選擇函數(shù)形式

選擇函數(shù)形式目錄6.1過原點(diǎn)回歸6.2尺度與測量單位6.3標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸6.4回歸模型的函數(shù)形式6.5怎樣測度彈性：對數(shù)線性模型6.6半對數(shù)模型：線性到對數(shù)與對數(shù)到線性模型6.7倒數(shù)模型6.8函數(shù)形式的選擇6.9關(guān)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的性質(zhì)第2頁,共58頁，2024年2月25日，星期天6.2尺度與測量單位1988-1997年美國私人國內(nèi)總投資與國內(nèi)生產(chǎn)總值GPDIBL=以1992年10億美元計(jì)私人國內(nèi)總投資GPDIM=以1992年百萬美元計(jì)私人國內(nèi)總投資GDPB=以1992年10億美元計(jì)國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPM=以1992年百萬美元計(jì)國內(nèi)生產(chǎn)總值第3頁,共58頁，2024年2月25日，星期天假使在GPDI和GDP的回歸中某一研究者使用以10億美元計(jì)的數(shù)據(jù)，而另一研究者使用以百萬美元的同樣變量的數(shù)據(jù)。這兩種情形的回歸結(jié)果是否會(huì)是一樣的？為了回答Y和X的測量單位是否會(huì)造成回歸結(jié)果的任何差異這個(gè)問題，我們令：其中Y=GPDI，X=GDP。定義：其中w1

和w2

為常數(shù)，稱為尺度因子(scalefactors)，w1

和w2

可以相等或相異。如果Y和X是以10億美元度量的而現(xiàn)在改用百萬美元去表示，則有第4頁,共58頁，2024年2月25日，星期天現(xiàn)考慮使用如下回歸：其中我們要找出以下每組變量之間的關(guān)系式：第5頁,共58頁，2024年2月25日，星期天把OLS法應(yīng)用于新的回歸我們得到：

容易證明：第6頁,共58頁，2024年2月25日，星期天由此可以看出，當(dāng)尺度因子相同時(shí)，即時(shí)，斜率系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)差不受尺度從變到的影響。截距及其標(biāo)準(zhǔn)差放大或縮小了w1

倍。若X尺度不變（即w2=1），而Y的尺度按因子w1

改變，則斜率和截距系數(shù)以及各自的標(biāo)準(zhǔn)差都要乘以因子w1

。若Y尺度不變（即w1=1），而X尺度按因子w2

改變，則斜率系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)誤要乘以因子1/w2

，截距系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)差不變。第7頁,共58頁，2024年2月25日，星期天一個(gè)數(shù)值例子：1988-1997年美國GPDI與GDP的關(guān)系GPDI和GDP都以10億美元計(jì)算：GPDI和GDP都以百萬美元計(jì)算：如理論所示，(6.2.22)中截距及其標(biāo)準(zhǔn)差都是回歸（6.2.21）中相應(yīng)值的1000倍（w1=1000），但斜率系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)差不變。第8頁,共58頁，2024年2月25日，星期天一個(gè)數(shù)值例子：1988-1997年美國GPDI與GDP的關(guān)系若GPDI以10億美元計(jì)算而GDP以百萬美元計(jì)算：僅X改變尺度w2=1000，所以斜率系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)差是（6.2.21）中的1/1000倍。若GPDI以百萬美元計(jì)而GDP以10億美元計(jì)算：如理論所示，X尺度不變，Y按w1改變，截距和斜率系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)差都是它們在（6.2.21）中的1000倍。第9頁,共58頁，2024年2月25日，星期天為結(jié)果的解釋進(jìn)一言因?yàn)樾甭氏禂?shù)無非就是變化率，它的單位就是如下比率的單位：因變量Y的單位解釋變量X的單位

例如在回歸（6.2.21）中，斜率系數(shù)0.3016的意義是，GDP每改變一個(gè)單位，即10億美元，GPDI平均改變0.3016個(gè)10億美元。

