連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換

通過上一章的學(xué)習(xí)我們知道，時(shí)域的周期信號可以由成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號來線性表示。時(shí)域的波形與頻域的頻譜是一一對應(yīng)的。從而LTI系統(tǒng)對周期信號的響應(yīng)變得極其簡便。在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應(yīng)該如何進(jìn)行分解，如何建立是非周期信號的頻譜表示，就是這一章要解決的問題。在時(shí)域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮，則周期信號將演變成一個非周期信號；反過來，任何非周期信號如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個周期信號。我們把非周期信號看成是周期信號在周期趨于無窮時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)在T趨于無窮時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號的頻域表示方法.這正是我們開展對非周期信號進(jìn)行頻域分析的基本出發(fā)點(diǎn)。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換1可編輯ppt4.1非周期信號的表示—連續(xù)時(shí)間傅里葉變換一、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換首先讓我們考察一下周期矩形脈沖信號，其時(shí)域與頻域波形如這里動畫4-1所示。當(dāng)增大的時(shí)候，頻譜的幅度隨的增大而下降；譜線間隔隨增大而減??；而頻譜的包絡(luò)不變。當(dāng)時(shí)，周期性矩形脈沖信號將演變成為非周期的單個矩形脈沖信號。當(dāng)

時(shí)，

，

由于

也隨

增大而減小并最終趨于0?？疾?/p>

的變化，它在

時(shí)應(yīng)該是有限的。2可編輯ppt于是，我們推斷出：當(dāng)

時(shí)，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。

由

如果令

，則有

與周期信號的傅里葉級數(shù)相比較有：

；

這表明：周期信號的頻譜就是與它相對應(yīng)的非周期信號頻譜的樣本。3可編輯ppt根據(jù)傅里葉級數(shù)表示：當(dāng)

時(shí)，

，

，

，

于是有：

此式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個頻率連續(xù)分布的振幅為

的復(fù)指數(shù)信號之和。由于

具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱

為頻譜密度函數(shù)。4可編輯ppt

與

就構(gòu)成了一對傅里葉變換式。5可編輯ppt二、從物理意義來討論FT

是一個密度函數(shù)的概念；

是一個連續(xù)譜；

包含了f(t)的所有頻率分量；

傅里葉變換一般為復(fù)數(shù)。三、傅里葉變換的收斂既然傅里葉變換的引出是從周期信號的傅里葉級數(shù)表示，討論周期趨于無窮時(shí)的極限得來的，傅里葉變換的收斂問題就應(yīng)該和傅里葉級數(shù)的收斂相一致。也有相應(yīng)的兩組條件：6可編輯ppt若

，則

存在這表明所有能量有限的信號其傅里葉變換一定存在。第二組條件即為滿足狄利赫里條件。四、常用信號的傅里葉變換：1、

，

7可編輯ppt8可編輯ppt2、

，

我們看到：實(shí)偶信號的傅里葉變換是實(shí)偶函數(shù)，此時(shí)可以用一幅圖表示信號的頻譜。對此例9可編輯ppt3、這表明

中包括了所有的頻率成分，所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此單位沖激響應(yīng)才能完全描述一個LTI系統(tǒng)的特性，才在信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。10可編輯ppt4、(具有此頻率特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器)11可編輯ppt同時(shí)可以看到，信號在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系，即信號在時(shí)域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。6、若

，則有

，因?yàn)椋?/p>

所以：12可編輯ppt五、信號的帶寬信號的主要能量集中于低頻分量,傳輸信號的系統(tǒng)具有自己的頻率特性。工程中在傳輸信號時(shí)，也沒有必要一定要把信號的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。因此，需要對信號定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法：

下降到最大值的

時(shí)對應(yīng)的頻率范圍，此時(shí)帶內(nèi)信號分量占有信號總能量的。13可編輯ppt4.2周期信號的傅里葉變換到此為止，周期信號用傅里葉級數(shù)表示，非周期信號用傅里葉變換表示。在涉及周期信號通過LTI系統(tǒng)時(shí)，會給分析帶來不便。由于周期信號不滿足Dirichlet條件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅里葉變換表示?？疾?/p>

所對應(yīng)的信號這表明周期性復(fù)指數(shù)信號的頻譜是一個沖激。若

，則

于是，當(dāng)周期信號表示為傅里葉級數(shù)時(shí)14可編輯ppt

，就有

這表明，周期信號的傅里葉變換由一系列沖激組成，每一個沖激分別位于信號各次諧波的頻率處，其強(qiáng)度正比于傅里葉級數(shù)系數(shù)。例：15可編輯ppt例、16可編輯ppt注意：周期信號不滿足絕對可積條件；引入沖激信號后，周期信號的傅立葉變換是存在的；周期信號的頻譜是離散的，其頻譜密度，即傅立葉變換是一系列沖激。4.3連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)討論連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)，旨在通過這些性質(zhì)揭示信號時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時(shí)掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)可以簡化傅里葉變換對的求取。1、線性:若則17可編輯ppt2、時(shí)移:若：則：這表明：信號的時(shí)移只影響它的相頻特性,其相頻特性會增加一個線性相移。3、共軛對稱性

若則由18可編輯ppt所以,即若是實(shí)信號,則。于是有：4.時(shí)域微分與積分若

則(可將運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算)(時(shí)域積分特性)由時(shí)域積分特性從也可得到：19可編輯ppt5.時(shí)域和頻域的尺度變換若，則當(dāng)時(shí)，有尺度變換特性表明：信號如果在時(shí)域擴(kuò)展a倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮a倍，反之亦然。從理論上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。如動畫所示。20可編輯ppt6.對偶性若

則證明：利用對偶性可以方便地將時(shí)域的某些特性對偶到頻域。21可編輯ppt例如：由，有對偶關(guān)系利用時(shí)移特性有再次對偶有

根據(jù)

得，這就是移頻特性頻域微分特性：由，得22可編輯ppt所以該特性也可由對偶性從時(shí)域微分特性得出:對利用時(shí)域微分特性有再次對偶得由，有及頻域微分特性23可編輯ppt由時(shí)域積分特性,可對偶出頻域積分特性再次對偶由，有頻域積分特性24可編輯ppt7.Parseval定理若，則這表明：信號的能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。由于表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度”函數(shù)。25可編輯ppt4.4卷積性質(zhì)一、若

則

由于卷積特性的存在，使對LTI系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積特性成立正是因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。由將分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個通過LTI系統(tǒng)時(shí)都要受到系統(tǒng)頻響的加權(quán)，其中即是系統(tǒng)與對應(yīng)的特征值，故有26可編輯ppt所以：由于的傅氏變換就是頻率為的復(fù)指數(shù)信號通過LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對輸入信號在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。鑒于與是一一對應(yīng)的，因而LTI系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時(shí)，一般都限于對穩(wěn)定系統(tǒng)。二、系統(tǒng)互聯(lián)時(shí)的頻率響應(yīng)：

級聯(lián)27可編輯ppt并聯(lián)28可編輯ppt三、LTI系統(tǒng)的頻域分析法：根據(jù)卷積特性，可以對LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析，其過程為：1、；2、根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出；3、4、29可編輯ppt4.5相乘性質(zhì)：（調(diào)制性質(zhì)）

若

則

利用對偶性可以從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)。30可編輯ppt兩個信號在時(shí)域相乘，可以看成是由一個信號控制另一個信號的幅度，這就是幅度調(diào)制。其中一個信號稱為載波，另一個是調(diào)制信號。例1：

∴

（移頻性質(zhì)）例2：正弦幅度調(diào)