2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古土默特左旗一中高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古土默特左旗一中高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．如圖是國家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．2014年我國入境游客萬人次最少B．后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢(shì)C．這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D．前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差6．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知函數(shù)，若，則的最小值為（）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．8．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（）A． B．6 C． D．9．將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論：①它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(，1)對(duì)稱；④它在[]上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④10．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．11．的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．4012．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a5＝16，a3a4＝﹣32，則S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是______.14．已知二項(xiàng)式ax-1x6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-16015．某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，且．某用戶購買了件這種產(chǎn)品，則這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)為_________．16．記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實(shí)數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長，若，則的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過軸上的定點(diǎn).18．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.19．（12分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若直線過橢圓的上頂點(diǎn)，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，，求的值.20．（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，底面，且，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與直線所成的角最小時(shí)，求三棱錐的體積.21．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設(shè)拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)游戲得分為時(shí)，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當(dāng)時(shí)，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)和交點(diǎn)的交點(diǎn)為，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函數(shù)的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，先解不等式.①當(dāng)時(shí)，由，得，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.3、D【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實(shí)數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時(shí)，實(shí)數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

依據(jù)線性約束條件畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)恒過，再分別討論的正負(fù)進(jìn)一步確定目標(biāo)函數(shù)與可行域的基本關(guān)系，即可求解【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不等式表示直線及其左邊的區(qū)域，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，不等式表示直線下方的區(qū)域，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，不等式表示直線上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，只需直線的斜率，解得.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題，分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題5、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】A．由統(tǒng)計(jì)圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B．由統(tǒng)計(jì)圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢(shì)，故正確；C．入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D．由統(tǒng)計(jì)圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動(dòng)更大，所以對(duì)應(yīng)的方差更大，故錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對(duì)中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計(jì)圖，分析出對(duì)應(yīng)的信息，對(duì)學(xué)生分析問題的能力有一定要求.6、C【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于，若，則可能為平行或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對(duì)于，若，只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.7、A【解析】

首先的單調(diào)性，由此判斷出，由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構(gòu)造函數(shù)，.構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.而，所以在區(qū)間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.8、D【解析】

用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時(shí)應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閒(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故②正確；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是對(duì)稱軸，故①錯(cuò)誤；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，1)對(duì)稱，故③正確；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型10、B【解析】

連接、，即可得到，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

化簡得到，再利用二項(xiàng)式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項(xiàng)為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、D【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通過解該方程求得它們的值，求首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，則，則，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得：，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，此時(shí)滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于-160求得實(shí)數(shù)a的值．【詳解】∵二項(xiàng)式(ax-1x)令6-2r=0，求得r=3，可得常數(shù)項(xiàng)為-C63故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

直接計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正太分布中原則，審清題意，簡單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析：顯然，又，①當(dāng)時(shí)，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而②當(dāng)時(shí)，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是．考點(diǎn)：不等式、簡單線性規(guī)劃.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）見解析【解析】

（1）由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，則可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由的關(guān)系表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，而點(diǎn)在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率；（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示出，然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程，消元后得到關(guān)于的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線的方程，化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）由條件可知直線的斜率存在，則可設(shè)直線的方程為，則，由，有，所以，由在橢圓上，則，解得，此時(shí)在橢圓內(nèi)部，所以滿足直線與橢圓相交，故所求直線方程為或.（也可聯(lián)立直線與橢圓方程，由驗(yàn)證）（2）設(shè)，則，直線的方程為.由得，由，解得，，當(dāng)時(shí)，，故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過定點(diǎn)問題，計(jì)算過程較復(fù)雜，屬于難題.18、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為（為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程整理得，所以，..【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：主要考查極坐標(biāo)，參數(shù)方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的公式，及與解析幾何相關(guān)的直線與曲線位置關(guān)系的一些解題思路．19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得橢圓的焦點(diǎn)，由此求得，結(jié)合橢圓離心率求得，進(jìn)而求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得的面積.（2）求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得的值，根據(jù)在橢圓上求得的值，由此求得的值.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.其上頂點(diǎn)為，所以直線：，聯(lián)立，消去整理得，解得，，所以的面積.（2）由題知，，，設(shè)，.由題還可知，直線的斜率不為0，故可設(shè)：.由，消去，得，所以所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓，三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）要證明，只需證明平面即可；（2）以C為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求，并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【詳解】（1）連結(jié)AC、AE，由已知，四邊形ABCE為正方形，則①，因?yàn)榈酌?，則②，由①②知平面，所以.（2）以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)，，則，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取最大值，從而取最小值，即直線與直線所成的角最小，此時(shí)，則，因?yàn)?，，則平面，從而M到平面的距離，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計(jì)算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的內(nèi)容較多，計(jì)算量較大，解決此類問題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的