在回歸（6.2.23）中，GDP的一個(gè)單位即1百萬美元的變化，平均導(dǎo)致GPDI的0.000302個(gè)10億美元的變化。

當(dāng)然，這兩個(gè)結(jié)果從它們的GDP對GPDI的影響看是完全相同的；只不過用不同的測量單位來表示而已。

第10頁,共58頁，2024年2月25日，星期天6.3標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸剛才我們看到回歸子和回歸元的單位會(huì)影響到回歸系數(shù)的截距。如果我們把回歸子和回歸元表示成標(biāo)準(zhǔn)化變量，這種影響就可以避免。于是，在Y對X的回歸中，如果我們把這些變量重新定義為：其中=Y的樣本均值，=Y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，=X的樣本均值，=X的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。變量和被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變量(standardizedvariables.)第11頁,共58頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)化變量的一個(gè)有趣特征是，其均值總是0，標(biāo)準(zhǔn)差總是1.注：樣本方差自由度為n-1，因?yàn)闃颖局腥绻懒司担敲粗恍枰榔渌鹡-1個(gè)數(shù)就可以把樣本中每個(gè)數(shù)都確定了。第12頁,共58頁，2024年2月25日，星期天于是我們對標(biāo)準(zhǔn)化變量做回歸：由于對標(biāo)準(zhǔn)化的回歸子和回歸元做回歸，所以截距項(xiàng)總是零。（截距=因變量的均值-斜率*回歸元的均值，對標(biāo)準(zhǔn)化變量而言，因變量和回歸元的均值都是零。）（6.3.5）是一個(gè)過原點(diǎn)的回歸。標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸系數(shù)（、表示）被稱為β系數(shù)。如何解釋β系數(shù)呢？其解釋是，如果標(biāo)準(zhǔn)化回歸元增加一個(gè)單位的標(biāo)準(zhǔn)差，則標(biāo)準(zhǔn)化回歸子平均增加單位個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)化變量的標(biāo)準(zhǔn)差為1）。與傳統(tǒng)模型不同，我們度量的變量影響用標(biāo)準(zhǔn)差為單位。（6.3.5）第13頁,共58頁，2024年2月25日，星期天回到上一例：其中GPDI和GDP以10億美元計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸結(jié)果為：解釋（6.3.6）：若GDP提高1美元，則GPDI平均提高0.3美元.解釋（6.3.7）：若GDP增加一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，則GPDI平均約增加0.94個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。第14頁,共58頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)化回歸模型與傳統(tǒng)模型相比有什么優(yōu)勢？1.若不止一個(gè)回歸，我們就能將它們放在同等地位直接進(jìn)行比較。2.可以用β系數(shù)作為各個(gè)回歸元相對解釋力的一種度量。如果一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化回歸元的系數(shù)比模型中另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化回歸元的系數(shù)大，那么前者就能比后者更多的解釋回歸子。注意：傳統(tǒng)模型的β系數(shù)與這里的β系數(shù)之間存在關(guān)系，在雙變量情形中，這種關(guān)系如下：因此，若知道回歸元和回歸子的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則可以將兩個(gè)β系數(shù)相互轉(zhuǎn)換。第15頁,共58頁，2024年2月25日，星期天6.4回歸模型的函數(shù)形式如第3章指出的，本課程主要考慮對參數(shù)為線性的模型，對變量則可以是或不是線性的。在下面的幾節(jié)中，我們考慮一些常用的回歸模型，它們也許對變量是非線性的，但對參數(shù)是線性的?；蛘呖赏ㄟ^適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q而轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shù)線性。具體討論如下的回歸模型：1.對數(shù)線性模型2.半對數(shù)線性模型3.倒數(shù)模型4.對數(shù)倒數(shù)模型第16頁,共58頁，2024年2月25日，星期天6.5怎樣測度彈性：對數(shù)線性模型考慮以指數(shù)回歸模型命名的如下模型：可表達(dá)為如果寫成其中，這個(gè)模型就是對參數(shù)α和β2

