2021年新課標版理數(shù)高考復習練習講義：十六　不等式選講

專題十六不等式選講

探考情悟真題

【真題探秘】

(2019課標I,23,10分)已知Q為正數(shù)，且滿足血=1.

證明：

-。有千方，紅忐產(chǎn)汕仁勿〃，的4用.

(1；

(2)(a+6)3+(6+c)3+(c+a)3^24.

?核心考點?儲備知識?解答過程

1.不等式證明.

|.基本不等式的推廣：一般地，若%,4,%,解析：(1)因為a~+b2^2abb2+c2N26c

?2.基本不等式.t

…，%是正實數(shù).1m不等式“吃…+與c2+a2N2ac,乂abc=1,故有

?思路分析物%…”,當且僅當°尸產(chǎn)尸…f時取等號.j,,ab+bc+ca

a+u+<?Nab+bc+ca-----------=

abc

)利用重耍不等式可22

(IMa+A-H?ab+bc+ca,2.不等式證明的常用方法：①比較法；②綜III

__.ab+bc+caiii,,一——+——+——.

再由而c=I可得=—+7-+—,從而合法；析法；④反證法；⑤放縮法.abc

得證.

?思想方法所以「-+」-+」-^a2+b2+c2.

⑵由基本不等式的推廣可證得結論.abc

化歸與轉化的.想方法：(2)因為a,〃,c為正數(shù)且加=1,故有

?命題規(guī)律(1)比較思想：加注比較，a-b>O=a>6;a-6I(a+5)1+(6+c),+(c+a)1

<0Qa<6.②作商比較，-^->1,6>0=a>b;

解絕對值不等式及不等式證明是高考N3R(a+Z>)6+c尸(a+c)，

中的重點內(nèi)容，其中以解含有兩個絕-y-<l,b>0=^a<b.

向綜合思想：利用已證明過的不等式或已知條=3(a+6)(6+c)(a+c)

對值的不等式為主.不等式的證明，以N3x(2依)x(24T)x(2疝)

件運用不等式的性質(zhì)推導出要證的不等式.

考查綜合法、分析法、放縮法等為主，=24.

(3)分析思想：從要證結論出發(fā)，分析使結論

另外應用基本不等式求函數(shù)的最值也所以(a+”)3+(〃+c)3+(c+a)3224.

成立的充分條件.把證明結論轉化為判定充

J是一個熱點.

分條件.

【考情探究】

5年考情

考點內(nèi)容解讀預測熱度

考題示例考向關聯(lián)考點

(1)理解絕對值的幾何意義,解絕對值不等式,含

2019課標II,23,10分不等式的性質(zhì)

并能利用含絕對值不等式幾有絕對值的恒成立、

2018課標I,23,10分和解法

皿”何意義證明以下不等式：參數(shù)取值范圍的問題

1.絕對值

a+b<|a|+1b|.★★★

2017課標I,23,10分解絕對值不等式,含

不等式不等式的性質(zhì)

a-b|W|a-c|+c-b.有絕對值的存在性、

和解法

2017課標III,23,10分參數(shù)取值范圍的問題

(2)會利用絕對值的幾何意

求解以下類型的不等式：2016課標I,24,10分畫絕對值函數(shù)的圖不等式的性質(zhì)

|ax+b|象，解絕對值不等式和解法

Wc;|ax+b2c;x-a|+1x-

2.不等式b|2c.2019課標I,23,10分

的證明⑶了解證明不等式的基本2019課標III,23,10分不等式的證明基本不等式

法:比較法、綜合法、分析

2017課標II,23,10分

法、反證法、放縮法

分析解讀從近五年的考查情況來看，本專題內(nèi)容是高考的考查熱點,主要考查絕對值不等式的求解、恒成立

問題、存在性問題以及不等式的證明,多以解答題的形式呈現(xiàn),難度中等,分值為10分.主要考查學生的數(shù)學運

算能力、分類討論思想和數(shù)形結合思想的應用.

破考點練考向

【考點集訓】

考點一絕對值不等式

1.(2020屆云南昆明第二次月考,23)已知函數(shù)￡&)=值乂-1|6〉0).

