廣西梧州柳州2023-2024學年高三第五次模擬考試數(shù)學試卷含解析

廣西梧州柳州2023-2024學年高三第五次模擬考試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機取一點，若此點取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（）A． B． C． D．3．若實數(shù)x，y滿足條件，目標函數(shù)，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．04．已知直線是曲線的切線，則（）A．或1 B．或2 C．或 D．或15．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．6．已知奇函數(shù)是上的減函數(shù)，若滿足不等式組，則的最小值為（）A．-4 B．-2 C．0 D．47．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．8．設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．9．過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線，若與軸的交點坐標為，則該雙曲線的標準方程可能為（）A． B． C． D．10．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．11．已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，，直線與拋物線交于另一點．給出以下判斷：①直線與直線的斜率乘積為；②軸；③以為直徑的圓與拋物線準線相切.其中，所有正確判斷的序號是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③12．執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知x，y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，則14．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.15．若,則=______,=______.16．已知過點的直線與函數(shù)的圖象交于、兩點，點在線段上，過作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點，當∥軸，點的橫坐標是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.19．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標原點，求直線OG斜率的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點與極值.（2）當，時，證明：.21．（12分）某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，（Ⅰ）求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（Ⅱ）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得利潤l00元，若顧客選擇分3期付款，則商場獲得利潤150元，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記為（單位：元）（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）若，求的數(shù)學期望的最大值.22．（10分）已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.（1）求曲線G的方程;（2）設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【點睛】本題考查了幾何概型，定積分的計算以及幾何意義，屬于中檔題．2、C【解析】

由程序語言依次計算，直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當n=2時，時，，此時輸出.故選：C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實數(shù)x，y滿足條件，目標函數(shù)如圖：當時函數(shù)取最大值為故答案選C【點睛】求線性目標函數(shù)的最值:當時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸截距最小時，z值最?。划敃r，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.4、D【解析】

求得直線的斜率，利用曲線的導數(shù)，求得切點坐標，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對于，令，解得，故切點為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù)，則，且，畫出可行域和目標函數(shù)，，即，表示直線與軸截距的相反數(shù)，根據(jù)平移得到：當直線過點，即時，有最小值為.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線性規(guī)劃問題，意在考查學生的綜合應用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導,根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調(diào)性,對應函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域為.，當，，單增，當，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學們還可以用特殊值法等方法進行判斷.8、C【解析】根據(jù)命題的否定，可以寫出：，所以選C.9、A【解析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項求解即可【詳解】直線的方程為，令，得.因為，所以，只有選項滿足條件.故選：A【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標準方程，考查運算求解能力.10、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．11、B【解析】

由題意，可設(shè)直線的方程為，利用韋達定理判斷第一個結(jié)論；將代入拋物線的方程可得，，從而，，進而判斷第二個結(jié)論；設(shè)為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設(shè)，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，進而判斷第三個結(jié)論.【詳解】解：由題意，可設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設(shè)點，的坐標分別為，，則，．所．則直線與直線的斜率乘積為．所以①正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，，根據(jù)拋物線的對稱性可知，，兩點關(guān)于軸對稱，所以直線軸．所以②正確．如圖，設(shè)為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設(shè)，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，則．所以③不正確．故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題．12、C【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，計算程序框圖的運行結(jié)果即可得到答案.【詳解】，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，不滿足條件，輸出.故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再由y=2x-z表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x，y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，畫出可行域如圖所示.目標函數(shù)z=2x-y，即平移直線y=2x-z，截距最大時即為所求.2y+1=0x-y-1=0點A（12，z在點A處有最小值：z＝2×1故答案為：32【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的基本方法．14、2.【解析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設(shè)點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設(shè)點，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標，在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.15、10【解析】

①根據(jù)換底公式計算即可得解；②根據(jù)同底對數(shù)加法法則，結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題：,則；②由①可得：.故答案為：①1，②0【點睛】此題考查對數(shù)的基本運算，涉及換底公式和同底對數(shù)加法運算，屬于基礎(chǔ)題目.16、【解析】

通過設(shè)出A點坐標，可得C點坐標，通過∥軸，可得B點坐標，于是再利用可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)點，則,由于∥軸，故，代入，可得，即，由于在線段上，故，即，解得.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）對函數(shù)進行求導，由題意知,為增函數(shù)等價于在區(qū)間恒成立，利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意知，函數(shù)的定義域為，當時，，令，得，或，所以，隨的變化情況如下表：遞增遞減遞增的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由題意得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立.，當且僅當，即時等號成立.所以，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍；考查運算求解能力和邏輯推理能力；利用導數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可知，只需證明平面即可．由為菱形可得，連接和與的交點，由等腰三角形性質(zhì)可得，即能證得平面；（2）由題意知，平面，可建立空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，再分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖，設(shè)與相交于點，連接，又為菱形，故，為的中點.又，故.又平面，平面，且，故平面，又平面，所以平面平面.（2）由是等邊三角形，可得，故平面，所以，，兩兩垂直.如圖以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.不妨設(shè)，則，，則，，，，，，設(shè)為平面的法向量，則即可取，設(shè)為平面的法向量，則即可取，所以.所以二面角的余弦值為0.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應用，以及利用向量法求二面角，意在考查學生的直觀想象能力，邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）.（2）【解析】

（1）設(shè)A的坐標為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標，求出C到直線x＝1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值，進而求出拋物線的方程；（2）將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達定理，進而求出中點G的坐標，再求出直線OG的斜率的表達式，換元可得斜率的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)A（x0，y0）且y02＝2px0，則圓心C（），圓C的直徑|AB|，圓心C到直線x＝1的距離d＝|1|＝||，因為|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中點G的橫坐標xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），則kOG（），解得0＜kOG，所以直線OG斜率的取值范圍（0，）.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合，換元方法的應用，屬于中檔題.20、（1）極小值點為，極小值為，無極大值；（2）證明見解析【解析】

先對函數(shù)求導，結(jié)合已知及導數(shù)的幾何意義可求，結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點及極值；令，問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，結(jié)合導數(shù)可求．【詳解】（1）由題得函數(shù)的定義域為.，由已知得，解得∴，令，得令，得，∴在上單調(diào)遞增.令，得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點為，極小值為，無極大值.（2）證明：由（1）知，∴，令，即∵，，∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又，∴在上恒成立∴在上恒成立∴，即∴【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，考查利用導數(shù)證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題．21、（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）見解析（ⅱ）數(shù)學期望的最大值為280【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，由獨立重復事件的特點得出，利用二項分布的概率公式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）（?。┮李}意，的取值為200，250，300，350，400，根據(jù)離散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由題意知，，解得，根據(jù)的分布列，得出的數(shù)學期望，結(jié)合，即可算出的最大值.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，則，則，故購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.（Ⅱ）（?。┮李}意，的取值為200，250，300，350，400，，，，，的分布列為：2002503003504000.16（ⅱ），由題意