為線性，并且對變量Y和X的對數(shù)為線性，從而可用OLS回歸來估計(jì)。由于這一的線性性質(zhì)，這種模型本稱為對數(shù)-對數(shù)（log-log），雙對數(shù)（doublelog）或?qū)?shù)線性(log-linear)模型。

（6.5.3）第17頁,共58頁，2024年2月25日，星期天如果經(jīng)典線性回歸模型的假定均得到滿足，則可用OLS法估計(jì)（6.5.3）中的參數(shù)。令其中，。所得的OLS估計(jì)量和將分別是α和β2

的最優(yōu)線性無偏估計(jì)量。對數(shù)-對數(shù)模型一個(gè)使它普通應(yīng)用的特點(diǎn)，是斜率系數(shù)β2

測度了Ｙ對Ｘ的彈性，也就是由給定的Ｘ的百分比的變化引起的Ｙ的百分比的變化。比如說，Ｙ代表對某一商品的需求量，Ｘ代表其單位價(jià)格，則β2

測度了需求的價(jià)格彈性。如圖：圖6.3(a)給出了需求量與價(jià)格的關(guān)系，6.3（b)給出了價(jià)格彈性（-β2）的估計(jì)。第18頁,共58頁，2024年2月25日，星期天圖６.３不變彈性模型第19頁,共58頁，2024年2月25日，星期天對數(shù)線性模型的特點(diǎn)1.該模型假定Y與X之間的彈性系數(shù)β2在整個(gè)研究范圍內(nèi)保持不變，因此又名不變彈性模型(constantelasticitymodel)。2.雖然和是α和β2

的無偏估計(jì)量，但β1

進(jìn)入原始模型的參數(shù)估計(jì)本身是一個(gè)有篇估計(jì)量。然而在大多數(shù)實(shí)際問題中，截距項(xiàng)都居于次要地位，我們沒有必要為得到一個(gè)無偏估計(jì)量而發(fā)愁。在雙變量模型中，決定對數(shù)線性模型能否擬合好數(shù)據(jù)的簡單辦法，是描繪出lnY對lnX的散點(diǎn)圖，看是否差不多落在如圖6.3（b）那樣的直線上。第20頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例：耐用品支出與個(gè)人消費(fèi)總支出之間的關(guān)系表6.3給出了個(gè)人消費(fèi)總支出（personalconsumptionexpenditure,PCEXP）、耐用品支出（expenditureondurablegoods,EXPDUR）、非耐用品支出（expenditureonnondurablegoods,EXPNONDUR）和勞務(wù)支出（expenditureonservices,EXPSERVICES）。假設(shè)我們想求耐用品支出（EXPDUR）對個(gè)人消費(fèi)支出（PCEXP）的彈性。將耐用品支出的對數(shù)相對個(gè)人消費(fèi)支出的對數(shù)描點(diǎn)。將看到二者之間存在線性關(guān)系。因此，雙對數(shù)模型可以適用。第21頁,共58頁，2024年2月25日，星期天運(yùn)用@定義變量：serieslnexdur=@log(expdur)

serieslnpcex=@log(pcexp)第22頁,共58頁，2024年2月25日，星期天回歸結(jié)果如下：其中*表示p值極小。如結(jié)果所示，EXDUR對PECX的彈性約為1.90這表明，若個(gè)人消費(fèi)支出提高1%，耐用品支出則提高約為1.9%。因此，耐用品支出很容易受到個(gè)人消費(fèi)支出變動(dòng)的影響。這就是耐用品生產(chǎn)者總是關(guān)注個(gè)人收入和個(gè)人消費(fèi)支出變動(dòng)的原因之一。第23頁,共58頁，2024年2月25日，星期天6.6半對數(shù)模型：線性到對數(shù)與對數(shù)到線性模型經(jīng)濟(jì)學(xué)家，企業(yè)人員與政府常常對某些經(jīng)濟(jì)變量，如人口、GNP、貨幣供給、就業(yè)、生產(chǎn)力、貿(mào)易赤字等等的增長率感興趣。假設(shè)我們相對表6.3中的數(shù)據(jù)求出個(gè)人勞務(wù)消費(fèi)支出的增長率。令Yt

