2024年初三上冊數(shù)學(xué)專項(xiàng)《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

2024年初三上冊數(shù)學(xué)專項(xiàng)《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.對于下列命題：①任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；②任意一個圓一定有一個內(nèi)接三角形，并且只有一個內(nèi)接三角形；③任意三角形一定有一個內(nèi)切圓，并且只有一個內(nèi)切圓；④任意一個圓一定有一個外切三角形，并且只有一個外切三角形．其中，正確的有()．A．1個B．2個C．3個D．4個2．（2015?海南）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．75° D．60°3．秋千拉繩長3米，靜止時踩板離地面0.5米，某小朋友蕩秋千時，秋千在最高處踩板離地面2米(左右對稱)，如圖所示，則該秋千所蕩過的圓弧長為().

A.米B.米C.米D.米4．已知兩圓的半徑分別為2、5，且圓心距等于2，則兩圓位置關(guān)系是()．A．外離B．外切C．相切D．內(nèi)含5．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，一個圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，交坐標(biāo)軸于E、F，OE＝8，OF＝6，則圓的直徑長為()．A．12B．10C．4D．15第3題圖第5題圖第6題圖第7題圖6．如圖所示，方格紙上一圓經(jīng)過(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四點(diǎn)，則該圓圓心的坐標(biāo)為()．A．(2，-1)B．(2，2)C．(2，1)D．(3，1)7．如圖所示，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，若∠CAB＝55°，則∠AOB等于()．A．55°B．90°C．110°D．120°8．一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是()．A．60°B．90°C．120°D．180°二、填空題9．如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，要使過點(diǎn)A的直線EF與⊙O相切于A點(diǎn)，則圖中的角應(yīng)滿足的條件是________________(只填一個即可).

10．已知兩圓的圓心距為3，的半徑為1.的半徑為2，則與的位置關(guān)系為________.11．如圖所示，DB切⊙O于點(diǎn)A，∠AOM=66°，則∠DAM=________________.

第9題圖第11題圖第12題圖第15題圖12．如圖所示，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=CD，則圖中與∠1相等的角有________________.13．點(diǎn)M到⊙O上的最小距離為2cm，最大距離為10cm，那么⊙O的半徑為________．14．已知半徑為R的半圓O，過直徑AB上一點(diǎn)C，作CD⊥AB交半圓于點(diǎn)D，且，則AC的長為________．15．如圖所示，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AB上一點(diǎn)，連接BD，并延長至E，連接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，則∠BOC＝________．16.（2015?衢州）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬CD等于m．三、解答題17．如圖，是半圓的直徑，過點(diǎn)作弦的垂線交半圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)使．試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；CACAOBED18．在直徑為20cm的圓中，有一弦長為16cm，求它所對的弓形的高。19．如圖，點(diǎn)P在y軸上，交x軸于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)BP并延長交于C，過點(diǎn)C的直線交軸于，且的半徑為，.

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求證：是的切線；

20.（2015?德州）如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．（1）判斷△ABC的形狀：；（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)P位于的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】任意一個圓的內(nèi)接三角形和外切三角形都可以作出無數(shù)個．①③正確，②④錯誤，故選B．2.【答案】D；【解析】作半徑OC⊥AB于D，連結(jié)OA、OB，如圖，∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，而OA=OB，∴∠CBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故選D．3.【答案】B；【解析】以實(shí)物或現(xiàn)實(shí)為背景，以與圓相關(guān)的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系為考查目標(biāo).這樣的考題，背景公平、現(xiàn)實(shí)、有趣，所用知識基本，有較高的效度與信度.4.【答案】D；【解析】通過比較兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系．5-2＝3＞2，所以兩圓位置關(guān)系是內(nèi)含．5.【答案】B；【解析】圓周角是直角時，它所對的弦是直徑．直徑EF．6.【答案】C；【解析】橫坐標(biāo)相等的點(diǎn)的連線，平行于y軸；縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的連線，平行于x軸．結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，由點(diǎn)(2，5)和(2，-3)、(-2，1)和(6，1)構(gòu)成的弦都是圓的直徑，其交點(diǎn)即為圓心(2，1)．7．【答案】C；【解析】能夠由切線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)找出數(shù)量關(guān)系式．由AC切O于A，則∠OAB＝35°，所以∠AOB＝180°-2×35°＝110°．8．【答案】C；【解析】設(shè)底面半徑為r，母線長為，則，∴，∴，∴n＝120，∴∠AOB＝120°．二、填空題9．【答案】∠BAE=∠C或∠CAF=∠B.10．【答案】外切.11．【答案】147°；

【解析】因?yàn)镈B是⊙O的切線，所以O(shè)A⊥DB，由∠AOM=66°，

得∠OAM=，∠DAM=90°+57°=147°.12．【答案】∠6，∠2，∠5.