(1)設不等式f(x)W2的解集為A,集合B={x|-2<x<2}，若ASB,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)若不等式f(x)+fQx+D〉女寸一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解析(1)由|ax-l|W2,得-2WaxTW2,

又YaX),.,.qWxW*得A=m

VB={x|-2<x<2},fiAcB,

啖

3a解得?

。冶，2

.,.a的取值范圍是傅,+8).(4分)

(2)由題意,得|axT|+|x+l]>|對一切實數(shù)x恒成立，設h(x)=|axT|+|x+l,因為a>0,

r-(a+l)x,x<-1,

所以h(x)=<(l-a)x+2,-1M久W1(6分)

(a+l)x,x>

所以h(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減,在G，+8)上單調(diào)遞增，(7分)

①當(KaWl時,h(x)在卜1,寺上單調(diào)遞增,h(x),=h(T)=a+l〉|,.《〈aWl.(8分)

②當a>l時,11&)在卜1用上單調(diào)遞減，11a)5=端片+烤,-2(9分)

綜上所述,a的取值范圍是(12).(10分)

2.(2018豫南九校5月聯(lián)考,23)已知函數(shù)f(x)=|x+11+1x-31.

⑴若關于x的不等式f(x)<a有解,求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若關于x的不等式f(x)<a的解集為伍,5求a+b的值.

2x-2,x>3,

解析⑴不等式等價于a>f(x)皿f(x)=h,-l<x<3,繪制函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,觀察函數(shù)的圖象,可得

2-2x,x<-1,

實數(shù)a的取值范圍是(4,+8).

⑵由題意可得是方程|x+l|+|x-3|=a的解，所以a=||+1|+||-3|=5,求解絕對值不等式|x+11+|x-3|<5可得-

44,3,1-37

故Tb=—,a+b=5—=-.

入2，22

考點二不等式的證明

1.(2020屆山西太原五中10月月考,23)設函數(shù)f(x)=|x+11+1x-11,已知不等式f(x)W2B的解集為M.

⑴求M

(2)當a,b時,證明:V3|a+b|W|ab+31.

(-2x,x<-1,

解析⑴f(x)=Ix+11+1X-11=j2,-1<%<1,

\2x,x>1.

當x<-l時,由-2X42V5,得x^-V3;

當TWxWl時，f(x)=2^2>/3;

當x>l時,由2xW28,得xW百.

所以M二[-次,V3].

(2)證明:當a,b￡M,即-V5Wa,b4舊時，

3(a+b)2-(3+ab)2=3(a2+2ab+b2)-(9+6ab+a2b2)

=(a-3)(3-b2)^0,

A3(a+b)(3+ab)2,

/.V31a+b|W13+ab|.

2.(2019河南鄭州二模,23)關于x的不等式|x-21<m(m￡N*)的解集為A,且2A,抑.

⑴求m的值;

(2)若a,b,c均為正實數(shù),且ab+bc+ca=mabc,求證:@+如+9。236.

解析(l)v|eA,i?A,

.?.朋＜m,加去m,

22’

⑵證明：由⑴及已知得工+：+幺1,

abc

又a,b,c均為正實數(shù),

:.a+4b+9c=

當且僅當a=2b=3c時等號成立,

故a+4b+9c>36.

。思路分析⑴根據(jù)題意可得||-2卜m,假臼而,即可求出m的值；(2)由⑴及已知條件得彳照=1,再利用1的

代換構造基本不等式即可證明.

煉技法提能力

【方法集訓】

方法1含絕對值不等式的解法

1.(2020屆武漢第十六中學開學考試,23)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+11.

⑴若a=2,求不等式f(x)>x+2的解集；

(2)如果關于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求實數(shù)a的取值范圍.

(-2x+1(%<-1),

解析(1)當a=2時，f(x)=j3(-l<x<2),不等式f(x)>x+2等價于X<-1,第2'或

(2x-l(x>2),-2%+1>x+2

LrY>"2；"解得x〈l或x〉3.

故原不等式的解集為｛x|x〈l或x>3).

(2)Vf(x)=|x-a|+|x+l|2(x-a)-(x+l)|=|a+l|,當(x-a)(x+1)WO時取等號,

???若關于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+11<2,

解得即實數(shù)a的取值范圍是(-3,1).

2.(2019安徽合肥第一次教學質(zhì)量檢測,23)設函數(shù)f(x)=|x+11.