表示t時(shí)期對勞務(wù)的真實(shí)支出，Y0

表示勞務(wù)支出的初始值。復(fù)利公式：其中r是Y在時(shí)間上的復(fù)合的增長率。去自然對數(shù)，得現(xiàn)假設(shè)：則怎樣測量增長率：線性到對數(shù)模型第24頁,共58頁，2024年2月25日，星期天加一個(gè)干擾項(xiàng)得：此模型和任何其他線性模型一樣，也是對參數(shù)為線性的。唯一的區(qū)別，在于回歸子是Y的對數(shù)而回歸元是取值為1、2、3等的“時(shí)間”。此模型稱為半對數(shù)模型（semilogmodel）,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)變量以對數(shù)形式出現(xiàn)。為便于敘述，只是回歸子取對數(shù)的模型叫做線性到對數(shù)模型。區(qū)別之前講的對數(shù)線性模型（意為取對數(shù)后為線性）。稍后將考慮回歸子是線性而回歸元是對數(shù)的模型，稱為對數(shù)到線性模型。第25頁,共58頁，2024年2月25日，星期天在此半對數(shù)模型中，斜率系數(shù)度量了給定回歸元（在本例中為時(shí)間變量t）取值的絕對改變時(shí)Y的恒定比例或相對改變量，也就是：

（6.6.7）如果將Y的相對該變量乘以100，則（6.6.7）將給出相對于回歸元X的絕對改變量的、Y的百分比變化或增長率。即100乘以β2

給出Y的增長率。100乘以β2

在文獻(xiàn)中被稱為Y對X的半彈性(semielasticity)。回歸子的相對改變量回歸元的絕對改變量第26頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例：勞務(wù)支出的增長率根據(jù)增長模型，考慮表6.3中給出的勞務(wù)支出數(shù)據(jù)，得到回歸結(jié)果如下：解釋：1993年第1季度到1998年第3季度期間，勞務(wù)支出以（每季度）0.743%的速度增加。粗略的講，這等于2.97%的年增長率。截距項(xiàng)7.7890=研究期初EXS的對數(shù)，所以取其反對數(shù)則得到EXS期初值（1992年第4季度末）為2413.90（單位為10億美元）。如圖是方程給出的散點(diǎn)圖。第27頁,共58頁，2024年2月25日，星期天圖6.41972-1991年美國實(shí)際GDP的增長：半對數(shù)模型第28頁,共58頁，2024年2月25日，星期天瞬時(shí)與復(fù)合增長率。增長模型中的β2

給出瞬時(shí)（指一個(gè)時(shí)點(diǎn)）的增長率而不是復(fù)合（指一個(gè)時(shí)期）增長率。只需取β2

估計(jì)值的反對數(shù)，再減1，再乘以100%.對于該例，估計(jì)的斜率系數(shù)為0.00743。因此（antilog(0.00743)-1）=(e^0.00743-1)=0.00746或0.746%。因此，在該例中，勞務(wù)支出的復(fù)合增長率約為每季度0.746%，略高于0.743%的瞬時(shí)增長率。這是由于復(fù)合效應(yīng)所致。第29頁,共58頁，2024年2月25日，星期天線性趨勢模型。有時(shí)研究者不去估計(jì)增長模型，而估計(jì)如下模型：不做lnY對時(shí)間的回歸，而是做Y對時(shí)間的回歸。該模型稱為線性趨勢模型（lineartrendmodel），并且把時(shí)間變量t取名為趨勢變量（trendvariable）。趨勢的意思，是一個(gè)變量的行為中一種持續(xù)上升或下降的運(yùn)動(dòng)。如果上式中的斜率系數(shù)為正，則Y有一種上升趨勢，如果它是負(fù)的，則Y有一下降趨勢。第30頁,共58頁，2024年2月25日，星期天考慮勞務(wù)支出數(shù)據(jù)，擬合線性趨勢模型的結(jié)果如下：該結(jié)果釋義如下：在1993年第1季度至1998年第3季度期間，勞務(wù)支出以每季度約200億美元的速度增加。即勞務(wù)支出有上漲的趨勢。增長模型與線性趨勢模型之間的取舍，有賴于人們對實(shí)際GDP的相對或絕對變化的偏好。盡管對于許多研究目的來說，相對變化更為重要。第31頁,共58頁，2024年2月25日，星期天在增長模型中，我們感興趣的是對X的一個(gè)絕對單位的變化，Y的百分比增長?，F(xiàn)在我們感興趣的是對X的一個(gè)百分比變化，找出Y的絕對變化量。這一模型可寫為：我們把這一模型稱為對數(shù)到線性模型。斜率系數(shù)β2

