)8(5-1)4(5+1)8(5+3)

分)或⑺」」分)

y(O--e'--e--e3(2ychf+2sh(2

848888

二、（10分）

已知v(x,y)=-g/+gy2,求函數(shù)w(x,y)使函數(shù)/(z)="(x,y)+iv(x,y)為解

析函數(shù),且式0）=0。

融??譏dlidvdu.

解：?—=-x=------—=y=—..u=xy+c（5分）

dxdydydx

"")='(一#1

+-y2\+xy+c

?r/(o)=oc=0(3分)

f(z)=xy-^(x2-y2)=-^(x2-y2+2xyi)=-^z2（2分）

三、(10分)應(yīng)用留數(shù)的相關(guān)定理計(jì)算

dz

z6(z-l)(z-3)

21

解:原式二（2分）2力2Res，

z6(z-l)(z-3)ZiZi=0z2=1

A=1

(2分)=-2力2Re1

、z?=3=00

k=3z1z-l)(z-3)

1…分）忐

Res,3

?(z-l)(z-3)

(2分)Res??\----------y,0=0

----------------------------------,00

?(z-l)(z-3)三(-1)(—3)z

Lzzz」

???原式二(2分)2mX-----=-----

36X236

四、計(jì)算積分（5分義2）

*z(z-l)

C：繞點(diǎn)i一周正向任意簡單閉曲線。

Jyzf

2「]

1.解：原式=27ri￡Res------,zk(3分)zi=OZ2=l

7^z(z-l)

2<-1+1]=0（2分）

2,解：原式=-^-cos"z|g=兀，（-cosz）|z=/--mcosi=-mch\

五、（10分）求函數(shù)"z）=—'在以下各圓環(huán)內(nèi)的羅朗展式。

z(z-i)

1.0<|z-z|<l

2.1<|2-Z|<+oo

1.解：

/(z)(1分---:7=(1分-----7=(1分

oo"T6"

》(Z—i)"T=>(z-i)"(2分)

2.解：/（Z）（1分）=—^―~—=（1分）一^-y?—

(z-0i+(z-i)(z-0

=Z，"(z-i)'T(2分)

六、證明以下命題：（5分X2）

（1）演fT。）與構(gòu)成一對傅氏變換對。

f+00

（2）[e-,m'dt=2TT8（CO）

J—00

1.解：J：//一%州"'0力=6-'[,—「幽（3分）.?.結(jié)論成立

(2)解:\-27r5((o>-iw,Jvv=e-iw,（2分）

2府(卬)與1構(gòu)成傅氏對

f+OO.一

Z.[e-iadt=2^(?y)(2分)

J-00

x'+y+z'=\

七、(10分)應(yīng)用拉氏變換求方程組<x+y'+z=O滿足x(0)=y(0尸z(0)=0的解)0。

y+4z'=0

sX(s)+Y(s)+sZ(s)=](1)

解：X(s)+sY($)+Z(s)=O(2)(3分)

Y(s)+4sZ(s)=0(3)

S(2)-(1)：

（3分）

A-2-1s25-1S+1

Y（t）=\--e'--e^'=1-cht

22

1、（10分）就書中內(nèi)容，函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析的具體判別方法有哪幾種。

解：①定義；②C-R充要條件"；③v為“的共扼函數(shù)10分

三、1.（其中C為正向圓周憶|=1）

2.4f—+—U（積分沿正向圓周進(jìn)行）

3.（~^~dz（積分沿正向圓周進(jìn)行）

4.求函數(shù)/（z）=-----------在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)

（z+0'°U-2）

三、L解：原式=q^（sinz）"Lo4^=sinz|o=03分

2.解：原式=（2分）J—Z—+J—2—成（3分）=2畝+4兀，（1分）=6后

卜|=41+1

3.解：（2分）d—|e;6/z（3分）=l[/|+e：|].2畝（1分）=2疝/czl

加=221-1Z+1J2?lz=-'

4.解:Res",8]=（2分）—Res

（1分）=0（2分）

四、求解題（每題6分）

1.求函數(shù)〃（X,y）=x2—y2的共扼調(diào)和函數(shù)v（x,y）和由它們構(gòu)成的解析函數(shù)

于（z）,使/（o）=0o

2.求函數(shù)/（z）=—1~r在0<|z-1|<1內(nèi)的羅朗展開式。

z（l-z）

五、解答題（每題6分）

1.求函數(shù)的傅氏變換F?）。

e'1t>0

2.求方程

y"+2y'—3y=e”滿足初始條件y'L=1,這。=0的解。

四、解：?.?史=2x

（1分）

dx

“⑶卷+（3分）

二/（z）=/+cV/（0）=0（1分）「?f^z）-z（1分）

11*

2.解：一--=z（-i）nu-ir（4分）

Z1+Z—1〃=o

???/（z）=￡（-l）"（"l）i（2分）

n=0

五、解:

F?)=(2分)「'⑺e'力

J—00

(2分)=[+，e^'e-'Mdt=(2分)—

JoP+zco

2.解：YF[y"+2V—3)]=F[e1]

2

SY(s)-sv(o)-y'(o)+2[sy(s)-y(o)]-3/(s)=—1―(2分)

5+1

2

/.(S2+2S-3)y(S)=——

S+l

S+2

/.Y(S)=

(S-1)(5+1)(5+3)

s

，y(f)=ZRes[y(S)e',sk]

S+2“S+2?(S+2)e，'

(S+l)(S+3)e,/(S_l)(S+3)e+(S+1)(S-1)(2分)

=3-

(1分)

848

二、解答題(7分X6)

1.證明：/(z)=+3x2yz'-3xy2-/在整個(gè)復(fù)平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù)f'(z).

2.已知/(z)的虛部為v(x,y)=—g/+gy2,求一解析函數(shù)

f(z)=u+ivM/(0)=0.

3.計(jì)算積分：f

*z(z-i)3

4.將函數(shù)〃z)=——在圓環(huán)l<|z-i|<°o內(nèi)展為羅朗級

z'(z-i)

dz

5.計(jì)算積分:

MZ10(Z-1)(Z-2)2

6.求把上半平面乙(z)>0保形映照為上半平面/,“(3)>0的分式線性映照.

二、1.證：u-x}-3xy2v^3x2y-y3

du--25Mdudu口nn人出日、於任

——3x2—3y——，————6xy------且四個(gè)偏導(dǎo)連續(xù)

dxdydydx

；.f（z）在整個(gè)復(fù)平面上解析(4分)

：.f'(z)^3x2-3y2+i6xy^3z2（3分）

dvdu

2.解：；...M=xy+g(x)

dx力

dvdu

詼=》=正=盯+g'(x)

u=xy+c（3分）

V/(O)=M(O,O)+IV(O,O)=C=O（2分）

jr~1/

f(z)^(-—+-y2)i+xy=--z2（2分）

11

3.解：原式（2分）=f,-（Z-+

i-^-rdz

兒寫Z

1Im1

(4分)=2m-2%-2%=0（1分）

荷尸為z

2]

原式（4分）=2m'，Res，z*Z1=0,z=

32

k=lz(z-i)

(3分)=—I—,—j=0

Ii2!i3J

1111R1

4.解：—z(-on

ZZ-Im=0n

i+z~iz~i?+(z-i)

8|

=y(-on------（3分）

11

(-i)2X(-O"(n+i)（3分）

2+2

zn=0(z-0"

1

原式=Z(—i)"("+l)7~—r(1分)1<|z-Z|<00

“=()(z-l)一

1

5.解：原式=2m.Res,0（1分）

z*z-l)(z-2)2

31

=-2疝ZRes

zRz-l)(z-2)2'Q(2分)

K=\

（1分）

（1分）

（1分）

的+b

設(shè)a,b,c,d實(shí)數(shù)w=------（3分）

cz+d

『/、1一、I\az+baz+b

/“,(Fz(…)=五dcz+d

121“(az+b)(cz+d)_&(歐+b)(cz+d)

2i|cz+d1-—~i|cz+d|2

ad—be,,、

五RC)（2分）

.?.所求的映射卬=生土2（2分）

cz+d

，ad-be>0,a,b,c,d實(shí)數(shù)

三、解答題：（7分X4）

1.已知某函數(shù)的傅氏變換為F（w）=?U（w+/）+5（卬+/）］求該函數(shù)。

|?T

3.求函數(shù)("1)2"的拉氏變換。

4.求微分方程y"+3y〃+3V+y=l,y(0)=了(0)=y"(0)=0的解。

三、1.解：/(f)=-L「"F3)e""d(y(2分)=，(*如+e-"')4分=850/

2萬1/2

2.解：

3.解：原式=l[e(f-l)2e'“=ez\t2e']e-s(3分)

=e''sz[(-t)2e'](3分)=e~z"[e'](3分)

4.解：siF(s)+3s2F(s)+F(s)^-

s

/1111

F(S)=______________----------------------

5(?+3?+35+1)s(s+1)3s(s+l)3

11

=z"[尸(s)]=z[[*z[(s+l)3jl*

(3分)

《復(fù)變函數(shù)論》試題庫

三.計(jì)算題（40分）:

1

〃z）=

(z-l)(z-2),求/⑵在Q={z:0<|z|<1}內(nèi)的羅朗展式.

