2025版高考數(shù)學一輪總復習知識梳理第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第3講隨機事件的概率古典概型

第三講隨機事件的概率古典概型知識梳理知識點一隨機事件的有關概念1．隨機試驗——對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察．常用E表示．樣本點——隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果.常用w表示．樣本空間——全體樣本點的集合，常用Ω表示．2．隨機事件——樣本空間Ω的子集，簡稱事件，常用A，B，…表示．基本事件——只包含一個樣本點的事件．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時稱為事件A發(fā)生，Ω總會發(fā)生，稱Ω為必然事件，?在每次試驗中都不會發(fā)生，稱?為不可能事件．知識點二事件的關系與運算定義符號表示包含關系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A，且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A與事件B至少有一個發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A與事件B同時發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?，且A∪B＝Ω知識點三古典概型1．概率——對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)．2．具有以下兩個特征的試驗稱為古典試驗，其數(shù)學模型稱為古典概型．(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個.(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n).3．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)P(Ω)＝1，P(?)＝0.(3)如果事件A與事件B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B).P(AB)＝0.(4)如果事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝1－P(B).(5)如果A?B，那么P(A)≤P(B)．(6)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．知識點四頻率與概率在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性．隨著試驗次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性，因此，可用頻率fn(A)估計概率P(A)．歸納拓展1．頻率隨著試驗次數(shù)的改變而改變，概率是一個常數(shù)．2．對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．3．求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)常用兩個計數(shù)原理及排列、組合知識，另外還有列舉法、列表法、樹狀圖法等．4．當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)甲、乙二人比賽，甲勝的概率為eq\f(3,5)，則比賽5場，甲勝3場．(×)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件．(×)(3)從市場上出售的標準為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型．(×)(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為eq\f(1,3).(√)(5)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.(√)題組二走進教材2．(必修2P235例8)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為eq\f(5,6).[解析]擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共6×6＝36(種)可能的結(jié)果，其中點數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點數(shù)不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).題組三走向高考3．(2022·全國高考甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(C)A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)[解析]從6張卡片中無放回抽取2張，共有Ceq\o\al(2,6)＝15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)6種情況，故概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故選C.4．(2021·全國高考)將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為(C)A．0.3 B．0.5C．0.6 D．0.8[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,5))＝0.6.故選C.5．(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(