一個(gè)數(shù)的對數(shù)變化就是它的相對變化。對數(shù)到線性模型Y的變化lnX的變化Y的變化X的相對變化第32頁,共58頁，2024年2月25日，星期天用符號(hào)表示或這個(gè)方程即是說Y的絕對變化等于β2

乘以X的相對變化。如果后者乘以100，則該式給出了X變化1%時(shí)Y的絕對變化量。例如變化0.01個(gè)單位（或1%）時(shí)，Y的絕對變量是

。例如β2=500，那么Y的絕對變化量是0.01（500）=5.0因此，當(dāng)人們用OLS來估計(jì)類似的回歸時(shí)，要將斜率系數(shù)的估計(jì)值乘以0.01.第33頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例：印度食物支出回歸例3.2有關(guān)印度食物支出的例子。若描點(diǎn)則得到圖6.5中的散點(diǎn)圖。第34頁,共58頁，2024年2月25日，星期天恩格爾支出模型——德國統(tǒng)計(jì)學(xué)家ErnstEngel提出：用于食物的總支出以算術(shù)級(jí)增加，而總支出以幾何級(jí)數(shù)增加。如圖所示，食物支出比總支出增加的更緩慢，這可能是恩格爾法則的憑證。將數(shù)據(jù)擬合到對數(shù)線性模型的結(jié)果如下：約等于257的斜率系數(shù)意味著總支出每提高1%，導(dǎo)致樣本中的55個(gè)家庭的食物支出平均增加約2.57盧比（注意：將斜率系數(shù)乘以0.01）。注意一旦一個(gè)模型的函數(shù)形式已知，就可根據(jù)該定義計(jì)算彈性。彈性第35頁,共58頁，2024年2月25日，星期天6.7倒數(shù)模型

屬于以下類型的模型均稱為倒數(shù)（reciprocal）模型。

（6.7.1）雖然此模型對變量X是非線性的，但模型對β1

和β2

卻是線性的，因此它是一個(gè)線性回歸模型。特點(diǎn)：隨著X無限增大，項(xiàng)趨于零，而Y趨于極限或漸進(jìn)值β1

。因此像（6.7.1）這樣的模型在結(jié)構(gòu)上有一內(nèi)在的漸近線或極限值。當(dāng)變量X值無限增大時(shí)因變量將取此極限值。如圖為與（6.7.1）相符的一些可能形狀。第36頁,共58頁，2024年2月25日，星期天圖6.6倒數(shù)模型第37頁,共58頁，2024年2月25日，星期天圖6.764個(gè)國家中兒童死亡率與人均GNP的關(guān)系第38頁,共58頁，2024年2月25日，星期天考慮表6.4中給出的數(shù)據(jù)，目前主要考慮兒童死亡率（CM）和人均GNP這兩個(gè)變量，描出相應(yīng)的點(diǎn)如上圖。此圖與圖6.6(a)相似：假定所有其他變量保持不變，隨著人均GNP的提高，預(yù)計(jì)兒童死亡率會(huì)因人們能承擔(dān)更多的健康醫(yī)療費(fèi)用而下降。但這種關(guān)系不是一條直線：隨著人均GNP的增加，CM首先明顯下降，但隨著人均GNP繼續(xù)增加，CM的下降逐漸減弱。如果我們試圖擬合倒數(shù)模型，得到如下回歸結(jié)果：（@inv:reciprocal,1/x）隨著人均GNP無限增加，兒童死亡率趨近其漸進(jìn)值，每千人中死亡82人。（1/PGNP）的正系數(shù)意味著CM與PGNP反向變化。第39頁,共58頁，2024年2月25日，星期天圖6.6（b）的重要應(yīng)用之一，是宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的菲利普斯曲線。如圖6.8表明，工資變化對失業(yè)水平的反應(yīng)，存在有不對稱性：當(dāng)失業(yè)率低于自然失業(yè)率（被定義為保持通貨膨脹不變所需要的失業(yè)率）Un