(1)若f(x)+2x>2,求實數(shù)X的取值范圍;

(2)設g(x)=f(x)+f(ax)(a>l)，若g(x)的最小值為a求a的值.

解析⑴f(x)+2x>2即|x+l|>2-或1ox、,

(%+1>2-2%l-x-1>2-2%3

實數(shù)X的取值范圍是G，+8).

(2)Va>l,

-(a+(-8,-1),

：?g(x)(l-a)x,%e<1,用,

(Q+l)x+2,%e+8)

易知函數(shù)g(x)在(-8,一￡)上單調(diào)遞減,在仁,+8)上單調(diào)遞增,

?e?g(x)min=g(-5)二

解得a=2.

a2

方法2與絕對值不等式有關的最值問題

1.(2020屆甘肅頂級名校階段測試一,23)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|a-x|+1x+b|+c.

⑴當a=b=c=l時,求不等式f(x)>3的解集；

(2)當f(x)的最小值為3時,求先+十的最小值.

解析⑴f(x)=|xT|+|x+l|+l,

.??產(chǎn)」或尸V或

(1-2%>3(3>312%+1>3,

解得X<-1或X>1,故原不等式的解集為{xIX<-1或X>1}.

(2)f(x)=|x-a|+1x+b|+c2|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c=3,

.?.生+W(a+b+c)(2+*[3+(1++(￡+2)+住+即蕓X(3+2+2+2)=3,當且僅當a=b=c=l時取等號,

abc3\abc/3L\abj\acj\bc)\3

故的最小值為3.

abc

2.(2019安徽黃山第二次質(zhì)量檢測,12)已知f(x)=|2-x|-|4-x|.

⑴關于x的不等式f(x)^a-3a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若f(m)+f(n)=4,且m<n,求m+n的取值范圍.

(2(x>4),

解析(l)f(x)=12x-6(2<x<4),

1-2(x<2),

.,.f(x)mi?=-2,(3分)

?.?f(x)》a2-3a恒成立，

；.a"-3aWf(x)mi?=-2,

解得lWaW2.(5分)

⑵由⑴知f(x)蛔=2,

.?.f(m)W2,f(n)W2,

則f(m)+f(n)W4,(8分)

又f(m)+f(n)=4,所以f(m)=f(n)=2,于是n〉m?4,

故m+n>8.(10分)

【五年高考】

A組統(tǒng)一命題?課標卷題組

考點一絕對值不等式

1.(2019課標H,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+1x~21(x-a).

⑴當a=l時,求不等式f(x)<0的解集;

⑵若xeS,1)時,f(x)〈0,求a的取值范圍.

解析本題考查不等式的基本性質(zhì),絕對值不等式的求解,以及含有參數(shù)的絕對值不等式恒成立問題.通過對絕

對值不等式的分類討論考查學生的化歸與轉化的能力，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).

⑴當a=l時,f(x)=|x-lx+|x-2|(x-1).

當時,f(X)=-2(X-1)2<0;當x'l時，f(x)》0.

所以不等式f(x)<0的解集為(-8j).

(2)因為f(a)=0,所以aNl,

當a》l,x€(-8,1)時，f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(xT)〈0,所以,a的取值范圍是［1,+°°).

。思路分析(1)當a=l時,求解絕對值不等式只需分類討論去掉絕對值.(2)首先關注f(a)=0,求得aN1,這樣

不需要分類討論就可以去掉絕對值,得到f(x)=2(a-x)(x-1)<0,求解即可.

2.(2018課標I,23,10分)已知f(x)=|x+11-1ax-1.

⑴當aH時,求不等式f(x)>l的解集；

(2)若xe(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.

解析⑴當a=l時，f(x)=|x+l|-|x-l|,

(-2,x<-1,

即f(x)=J2x,-l<x<l,

l2,x>1.

故不等式f(x)〉l的解集為標|x>|}.

⑵當x￡(0,1)時|x+lHax-l|》x成立等價于當x￡(0,1)時|axT|<1成立.

若aWO,則當xe(0,1)時|ax-l若1;

若a>0,貝”ax-11<1的解集為卜|0<x<j],

所以與1,故0<aW2.

a

綜上,a的取值范圍為92].