【解析】本題中由弦AB=CD可知，因?yàn)橥』虻然∷鶎Φ膱A周角相等，故有∠1=∠6=∠2=∠5.13.【答案】4cm或6cm；【解析】當(dāng)點(diǎn)M在⊙O外部時，⊙O半徑4(cm)；當(dāng)點(diǎn)M在⊙O內(nèi)部時，⊙O半徑．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不確定，分點(diǎn)M在⊙O外部、內(nèi)部兩種情況討論．14.【答案】或；【解析】根據(jù)題意有兩種情況：①當(dāng)C點(diǎn)在A、O之間時，如圖(1)．由勾股定理OC＝，故．②當(dāng)C點(diǎn)在B、O之間時，如圖(2)．由勾股定理知，故．沒有給定圖形的問題，在畫圖時，一定要考慮到各種情況．15．【答案】100°；【解析】∠ADE＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°-65°×2＝50°，∠BOC＝2∠BAC＝100°．在前面的學(xué)習(xí)中，我們用到了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角)，在解一些客觀性題目時，可以使用．16．【答案】1.6；【解析】如圖：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，∴OE=0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴OF=0.8﹣0.2=0.6m，∴CF=m，∴CD=1.6m．故答案為：1.6．三、解答題17.【答案與解析】AC與⊙O相切．

證明：∵弧BD是∠BED與∠BAD所對的弧，

∴∠BAD=∠BED，

∵OC⊥AD，

∴∠AOC+∠BAD=90°，

∴∠BED+∠AOC=90°，

即∠C+∠AOC=90°，

∴∠OAC=90°，

∴AB⊥AC，即AC與⊙O相切.18.【答案與解析】一小于直徑的弦所對的弓形有兩個：劣弧弓形與優(yōu)弧弓形.如圖，HG為⊙O的直徑，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm故所求弓形的高為4cm或16cm19.【答案與解析】

(1)連結(jié).

.

，

，.

是的直徑，

.

，，

，

，，.

(2)過點(diǎn)

.

當(dāng)時，，

.

，，

，

.

，

，

是的切線.

20.【答案與解析】（1）△ABC是等邊三角形．證明如下：在⊙O中∵∠BAC與∠CPB是所對的圓周角，∠ABC與∠APC是所對的圓周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC為等邊三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等邊三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時，四邊形APBC的面積最大．理由如下，如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E．過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．∵S△APB=AB?PE，S△ABC=AB?CF，∴S四邊形APBC=AB?（PE+CF），當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，∴此時四邊形APBC的面積最大．又∵⊙O的半徑為1，∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB=，∴S四邊形APBC=×2×=．《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；

2．了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線；

3．了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；

4．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計(jì)算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；

5．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題的能力.

【知識網(wǎng)絡(luò)】

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

要點(diǎn)詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

要點(diǎn)詮釋：

在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質(zhì)

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn).4．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角.

要點(diǎn)詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

要點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點(diǎn)P在⊙O外；點(diǎn)P在⊙O上；點(diǎn)P在⊙O內(nèi).

要點(diǎn)詮釋：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2．判定幾個點(diǎn)在同一個圓上的方法

當(dāng)時，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個公共點(diǎn)直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑為，圓心距.

(1)和沒有公共點(diǎn)，且每一個圓上的所有點(diǎn)在另一個圓的外部外離

.

(2)和沒有公共點(diǎn)，且的每一個點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)含

(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓外部外切.

(4)和有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，的每個點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)切.

(5)和有兩個公共點(diǎn)相交.

要點(diǎn)三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

要點(diǎn)四、圓中有關(guān)計(jì)算

1．圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點(diǎn)詮釋：

(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.