時(shí)，由失業(yè)的單位變化引起的工資上升，要快于當(dāng)失業(yè)率高于自然水平時(shí)，由失業(yè)的同樣變化引起的工資下降。而β1

表示工資變化的漸進(jìn)底線。菲利普斯曲線的這一具體特征可能源于工會(huì)的討價(jià)還價(jià)能力、最低工資規(guī)定、失業(yè)補(bǔ)貼等制度因素。第40頁,共58頁，2024年2月25日，星期天貨幣工資變化率，%自然失業(yè)率失業(yè)率，%第41頁,共58頁，2024年2月25日，星期天菲利普斯曲線幾經(jīng)演變，一個(gè)相對近期的表述由OlivierBlanchard提供。令表示t時(shí)期的通貨膨脹率，其定義是價(jià)格水平（如消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)CPI）的百分比變化，令表示t時(shí)期的失業(yè)率，則現(xiàn)代版的菲利普斯曲線表述如下：其中=第t年的實(shí)際通貨膨脹率=在第（t-1）年對第t年通貨膨脹率的預(yù)期=第t年的實(shí)際失業(yè)率=第t年的自然失業(yè)率由于不能直接觀測，所以可以簡化假定，即今年的預(yù)期通貨膨脹率為去年的通貨膨脹率。第42頁,共58頁，2024年2月25日，星期天將這個(gè)假定帶入（6.7.3），并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：其中。該式說明，兩個(gè)時(shí)期之間通貨膨脹率的變化域當(dāng)前的失業(yè)率線性相關(guān)。據(jù)經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)β2