1.設(shè)

f」一次

以TCOSz

2.

2

設(shè)/⑶732+72+1

3.2-z，其中C={z：|z|=3},試求+?

4.求復(fù)數(shù)Z+1的實(shí)部與虛部.

四.證明題.（20分）

1.函數(shù)/（Z）在區(qū)域Z）內(nèi)解析.證明：如果|/（［）|在。內(nèi)為常數(shù)，那么它在。內(nèi)

為常數(shù).

2.試證：/（z）=M^在割去線段OWRezWl的z平面內(nèi)能分H1兩個(gè)單值解析分支,

并求出支割線0WRezw1上岸取正值的那支在z=-1的值.

三.計(jì)算題.

1.解因?yàn)?＜忖＜1,所以0＜舊＜1

/⑶二百-七?！宾恐?/p>

2.解因?yàn)?/p>

7t

z+21

Res/(z)=lim----=lim-----=-l,

=-zf￡cosz——sinz

z222

71

z-5i

Resf(z)-lim----=lim-----=1.

z=-工z^—coszz^---sinz

222

所以[—--dz=2乃i(Res/(z)+Res〃z)=0.

vl=2COSzr=_￡7/

22

3.解令9(/l)=3/l2+7/l+l,則它在z平面解析，由柯西公式有在同＜3內(nèi),

/(z)==2不劭(z).

所以f'(l+i)=2m.”(z)L?=2OT(13+6/)=2^(-6+13z).

4.解令2=。+勿\貝1J

”122(al-bi)_2(a+l)2b

y\/—----I------]----+--------I-----------f-----------.

z+1z+1(a+1)2+b2(a+1)2+b2(a+1)2+b2

,,,z—1、,2(a+1)r,z—1、2b

故Rne(---)=1----———Im(----)=-----；——

z+1(a+l)-+/rz+1(a+1)-+b

四.證明題.

1.證明設(shè)在。內(nèi)|/(z)|=C.

令/(z)="+in,WJ|/(Z)|2=?2+v2=c2.

uuxr+vv=0(1)

兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù)，得\A:二

uuy+wv=0(2)

因?yàn)楹瘮?shù)在。內(nèi)解析，所以憶=&,4,=-匕.代入(2)則上述方程組變?yōu)?/p>

uu+叫=0

x22

消去人得,(w+v)vt=0.

vux-uvx=0

4)若/+/=o,貝ij/(Z)=0為常數(shù).

5)若匕=0,由方程⑴(2)及C.-R.方程有肛=0,wv=0,vy=0.

所以“=C"V=C2.(G，Q為常數(shù)).

所以/(z)=q+ic2為常數(shù).

2.證明/(z)=Jz(l—z)的支點(diǎn)為z=0」.于是割去線段OVRezAl的z平面內(nèi)變點(diǎn)就

不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周，故能分出兩個(gè)單值解析分支.

由于當(dāng)z從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā)，連續(xù)變動到Z=o』時(shí)，只有z的幅角增加萬.所以

/(z)=Jz(l—z)的幅角共增加弓.由已知所取分支在支割線上岸取正值，于是可認(rèn)為該分

支在上岸之幅角為o,因而此分支在Z=-1的幅角為故==揚(yáng).

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）

三計(jì)算題.（40分）

1.求函數(shù)sinqzD的基級數(shù)展開式.

2.在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)

在正實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右

沿的點(diǎn)Z=，?處的值.

3.計(jì)算積分：/=J|z|dz,積分路徑為（1）單位圓（|z|二l）

的右半圓.

rsinz」

il=2萬2Z

4,求5夕.

四.證明題.（20分）

1.設(shè)函數(shù)Az）在區(qū)域。內(nèi)解析，試證：/（z）在。內(nèi)為常數(shù)的充要條件是病在

D內(nèi)解析.

2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.

三.計(jì)算題

(~l),,(2?)2,1+l<(])“22"+?6"+3

解sin(2/)=Z

n=0(2〃+1)!(2/7+1)!

2.解令z=re,e.

,O+2k7r

則/（z）=V7=/e2,（k=0,1）.

又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以上=0.

.￡

所以/（z）=e^.