【典型例題】類型一、圓的基礎(chǔ)知識【高清ID號：362179高清課程名稱：《圓》單元復(fù)習(xí)關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題1-2】1．如圖所示，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－1，3)、B(－2，－2)、C(4，－2)，則△ABC外接圓半徑的長度為．【答案】；【解析】由已知得BC∥x軸，則BC中垂線為

那么，△ABC外接圓圓心在直線x=1上，

設(shè)外接圓圓心P(1,a)，則由PA=PB=r得到：PA2=PB2

即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2

化簡得4+a2-6a+9=9+a2+4a+4

解得a=0

即△ABC外接圓圓心為P(1,0)

則【總結(jié)升華】三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)知：圓心P（設(shè)△ABC的外心為P）必在直線x=1上；由圖知：BC的垂直平分線正好經(jīng)過（1，0），由此可得到P（1，0）；連接PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P的半徑長．類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理2．如圖所示，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的長．【答案與解析】作OF⊥CD于F，連接OD．∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6．∵，∴OE＝OA-AE＝3-1＝2．在Rt△OEF中，∵∠DEB＝60°，∴∠EOF＝30°，∴，∴．在Rt△DFO中，OF＝，OD＝OA＝3，∴(cm)．∵OF⊥CD，∴DF＝CF，∴CD＝2DF＝cm．【總結(jié)升華】因?yàn)榇箯蕉ɡ砩婕按怪标P(guān)系，所以常常可以利用弦心距（圓心到弦的距離）、半徑和半弦組成一個直角三角形，用勾股定理來解決問題，因而，在圓中常作弦心距或連接半徑作為輔助線，然后用垂弦定理來解題．作OF⊥CD于F，構(gòu)造Rt△OEF，求半徑和OF的長；連接OD，構(gòu)造Rt△OFD，求CD的長．舉一反三：【變式】如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN＝3，那么BC＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)（垂徑定理），則MN是△ABC的中位線，BC=2MN=6.3．如圖，以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，D為第一象限內(nèi)⊙O上的一點(diǎn)，若∠DAB=20°，則∠OCD=．yxyxOABDC（第3題）【答案】65°.【解析】連結(jié)OD，則∠DOB=40°，設(shè)圓交y軸負(fù)半軸于E，得∠DOE=130°，∠OCD=65°.【總結(jié)升華】根據(jù)同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系可求.舉一反三：【變式】（2015?黑龍江）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P是弦AB上的動點(diǎn)，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如圖，∵點(diǎn)P是弦AB上的動點(diǎn)，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所對的圓周角的度數(shù)為60°或120°．故選C．類型三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系【高清ID號：362179高清課程名稱：《圓》單元復(fù)習(xí)關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題6】4．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F，且∠ACB=∠DCE．請判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案與解析】直線CE與⊙O相切理由：連接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直線CE與⊙O相切.【總結(jié)升華】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．舉一反三：【變式】如圖，P為正比例函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，的半徑為3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x、y).

(1)求與直線相切時點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)請直接寫出與直線相交、相離時x的取值范圍.

【答案】(1)過作直線的垂線，垂足為.

當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時，，得，

(5，7.5).

當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時，，得，

(，).

當(dāng)與直線相切時，點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，7.5)或(，).

(2)當(dāng)時，與直線相交.

當(dāng)或時，與直線相離.類型四、圓中有關(guān)的計(jì)算5．（2015?麗水）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．【答案與解析】（1）證明：連接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：連接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半徑為4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8，∴S陰影=4π﹣8．【總結(jié)升華】本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．類型五、圓與其他知識的綜合運(yùn)用6．如圖(1)是某學(xué)校存放學(xué)生自行車的車棚示意圖(尺寸如圖(1))，車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形．圖(2)是車棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．車棚頂部用一種帆布覆蓋，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e(不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留π)．【答案與解析】連接OB，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，交于點(diǎn)F，如圖(2)．由垂徑定理，可知E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴，EF＝2．設(shè)半徑為R米，則OE＝(R-2)m．在Rt△AOE中，由勾股定理，得．解得R＝4．∴OE＝2，，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°．∴的長為(m)．∴帆布的面積為(m2)．【總結(jié)升華】本題以學(xué)生校園生活中的常見車棚為命題背景，使考生在考場上能有一種親切的感覺，這也體現(xiàn)了中考命題貼近學(xué)生生活實(shí)際的原則．求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e，就是求以為底面的圓柱的側(cè)面積．根據(jù)題意，應(yīng)先求出所對的圓心角度數(shù)以及所在圓的半徑，才能求的長．舉一反三：【變式】某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

①請你補(bǔ)全這個輸水管道的圓形截面圖；

②若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑.【答案】①作法略.如圖所示.