為負(fù)，而β1

為正。順帶一提，（6.7.3）中的菲利普斯曲線在文獻(xiàn)中被稱為修正的菲利普斯曲線或加速主義者菲利普斯曲線（表明低失業(yè)率導(dǎo)致通貨膨脹上升，并因而成為價(jià)格水平的。加速器）表6.5給出1960-1998年間的通貨膨脹率和失業(yè)率數(shù)據(jù)，其中通貨膨脹由消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)的逐年百分比（CPI膨脹）來度量，失業(yè)率指城市失業(yè)率。我們從數(shù)據(jù)可得通貨膨脹率的變化，并相對城市失業(yè)率描點(diǎn)。Eviews中由差分表示：datainflrate1/inflrate1=D(inflrate)第43頁,共58頁，2024年2月25日，星期天圖6.9修正的菲利普斯曲線第44頁,共58頁，2024年2月25日，星期天通過圖6.9可以看出，恰如所料，通貨膨脹率變化和失業(yè)率之間存在負(fù)向關(guān)系——低失業(yè)率導(dǎo)致通貨膨脹率的提高，并因此使價(jià)格水平加速提升，加速主義者菲利普斯曲線因此得名。從圖中并不能看出是直線回歸模型還是一個(gè)倒數(shù)回歸模型，我們做如下回歸：線性模型倒數(shù)模型這兩個(gè)模型的所有估計(jì)系數(shù)都是個(gè)別統(tǒng)計(jì)顯著的，所有的p值都低于0.005的水平。第45頁,共58頁，2024年2月25日，星期天模型（6.7.5）表明，若失業(yè)率下降1個(gè)百分點(diǎn)，則通貨膨脹率平均上升約0.7個(gè)百分點(diǎn)，反之亦然。模型（6.7.6）表明，即便失業(yè)率無限增加，通貨膨脹率的最大變化也只下降約3.25個(gè)百分點(diǎn)。從方程（6.7.5）可以計(jì)算出其背后的自然失業(yè)率：即自然失業(yè)率為6.06%。經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為自然失業(yè)率介于5%到6%之間。第46頁,共58頁，2024年2月25日，星期天對數(shù)雙曲線或?qū)?shù)倒數(shù)模型通過考率如下形式此為對數(shù)倒數(shù)模型。如圖所示Y首先以遞增的速度增加，然后以遞減的速度增加。這樣的模型可能適合于短期生產(chǎn)函數(shù)模型。如果勞動(dòng)和資本是一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)的投入，而且我們保持資本投入不變但增加勞動(dòng)投入，則產(chǎn)出與勞動(dòng)之間的短期關(guān)系就類似該圖。第47頁,共58頁，2024年2月25日，星期天6.8函數(shù)形式的選擇在雙變量情形中，通過描點(diǎn)就能基本上知道哪個(gè)模型合適，但涉及到多元回歸模型時(shí)，選擇將困難的多。在對經(jīng)驗(yàn)估計(jì)選擇適當(dāng)模型時(shí)，需要大量技巧和經(jīng)驗(yàn)，但仍有一些指導(dǎo)原則可供參考：1.模型背后的理論（如菲利普斯曲線）可能給出一個(gè)特定的函數(shù)形式。2.最好能求出回歸子Y相對回歸元X的變化率（即斜率）和回歸子Y對回歸元X的彈性。如表6.6給出了各種模型的斜率和彈性系數(shù)公式：第48頁,共58頁，2024年2月25日，星期天表6.6線性對數(shù)線性線性到對數(shù)對數(shù)到線性倒數(shù)對數(shù)倒數(shù)模型方程斜率彈性第49頁,共58頁，2024年2月25日，星期天3.所選模型的系數(shù)應(yīng)該滿足一定的先驗(yàn)預(yù)期。如考慮汽車的需求是價(jià)格和其他變量的函數(shù)，那我們應(yīng)該預(yù)期價(jià)格變量的系數(shù)為負(fù)。4.有時(shí)不止一個(gè)模型能不錯(cuò)的擬合一個(gè)給定的數(shù)據(jù)集。如在修正的菲利普斯曲線一例中，我們對同樣的數(shù)據(jù)擬合了一個(gè)線性模型和一個(gè)倒數(shù)模型。在兩種情況下，系數(shù)都與先驗(yàn)預(yù)期一直，也都是統(tǒng)計(jì)上顯著的。一個(gè)重要區(qū)別在于，線性模型的r2

值比倒數(shù)模型的r2

大。因此人們略微傾向于使用線性模型。但注意，在比較兩個(gè)r2

時(shí)，兩個(gè)模型的因變量必須相同，解釋變量可采用任何形式。5.不應(yīng)該過分強(qiáng)調(diào)r2

這一度量，并非模型的r2

越大越好。下一章會(huì)討論，在模型中添加更多的回歸元，r2

會(huì)不斷增大。第50頁,共58頁，2024年2月25日，星期天6.9關(guān)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的性質(zhì)的注記考慮如下回歸模型：這是一個(gè)沒有誤差項(xiàng)的模型，為了估計(jì)的目的，可把此模型表達(dá)成三種不同形式：第51頁,共58頁，2024年2月25日，星期天對這些方程兩邊取對數(shù)得：其中像（6.9.2）這樣的模型本質(zhì)上是線性回歸模型，因?yàn)橥ㄟ^適當(dāng)?shù)淖儞Q即可將該模型變成對參數(shù)α和β2

是線性的。但模型（6.9.4）本質(zhì)上對參數(shù)非線性，因?yàn)閘n(A+B)不等于lnA+lnB。沒有對其取對數(shù)的簡單方法。雖然（6.9.2）和（6.9.3）同是線性回歸模型，都可用OLS法加以估計(jì)，但要記得OLS的BLUE性質(zhì)要求ui

有零均值、恒定方差和零自相關(guān)。還假定ui

是正態(tài)分布的。第52頁