2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識梳理第7章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積

第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積知識梳理知識點一多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形結(jié)構(gòu)特征①有兩個面互相平行且全等，其余各面都是平行四邊形.②每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的多面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形知識點二旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)知識點三圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l知識點四柱體、錐體、臺體和球體的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3知識點五直觀圖直觀圖斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍_平行于坐標(biāo)軸__，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.歸納拓展1．一個平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”．三變：坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行線段的長度改變(減半)，圖形改變．三不變：平行性不變，與x軸平行的線段長度不變，相對位置不變．2．柱體、錐體、臺體體積間的關(guān)系：臺體的體積常化為兩錐體體積之差求解．3．多面體的外接球與內(nèi)切球常用的結(jié)論：(1)設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝eq\f(a,2)，外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)a.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(與各棱都相切的球的半徑為\f(\r(2),2)a))(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).(3)設(shè)正四面體的棱長為a，則它的高為h＝eq\f(\r(6),3)a，內(nèi)切球半徑r＝eq\f(1,4)h＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半徑R＝eq\f(3,4)h＝eq\f(\r(6),4)a.雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺．(×)(4)有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺．(×)(5)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.(√)(6)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(×)題組二走進(jìn)教材2．(必修2P119T1)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(B)A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cm[解析]由條件得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πrl＋πr2＝12π，,\f(2πr,l)＝π，))∴3r2＝12，∴r＝2.3．(多選題)(必修2P116T3改編)“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，得到的半正多面體的表面積為12＋4eq\r(3)，則關(guān)于該半正多面體的下列說法中正確的是(ACD)A．AB＝eq\r(2)B．該半正多面體的外接球的表面積為6πC．AB與平面BCD所成的角為eq\f(π,4)D．與AB所成的角是eq\f(π,3)的棱共有16條[解析]設(shè)正方體的棱長為2a，則6×(eq\r(2)a)2＋8×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝12＋4eq\r(3)，∴a＝1，∴AB＝eq\r(2)a＝eq\r(2)，A正確；顯然該半正多面體外接球的球心為對應(yīng)正方體的中心，∴外接球半徑R＝eq\r(2)，∴S球＝8π，B錯誤；顯然AB與平面BCD所成角為∠HBA＝eq\f(π,4)，C正確；與AB成角是eq\f(π,3)的有BC、AC、EN、FD、FM、EM、AN、BD、CT、CP、DP、DR、MS、MR、NT、SN共16條，D正確．故選ACD.題組三走向高考4．(2023·全國新高考Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺的體積為eq\f(7,6)eq\r(6).[解析]解法一：如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCD－A1B1C1D1的高，因為AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)A1B1＝eq\f(\r(2),2)，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)AB＝eq\r(2)，故AM＝eq\f(1,2)(AC－A1C1)＝eq\f(\r(2),2)，則A1M＝eq\r(A1A2－AM2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以所求體積為V＝eq\f(1,3)×(4＋1＋eq\r(4×1))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).解法二：同解法一棱臺高h(yuǎn)＝eq\f(\r(6),2)，∴VA1－ABD＝eq\f(1,3)S△ABD×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(6),3)，又eq\f(S△A1BB1,S△A1AB)＝eq\f(1,2)，eq\f(S△A1B1D1,S△ABD)＝eq\f(1,4).∴VD－A1BB1＝eq\f(1,2)VA1－ABD＝eq\f(\r(6),6)，VD－A1B1D1＝eq\f(1,4)VA1－ABD＝eq\f(\r(6),12)，∴VA1B1D1－ABD＝VA1－ABD＋VD－A1BB1＋VD－A1B1D1＝eq\f(7\r(6),12)，∴VA1B1C1D1－ABCD＝2VA1B1D1－ABD＝eq\f(7\r(6),6).5．(2022·全國新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(A)A．100π B．128πC．144π D．192π[解析]設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r1，r2，所以2r1＝eq\f(3\r(3),sin60°)，2r2＝eq\f(4\r(3),sin60°)，即r1＝3，r2＝4，設(shè)球心到上下底