②如圖所示，過O作OC⊥AB于D，交于C，

∵OC⊥AB，

∴.

由題意可知，CD=4cm.

設(shè)半徑為xcm，則.

在Rt△BOD中，由勾股定理得：

∴.

∴.

即這個圓形截面的半徑為10cm.

《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1．如圖所示，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點(diǎn)，延長OB到D，使BD＝OB，連接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()．A．70°B．64°C．62°D．51°2．在半徑為27m的圓形廣場中心點(diǎn)O的上空安裝了一個照明光源S，S射向地面的光束呈圓錐形，其軸截面SAB的頂角為120°(如圖所示)，則光源離地面的垂直高度SO為()．A．54mB．mC．mD．m第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖3．設(shè)計(jì)一個商標(biāo)圖案，如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A為圓心、AD的長為半徑作半圓，則商標(biāo)圖案(陰影部分)的面積等于().

A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如圖，的半徑為5，弦的長為8，點(diǎn)在線段(包括端點(diǎn))上移動，則的取值范圍是().

A.B.C.D.5.“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”用數(shù)學(xué)語言可表示為：如圖所示，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長為()

A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸6．（2015?貴港）如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，Q是⊙O上的動點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，連接OP，OM．若⊙O的半徑為2，OP=4，則線段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．37．一條弦的兩個端點(diǎn)把圓周分成4:5兩部分，則該弦所對的圓周角為()．A．80°B．100°C．80°或100°D．160°或200°8．如圖所示，AB、AC與⊙O分別相切于B、C兩點(diǎn)，∠A＝50°，點(diǎn)P是圓上異于B、C的一動點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是()．A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°二、填空題9．如下左圖，是的內(nèi)接三角形，，點(diǎn)P在上移動(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合)，則的變化范圍是__________.

第9題圖第10題圖10．如圖所示，EB、EC是⊙O是兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度數(shù)是________________.11．已知⊙O1與⊙O2的半徑、分別是方程的兩實(shí)根，若⊙O1與⊙O2的圓心距=5．則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是____.12．（2015?巴彥淖爾）如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，∠BAC=45°，給出以下五個結(jié)論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正確的序號是．13.兩個圓內(nèi)切，其中一個圓的半徑為5，兩圓的圓心距為2，則另一個圓的半徑是_______________.14.已知正方形ABCD外接圓的直徑為，截去四個角成一正八邊形，則這個正八邊形EFGHIJLK的邊長為________，面積為________．15．如圖(1)(2)…(m)是邊長均大于2的三角形、四邊形、……、凸n邊形，分別以它們的各頂點(diǎn)為圓心，以l為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧，4條弧，……(1)圖(1)中3條弧的弧長的和為________，圖(2)中4條弧的弧長的和為________；(2)求圖(m)中n條弧的弧長的和為________(用n表示)．16．如圖所示，蒙古包可以近似地看做由圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建20個底面積為9πm2，高為3.5m，外圍高4m的蒙古包，至少要________m2的毛氈．三、解答題17.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點(diǎn)為F，F(xiàn)H∥BC，連結(jié)AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連結(jié)BF．（1）證明：AF平分∠BAC；（2）證明：BF＝FD.18.（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E，且DC=DE．（1）求證：∠A=∠AEB；（2）連接OE，交CD于點(diǎn)F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．19．如圖，相交兩圓的公共弦長為120cm，它分別是一圓內(nèi)接正六邊形的邊和另一圓內(nèi)接正方形的邊.求兩圓相交弧間陰影部分的面積.20.問題背景：課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：①如圖(1)，在正△ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝60°，則BM＝CN；②如圖(2)，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝90°，則BM＝CN．然后運(yùn)用類似的思想提出了如下命題：③如圖(3)，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝108°，則BM＝CN．任務(wù)要求：(1)請你從①②③三個命題中選擇一個進(jìn)行證明；(2)請你繼續(xù)完成下面的探索；①在正n(n≥3)邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問當(dāng)∠BON等于多少度時，結(jié)論BM＝CN成立(不要求證明)；②如圖(4)，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，∠BON＝108°時，試問結(jié)論BM＝CN是否成立．若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．【答案與解析】一、選擇題1．【答案】B；【解析】由AB為⊙O的切線，則AB⊥OD．又BD＝OB，則AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC為⊙O的切線，則∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本題涉及切線性質(zhì)定理、切線長定理、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等．2．【答案】C；【解析】圓錐的高、底面半徑與母線組成直角三角形．由題意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝，設(shè)SO＝xm，則AS＝2xm．∵AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得(m)．3．【答案】A.；【解析】對圖中陰影部分進(jìn)行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面積和差關(guān)系.

∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，

∴AD=BC=4cm，∠DAF=90°，

，，

又AF=AD=4cm，

∴，

∴.4.【答案】A；【解析】OM最長是半徑5；最短是OM⊥AB時，此時OM=3，故選A.5．【答案】D；【解析】因?yàn)橹睆紺D垂直于弦AB，所以可通過連接OA(或OB)，求出半徑即可.

根據(jù)“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”，

知(寸)，在Rt△AOE中，，

即，解得OA=13，進(jìn)而求得CD=26(寸).

故選D.6．【答案】B.【解析】設(shè)OP與⊙O交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，OQ，如圖，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中點(diǎn)，∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴MN為△POQ的中位線，∴MN=OQ=×2=1，∴點(diǎn)M在以N為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)M在ON上時，OM最小，最小值為1，∴線段OM的最小值為1．故選B．7．【答案】C；【解析】圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上時，圓周角為；圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上時，圓周角為．注意分情況討論．8．【答案】C；【解析】連接OC、OB，則∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．點(diǎn)P在優(yōu)弧上時，∠BPC＝∠BOC＝65°；點(diǎn)P在劣弧上時，∠BPC＝180°-65°＝115°．主要應(yīng)用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理和多邊形內(nèi)角和定理．二、填空題9．【答案】；10．【答案】99°；【解析】由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB=67°，從而∠BCD=180°-67°-32°=81°，

在⊙O中，∠BCD與∠A互補(bǔ)，所以∠A=180°-81°=99°.11．【答案】相交；【解析】求出方程的兩實(shí)根、分別是4、2，則-<<+,所以兩圓相交.12.【答案】①②④；【解析】連接AD，AB是直徑，則AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即BD=CD，故②正確；∵AD是∠BAC的平分線，由圓周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正確；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正確；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正確；∵AE=BE，BE是直角邊，BC是斜邊，肯定不等，故⑤錯誤．綜上所述，正確的結(jié)論是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】兩圓有三種位置關(guān)系：相交、相切(外切、內(nèi)切)和相離(外離、內(nèi)含).兩圓內(nèi)切時，圓心距，題中一圓半徑為5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圓半徑為7或3.14.【答案】；；【解析】正方形ABCD外接圓的直徑就是它的對角線，由此求得正方形邊長為a．如圖所示，設(shè)正八邊形的邊長為x．在Rt△AEL中，LE＝x，AE＝AL＝，∴，，即正八邊形的邊長為．．15.【答案】(1)π；2π；(2)(n-2)π；【解析】∵n邊形內(nèi)角和為(n-2)180°，前n條弧的弧長的和為個以某定點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓周長，∴n條弧的弧長的和為．本題還有其他解法，比如：設(shè)各個扇形的圓心角依次為，，…，，則，∴n條弧長的和為．16.【答案】720π；【解析】∵S＝πr2，∴9π＝πr2，∴r＝3．∴h1＝4，∴，∴，．所求面積包括圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積，不包括底面積．三、解答題17.【答案與解析】（1）連結(jié)OFH∵FH是⊙O的切線H∴OF⊥FH∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC∴∴AF平分∠BAC.H（2）由（1）及題設(shè)條件可知H∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3∠FDB=∠FBD∴BF=FD.18．【答案與解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形．19.【答案與解析】解：∵公共弦AB＝120.20.【答案與解析】(1)如選命題①．證明：在圖(1)中，∵∠BON＝60°，∴∠1+∠2＝60°．∵∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3．又∵BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，∴△BCM≌△CAN，∴BM＝CM．如選命題②．證明：在圖(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴BM＝CN．如選命題③．證明：在圖(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴BM＝CN．(2)①答：當(dāng)∠BON＝時結(jié)論BM＝CN成立．②答：當(dāng)∠BON＝108°時．BM＝CN還成立．證明：如圖(4)，連接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴BM＝CN．《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識講解（提高）1．理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；

2．了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線；

3．了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；

4．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計(jì)算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；

5．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題的能力.