。方法技巧L研究含有絕對值的函數(shù)問題時,常根據(jù)絕對值的定義,分類討論去掉絕對值符號,從而轉化為分

段函數(shù)來解決.

2.對于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-aHx-b|型函數(shù)的最值問題,常利用絕對值三角不等式解決.

3.不等式的恒成立問題可轉化為函數(shù)的最值問題.注意在xeD上，當f(x)存在最小值時，f(x)>a恒成立

<=>a<f(x)mi?,當f(x)存在最大值時，f(x)<a恒成立oa〉f(x)

3.(2018課標HI,23,10分)設函數(shù)f(x)=|2x+l|+|x-l].

⑴畫出y=f(x)的圖象；

(2)當xd[0,+8)時，f(x)Wax+b,求a+b的最小值.

解析本題考查函數(shù)的圖象與絕對值不等式酬立問題.

-3x,x<-

x+2,-|<x<1,

f3x,x>1.

y=f(x)的圖象如圖所示.

⑵由⑴知,y=f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當a》3且

b>2時，f(x)Wax+b在［0,+8)成立,因此a+b的最小值為5.

踢錯警示對“零點分段法”的理解不到位

若不等式含有兩個或兩個以上的絕對值并含有未知數(shù),通常先把每個絕對值內(nèi)代數(shù)式等于零時的未知數(shù)的值求

出很P零點)，然后將這些零點標在數(shù)軸上,此時數(shù)軸被零點分成了若干段(區(qū)間)，在每一區(qū)間里,每一個絕對值符

號內(nèi)的代數(shù)式的符號確定，此時利用絕對值的定義可以去掉絕對值符號.

。解后反思絕對值不等式問題常見類型及解題策略

⑴直接求解不等式，主要利用絕對值的意義、不等式的性質(zhì)想辦法去掉絕對值符號求解.

⑵已知不等式的解集求參數(shù)值,利用絕對值三角不等式或函數(shù)求相應最值,再求參數(shù)的取值范圍.

4.(2017課標I,23,10分)已知函數(shù)f(x)=^x2+ax+4,g(X)=|x+1+|x-l|.

⑴當a=l時,求不等式f(x)與g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)與g(x)的解集包含［T,1］,求a的取值范圍.

解析本題考查含絕對值的不等式的解法,考查學生的運算求解能力以及對數(shù)形結合思想的應用能力.

(1)解法一(零點分段法)：當a=l時,不等式f(x)Ng(x)等價于x2-x+|x+l|+1xT|-4^0.①

當x〈T時,①式化為X2-3X-4^0,無解；

當TWxWl時,①式化為x?-x-2W0,從而TWxWl;

當X>1時,①式化為x2+x-4^o,從而1?1+產(chǎn).

所以f(x)2g(x)的解集為｛%卜1<x<1+產(chǎn)｝.

2x,x>1,

2,-1<%<1,

｛-2x,x<-1,

當a=l時，f(x)=-X2+X+4,兩個函數(shù)的圖象如圖所示.

易得圖中兩條曲線的交點坐標為(-1,2)和(產(chǎn),-1+舊)，所以f(x)已g(x)的解集為［卜1<x<

(2)解法一(等價轉化法):當xd［-1,1］Hyt,g(x)=2.

所以f(x)Ng(x)的解集包含［T,1］等價于當xd［-1,1］時f(x)22.

又f(x)在［T,1］內(nèi)的最小值必為f(T)與f⑴之一，

所以f(T)A且f⑴22,得-IWaWl.

所以a的取值范圍為［-1,1］.

解法二(分類討論法)：當xe［-1,1］g(x)=2,

所以f(x)2g(X)的解集包含［T,1］等價于x￡［T,1］時f(x)22,即-x、ax+4N2,

當x=0時,-x2+ax+422成立;

當X?(0,1］時,-x?+ax+422可化為a^x-p而y=x-：在(0,1］單調(diào)遞增,最大值為T,所以a?T;

當x￡［-1,0)Bi,-x2+ax+4^2可化為a^x--,而y=x-2在［T,0)單調(diào)遞增,最小值為1,所以aWL

XX

綜上,a的取值范圍為［T,1］.

。思路分析(1)利用零點分段法或圖象法解含絕對值的不等式；(2)根據(jù)題設可去掉絕對值,進而轉化為不等式

恒成立問題進行求解.

