第1課時　指數(shù)函數(shù)及其圖象、性質(zhì)(一) 高一數(shù)學(xué)

4.2

指數(shù)函數(shù)第1課時

指數(shù)函數(shù)及其圖象、性質(zhì)(一)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、指數(shù)函數(shù)的概念1.請看以下兩個問題:問題1:某種細(xì)胞分裂時,每次每個細(xì)胞分裂為2個細(xì)胞,則1個這樣的細(xì)胞第1次分裂后變?yōu)?個細(xì)胞,第2次分裂后變?yōu)?個細(xì)胞,第3次分裂后變?yōu)?個細(xì)胞,……設(shè)第x次分裂后變?yōu)閥個細(xì)胞;問題2:質(zhì)量為1的一種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì),每經(jīng)過1年剩余的質(zhì)量約是原來的60%,設(shè)經(jīng)過x年后剩余的質(zhì)量為y.(1)以上兩個問題中,y關(guān)于x的函數(shù)解析式分別是什么?(2)以上兩個函數(shù)解析式的共同特征是什么?提示:(1)問題1中y=2x;問題2中y=0.6x.(2)函數(shù)的解析式是冪的形式,底數(shù)是常數(shù),未知數(shù)x出現(xiàn)在指數(shù)位置上.2.一般地,函數(shù)

y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是

R.3.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是(

)答案:C二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)的性質(zhì)包括哪些?如何探索指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?提示:函數(shù)的性質(zhì)通常包括定義域、值域、單調(diào)性、最值、奇偶性等.可以先通過列表、描點(diǎn)、連線的方法作出具體的指數(shù)函數(shù)的圖象,再研究其性質(zhì),最后推廣到一般.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)答案:D【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)函數(shù)y=x3是指數(shù)函數(shù).(×)(2)任何指數(shù)函數(shù)的圖象都在x軸上方.(√)(3)若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)(0,1),則f(x)是指數(shù)函數(shù).(×)(4)若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù),且f(1)>1,則f(x)是增函數(shù).(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【例1】

(1)已知函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0(2)若函數(shù)f(x)=ax+5-2(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

解析:(1)因?yàn)閳D象從左往右看是下降的,所以函數(shù)f(x)在定義域上是減函數(shù).所以0<a<1.又由題中圖象知0<f(0)<1,即0<a-b<1.又因?yàn)?<a<1,所以-b>0,即b<0.故選D.(2)當(dāng)x+5=0,即x=-5時,a0-2=-1,即f(-5)=-1,故函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(-5,-1),即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-5,-1).答案:(1)D

(2)(-5,-1)反思感悟1.指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧(1)抓住圖象上的特殊點(diǎn),如指數(shù)函數(shù)的圖象必過的定點(diǎn);(2)利用圖象變換,如函數(shù)圖象的左右平移、上下平移;(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,奇偶性確定函數(shù)的對稱情況,單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢.2.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象過定點(diǎn)的求法形如y=kax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題,可令x+c=0,得x=-c,此時y=k+b,所以函數(shù)圖象過定點(diǎn)(-c,k+b).【變式訓(xùn)練1】

若函數(shù)y=ax+(b-1)(a>0,且a≠1)的圖象不經(jīng)過第二象限,則有(

)A.a>1,且b<1 B.0<a<1,且b≤1C.0<a<1,且b>0 D.a>1,且b≤0解析:由指數(shù)函數(shù)圖象的特征可知當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=ax+(b-1)的圖象必經(jīng)過第二象限,故a>1,排除選項(xiàng)B,C.又函數(shù)y=ax+(b-1)(a>0,且a≠1)的圖象不經(jīng)過第二象限,則其圖象與y軸的交點(diǎn)不在x軸上方,所以當(dāng)x=0時,y=a0+(b-1)≤0,即b≤0,選項(xiàng)D正確.答案:D探究二

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用【例2】

比較下列各組數(shù)的大小:(1)1.60.7和1.60.8;

(2)0.3-2.4和0.3-2.1;(3)3.10.5和0.81.2; (4)0.80.9和0.90.8.解:(1)設(shè)f(x)=1.6x,因?yàn)?.6>1,所以f(x)在R上單調(diào)遞增.又因?yàn)?.7<0.8,所以f(0.7)<f(0.8),即1.60.7<1.60.8.(2)設(shè)f(x)=0.3x,因?yàn)?<0.3<1,所以f(x)在R上單調(diào)遞減.又因?yàn)?2.4<-2.1,所以f(-2.4)>f(-2.1),即0.3-2.4>0.3-2.1.(3)因?yàn)?.10.5>3.10=1,0.81.2<0.80=1,所以3.10.5>0.81.2.(4)先比較0.80.9與0.80.8的大小,設(shè)f(x)=0.8x,因?yàn)?<0.8<1,所以f(x)在R上單調(diào)遞減.又因?yàn)?.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.再比較0.80.8與0.90.8的大小,設(shè)g(x)=x0.8,因?yàn)?.8>0,所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.又因?yàn)?.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.故有0.80.9<0.80.8<0.90.8,即0.80.9<0.90.8.比較下面兩個數(shù)的大小:(a-1)1.3與(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解:因?yàn)閍>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數(shù),所以(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數(shù),所以(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當(dāng)a>2時,(a-1)1.3<(a-1)2.4;當(dāng)1<a<2時,(a-1)1.3>(a-1)2.4.反思感悟比較冪值大小的方法(1)對于底數(shù)相同,指數(shù)不同的兩個冪值的大小,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷.(2)對于底數(shù)不同,指數(shù)相同的兩個冪值的大小,利用冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷.(3)對于底數(shù)不同,指數(shù)也不同的兩個冪值的大小,利用中間值來判斷.易

錯

辨

析忽視對底數(shù)的分類討論致錯【典例】

若函數(shù)f(x)=ax+2(a>0,a≠1)在區(qū)間[-1,2]上的最大值等于6,則實(shí)數(shù)a的值等于

.

【典例】

若函數(shù)f(x)=ax+2(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,2]上的最大值等于6,則實(shí)數(shù)a的值為

.

錯解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax+2(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,所以最大值為f(2)=a2+2=6,解得a=2.答案:2以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上錯解是由于忽視了對底數(shù)a的取值范圍的討論而導(dǎo)致的,事實(shí)上,當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞減,其最大值為f(-1)=6,因此還有另外一解.正解:當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=ax+2在區(qū)間[-