【知識網(wǎng)絡(luò)】

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

要點(diǎn)詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

要點(diǎn)詮釋：

在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質(zhì)

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn).4．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角.

要點(diǎn)詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

要點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點(diǎn)P在⊙O外；點(diǎn)P在⊙O上；點(diǎn)P在⊙O內(nèi).

要點(diǎn)詮釋：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2．判定幾個點(diǎn)在同一個圓上的方法

當(dāng)時，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個公共點(diǎn)直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑為，圓心距.

(1)和沒有公共點(diǎn)，且每一個圓上的所有點(diǎn)在另一個圓的外部外離

.

(2)和沒有公共點(diǎn)，且的每一個點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)含

(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓外部外切.

(4)和有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，的每個點(diǎn)都在內(nèi)部內(nèi)切.

(5)和有兩個公共點(diǎn)相交.

要點(diǎn)三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

要點(diǎn)四、圓中有關(guān)計(jì)算

1．圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點(diǎn)詮釋：

(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.

【典型例題】類型一、圓的基礎(chǔ)知識1.如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°,點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動，若過點(diǎn)P且與OA平行（或重合）的直線與⊙O有公共點(diǎn),設(shè)OP=x，則的取值范圍是（）.A．－1≤≤1B．≤≤C．0≤≤D．＞【答案】B；【解析】如圖，平移過P點(diǎn)的直線到P′，使其與⊙O相切，設(shè)切點(diǎn)為Q，連接OQ，

由切線的性質(zhì)，得∠OQP′=90°，

∵OA∥P′Q，

∴∠OP′Q=∠AOB=45°，

∴△OQP′為等腰直角三角形，

在Rt△OQP′中，OQ=1，

OP′=，

∴當(dāng)過點(diǎn)P且與OA平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)時，0≤OP≤，

當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸即點(diǎn)P向左側(cè)移動時，結(jié)果為≤OP≤0．

故答案為：≤OP≤．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系問題．關(guān)鍵是通過平移，確定直線與圓相切的情況，求出此時OP的值．舉一反三：【變式】如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動，若過點(diǎn)P且與OB平行的直線于⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)P（x，0），則x的取值范圍是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1B．0＜x≤1C．-≤x＜0或0＜x≤D．x＞1【答案】∵⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，

∴過點(diǎn)P′且與OB平行的直線與⊙O相切時，假設(shè)切點(diǎn)為D，

∴OD=DP′=1，

OP′=，

∴0＜OP≤，

同理可得，當(dāng)OP與x軸負(fù)半軸相交時，

-≤OP＜0，

∴-≤OP＜0，或0＜OP≤．

故選C．類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理2．如圖所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直徑，弦CG⊥AB于D，F(xiàn)是⊙O上的點(diǎn)，且，BF交CG于點(diǎn)E，求證：CE＝BE．【答案與解析】證法一：如圖(1)，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，弦CG⊥AB，∴．∵，∴．∴∠C＝∠CBE．∴CE＝BE．證法二：如圖(2)，作ON⊥BF，垂足為N，連接OE．∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CG，∴．∵，∴．∴BF＝CG，ON＝OD．∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE，∴NE＝DE．∵，，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．證法三：如圖(3)，連接OC交BF于點(diǎn)N．∵，∴OC⊥BF．∵AB是⊙O的直徑，CG⊥AB，∵，．∴，．∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD．又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【點(diǎn)評】上述各種證明方法，雖然思路各異，但都用到了垂徑定理及其推論．在平時多進(jìn)行一題多解、一題多證、一題多變的練習(xí)，這樣不但能提高分析問題的能力，而且還是溝通知識體系、學(xué)習(xí)知識，使用知識的好方法．舉一反三：【高清ID號：362179高清課程名稱：《圓》單元復(fù)習(xí)關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題1-2】【變式】如圖所示，在⊙O內(nèi)有折線OABC,其中OA