。方法總結含絕對值不等式問題的常見解法：

(D含絕對值的不等式求解問題,常利用零點分段討論法或數(shù)形結合法求解.

(2)與恒成立相關的求參問題,常構造函數(shù)轉化為求最值問題.

5.(2016課標HI,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.

⑴當a=2時,求不等式f(x)W6的解集；

⑵設函數(shù)g(x)=12xT|.當xdR時，f(x)+g(x)>3,求a的取值范圍.

解析⑴當a=2時,f(x)=|2x-2|+2.

解不等式12x-21+2W6得-1WxW3.

因此f(x)W6的解集為{x|-1WXW3}.(5分)

⑵當xWR時,

f(x)+g(x)=|2x-a|+a+l-2x|》|2x-a+l-2x|+a=|l-a|+a,

當xg時等號成立,所以當XeR時，f(X)+g(x)與3等價于11-a|+a23.①(7分)

當aWl時,①等價于ba+a》3,無解.

當a>l時,①等價于aT+a》3,解得aN2.

所以a的取值范圍是⑵+8).(10分)

。方法指導(1)將a=2代入不等式，化簡后去絕對值求解；

(2)要使f(x)+g(x)濱3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值33即可,利用a|+1b]|a土b|可求最值.

考點二不等式的證明

1.(2019課標III,23,10分)設X,y,z￡R,且x+y+z=l.

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；

⑵若(x-2)2+(y-1)2+(z-a):|成立,證明:a^-3或a2T.

解析本題主要考查不等式的證明以及基本不等式的應用,考查學生推理論證的能力,考查了邏輯推理的核心素

養(yǎng).

⑴由于[(x-l)+(y+l)+(z+l)]2

=(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]

<3[(X-1)2+(y+l)2+(z+1)2],

故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2若，

當且僅當x=|,y=三,z=三時等號成立.

所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為(

(2)證明：由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]

<3[(X-2)2+(y-l)2+(z-a)2],

故由已知得(x-2)，(y-1)，+(z-a)2已產(chǎn),當且僅當x等y號,z=等時等號成立.

因此(x-2)2+(y-1)，(z-a/的最小值為手.

由題設知仁解得aW-3或a^-1.

。難點突破(1)考慮到x+y+z=l,(x-l)+(y+l)+(z+l)=(x+y+z)+l=2,將xT,y+1,z+1分別看作一個整體,轉化為

已知三數(shù)之和為定值,求它們平方和最小值的問題.和的平方與平方和之間存在等量關系

(a+b+c)2=a?+b'c'Zab+Zac+Zbc,借助基本不等式可消去乘積,得到(a+b+c)W3(a2+b2+c2).

⑵只需證明［(x-2)2+61產(chǎn)+(z-a)丁若,

求［-61)2+(z-a)的方法同第⑴問.

2.(2017課標n,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明：

(1)(a+b)(a5+b5)24;

(2)a+bW2.

證明本題考查不等式的證明.

⑴(a+b)(a'+W+abS+aSb+b，

=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)

=4+ab(a2-b2)2^4.

(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)W2+^^(a+b)

4

3

_^+3(a+fe)

4'

所以(a+b)3W8,因此a+bW2.

。失分警示運用直接法證明不等式時,可以通過分析和應用條件逐步逼近結論,在證明過程中易因邏輯混亂而

失分

B組自主命題?省(區(qū)、市)卷題組

考點一絕對值不等式

1.(2015重慶,16,5分)若函數(shù)f(x)=|x+11+21x-a|的最小值為5,則實數(shù)a=

答案-6或4

2.(2019江蘇,21C,10分)設xdR,解不等式|x|+|2x-l|/2.

解析本題主要考查解不等式等基礎知識,考查運算求解和推理論證能力.

當x<0時,原不等式可化為-x+l-2x>2,解得x<-|;

當OWxW*寸,原不等式可化為x+l-2x>2,即x<-l,無解；

當x審寸,原不等式可化為x+2x-l>2,解得x>l.

綜上,原不等式的解集為｛x|x<J或x>1).

考點二不等式的證明

1.(2016江蘇,21D,10分)設a〉0,求證：|2x+y-4|<a.

證明因為|x-l」g|廠2代,

所以I2x+y-41=|2(x-l)+(y-2)|W21xT|+1y-2|〈2xg+|=a.