3.單位圓的右半圓周為z=e〃，

22

所以』,牌=￡血，=6%=2匚

22

4.解

fsinzj

，z|=2（z兀）2d'=2加（411z）'

冗-2mcosz71

z=一Z=一

22=0,

四.證明題._

1.證明（必要性）令/（z）=C[+鞏,則/（2）=C]-心.（qg為實(shí)常數(shù)）.

令u（x,y）=G,u（x,y）=-c2,則ux=vv=uy=匕=0.

即w,u滿足C-R.,且肛,vv,uy,vx.連續(xù)，故汨在。內(nèi)解析.

（充分性）令/（z）="+ir,則/（Z）=M-ZV,

因?yàn)椤癦）與汨在。內(nèi)解析，所以

MVM

.r=r"v=一匕，且=_與，y=-（-VA.）=-Vv.

比較等式兩邊得％=「="、,=叭=0.從而在。內(nèi)〃#均為常數(shù)，故/（z）在。內(nèi)為常數(shù).

nni

2.即要證“任一n次方程aoz+alz-+-+an_iz+an=O（470）有且只有〃個(gè)

根

⑷+…+冏

證明令/（z）=a（）z"+6z"T+…+?！盻佟+4“=0,取R〉max?,iy,當(dāng)z

同

在C:|z|=R上時(shí),有|p（z）區(qū)同R=+…+|*]R+同<（同+…+同冰"T<|4|R".

=|/（z）|.

n

由儒歇定理知在圓|z|<R內(nèi)，方程a（）z"+%z"T+…+。”_佟+?！?0與aoz=0有相

同個(gè)數(shù)的根.而aoz"=0在|z|<R內(nèi)有一個(gè)n重根z=0.因此〃次方程在|z|<R

內(nèi)有〃個(gè)根.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）

三.計(jì)算題.（40分）

1.將函數(shù)/（z）=Z2ez在圓環(huán)域0<|z|<8內(nèi)展為Laurent級數(shù).

鐺n!

2.試求幕級數(shù)y—zn的收斂半徑.

公/

rezdz「I-

3.算下列積分：~----，其中C是z=1.

%2（/5一9）

4.求z。-2z‘+z~—8z—2=0在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù).

四.證明題.（20分）

1.函數(shù)/（Z）在區(qū)域。內(nèi)解析.證明：如果I/（z）|在。內(nèi)為常數(shù)，那么它

在。內(nèi)為常數(shù).

2.設(shè)/([)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)正數(shù)R及M,

使得當(dāng)時(shí)

n

\f(z)\<M\z\,

證明/(Z)是一個(gè)至多〃次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。

三.計(jì)算題.

11117-n+2

1.解z2e^2(l+-+—-+?..)=￥--.

zZ2!z2士n\

2.解lim|回|=lim—?("+D"：=lim(—)n=lim(l+-)"=e.

"T8|c〃+J“T8〃〃(〃+l)!〃->8fl“T8"

所以收斂半徑為e.

ezez1

3.解令f(z)=——；--,貝iJRe5f(z)=-z——=一一.

z2(z2-9)"-2_99

Z=v

2成

故原式=2疝Re^,f(z)=---.

4.解令f{z)=z-2z+z2-2,(p(z)=-8z.

則在C:|z|=l上〃z)與夕(z)均解析，且［〃z)146VM(z)|=8,故由儒歇定理有

N(/+°,C)=N(/+@C)=1.即在忖<1內(nèi)，方程只有一個(gè)根.

四.證明題.

1.證明證明設(shè)在。內(nèi)|/(z)|=C.

令/(z)=〃+iv,則|F(Z)『="+1?=。2.

兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù)，得\八)二

uuy+wv=0(2)

因?yàn)楹瘮?shù)在。內(nèi)解析，所以k={,%*=-匕?代入(2)則上述方程組變?yōu)?/p>

uu+vvr=0、,

、、八.消去人得，(M2+V2X=O.

vux-uvx=0

1)/+?=0,則y(z)=o為常數(shù).

2)若匕=0,由方程(1)(2)及。.一/?.方程有人=0,W=0,Vv=0.

所以“=q,v=C2.(c”C2為常數(shù)).

所以f(z)=q+ic2為常數(shù).

2.證明取r>R,則對一切正整數(shù)k>w時(shí)，|尸“)(0)卜碧隅卜dz區(qū)”匚

于是由r的任意性知對一切女>〃均有/⑹(0)=0.

故/(z)=￡c“z,,即/(z)是一個(gè)至多〃次多項(xiàng)式或常數(shù)?

k=0

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(四)

三.計(jì)算題.(40分)

1.解方程F+IMO