2.(2015湖南,16(3),6分)設a>0,b>0,且a+b」+2證明：

ab

⑴a+b22;

(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.

證明由a+b'+'aq,a>0,b>0,得ab=l.

abab

(1)由基本不等式及ab=1,有a+b22V^F=2,即a+b22.

⑵假設a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a+a<2及a>0得0<a<l;同理0<b<l,從而ab<l,這與ab=l矛盾.故

a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.

C組教師專用題組

考點一絕對值不等式

1.(2015山東,5,5分)不等式、-1|-鼠-5|<2的解集是()

A.(-8,4)B.(-8,1)C.(1,4)D.(1,5)

答案A

2.(2018課標II,23,10分)設函數(shù)f(x)=5-1x+a|-|x-21.

⑴當a=l時,求不等式f(x)20的解集；

⑵若f(x)W1,求a的取值范圍.

(2x+4,x<-1,

解析⑴當時，f(x)=<2,-1<x<2,

(-2%+6,x>2.

可得f(x)的解集為{x|-2WxW3}.

⑵f(x)W1等價于Ix+a|+1x-212.

而|x+a|+1x-2||a+21,且當x=2時等號成立.

故f(x)Wl等價于|a+2|24.

由Ia+2|>4可得aW-6或a>2.

所以a的取值范圍是(-8,-6]U[2,+8).

。方法總結解含有兩個或兩個以上絕對值的不等式,常用零點分段法或數(shù)形結合法求解;求含有兩個或兩個以

上絕對值的函數(shù)的最值,常用絕對值三角不等式或數(shù)形結合法求解.

3.(2016課標I,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+lH2x-3|.

⑴畫出y=f(x)的圖象；

⑵求不等式1f(x)|>l的解集.

rx-4,x<-1,

3

解析⑴￡6)=(3%-2,-1<%<5，(3分)

「％+4,%>|,

y=f(x)的圖象如圖所示.(5分)

⑵由f(x)的表達式及圖象,當f(x)=1時,可得x=l或x=3;(6分)

當f(x)=T時,可得x三或x=5,(7分)

故f(x)>l的解集為｛x|l〈x<3｝;f(x)〈T的解集為｛%|x<:或x>5｝.(9分)

所以|f(x)|>1的解集為｛%|xV：或1Vx<3或x>5>(10分)

4.(2016課標H,24,10分)已知函數(shù)f(x)+臼+卜+||,M為不等式f(x)<2的解集.

⑴求M;

(2)證明:當a,b￡M時，|a+b|<11+ab|.

(-2x,x<

解析(l)f(x)[l,J<x<3(2分)

\2xfx>

當xW-巳時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-l;(3分)

當時，f(x)<2恒成立；(4分)

當X苗時,由f(x)<2得2x<2,解得X<1.(5分)

所以f(x)<2的解集M={x|-kx<l}.(6分)

(2)證明:由⑴知,當a,b￡M時，-從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-l=(a2-l)(l-b2)<0.

因此|a+b|〈|l+ab|.(10分)

5.(2015課標I,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+11-21x-a|,a>0.

⑴當a=l時,求不等式f(x)>l的解集；

⑵若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.

解析⑴當a=l時，f(x)>l化為|x+11-21x-1|-l>0.

當xW-l時,不等式化為x-4>0,無解；

當-"x〈l時,不等式化為3x-2〉0,解得|〈X<1;

當x'l時,不等式化為-x+2>0,解得lWx〈2.

所以f(x)>1的解集為{x||<x<2卡(5分)

x-l-2a,x<-1,

3%+l-2a,-l<x<a,

(-%+1+2a,x>a.

所以函數(shù)f(X)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A(等,0),B(2a+l,0),C(a,a+1),AABC的面積為

|(a+l)2.由題設得|(a+l)z>6,故a>2.

所以a的取值范圍為(2,+8).(10分)

。解后反思分類討論解不等式應做到不重不漏，在某個區(qū)間上解不等式時一定要注意區(qū)間的限制性.

6.（2015江蘇,21D,10分）解不等式x+|2x+3|22.

解析原不等式可化為f<《'或卜2V，

{-X-3>213%+3>2.

解得xW-5或x，、.

綜上,原不等式的解集是卜|x4-5或x之J}.

7.(2013課標I,24,10分)已知函數(shù)f(x)=12x-l|+12x+a|,g(x)=x+3.

⑴當a=-2時,求不等式f(x)<g(x)的解集;

⑵設a>-l,且當x￡卜去習時，f(x)4g(x),求a的取值范圍.

解析(1)當a=-2時,不等式f(x)<g(x)化為12x-l|+12x-21-x-3<0.

設函數(shù)y=12x-l|+12x-21-x-3,則

15%,x<I，

i

y~\-x-2,-<x<1,

<3x-6,x>1.

其圖象如圖所示.從圖象可知,當且僅當Xe(0,2)時,y〈0.所以原不等式的解集是{x10<x<2].

(2)當x士加,f(x)=l+a.

不等式f(x)Wg(x)化為l+aWx+3.

所以x》a-2對xC[-],都成立.

故即aW*

從而a的取值范圍是(-1,4.

。方法總結⑴解含有絕對值符號的不等式的關鍵是去掉絕對值符號，可利用零點分段討論法把絕對值不等式

轉化為我們熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式，也可設出函數(shù),利用函數(shù)圖象解決.

⑵對于不等式恒成立求參數(shù)問題,常分離參數(shù),進而構造函數(shù),轉化為求最值問題.

考點二不等式的證明

1.(2017江蘇,21D,10分)已知a,b,c,d為實數(shù),且a2+bM,c2+d2=16,證明:ac+bdW8.

證明本小題主要考查不等式的證明,考查推理論證能力.

由柯西不等式可得：(ac+bdyWE+b?)(c2+d)

因為a2+b2=4,c2+d2=16,

所以(ac+bd)、W64,

因此ac+bdW8.

2.(2015課標II,24,10分)設a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明：

⑴若ab>cd,則Vc+V3;

⑵VH+V^>VF+四是|a-b|<|c-d］的充要條件.

證明(1)因為(V5+VF)2=a+b+2VaF,(Vc+Vd)2=c+d+2Vcd,

由題設a+b=c+d,ab>cd得(Va+VS)2>(Vc+V3)2.

因此>Vc+VH.

⑵⑴若Ia-b|<|c-dI,則(a-b)z<(c-d)2,

即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.

因為a+b=c+d,所以ab>cd.

由⑴得返+迎〉7?+73.

(ii)若乃+V^>VF+VS,則(VH+VF)2>(Vc+Vd)2,

即a+b+2Vab>c+d+2Vcd.

因為a+b=c+d,所以ab>cd.

于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.

因此Ia-b|<|c-d|.

綜上,V^+VK>V?+V5是|a-b|<|c-d］的充要條件.

。思路分析⑴證明(仿+揚2>(病尼)2即可

⑵兩不等式的兩邊都為非負數(shù),可通過兩邊平方來證明.

。易錯警示在證明充要條件時,既要證明充分性,也要證明必要性,否則會扣分.

3.(2014課標II,24,10分)設函數(shù)f(x)=|x+1+1x-a|(a>0).

⑴證明:f(x)22;

⑵若f(3)<5,求a的取值范圍.

解析⑴證明：由a>0,得f(x)二卜+：卜鼠-@|+：-(x-a)R+a22.

所以f(x)22.

(2)f(3)=|3+^|+|3-a|.

當a>3時，f(3)=aA由f(3)<5得3<a〈空電.

a2

當0〈aW3時，f(3)=6-a+,由f(3)<5得上更〈aW3.

a2

綜上,a的取值范圍是(竽，手).

盤閾a本題考查了含絕對值不等式的解法,考查了分類討論思想.

4.(2013課標H,24,10分)設a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=l,證明：

(1)ab+bc+ca^|;

⑵Q+Q+Q3i.

bca

證明(1)由a2+b2^2ab,b2+c2^2bc,c2+a2^2ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.

由題設得(a+b+c)、l,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=l.

所以3(ab+bc+ca)41,即ab+bc+ca

(2)因為匕+bN2a,—+c^2b,-+a^2c,

bca

故^~+g+：+(a+b+c)22(a+b+c),

/j21^2「2

即匕+匕+J2a+b+c.

bca

所以號+Q+《》1.

。思路分析⑴利用a2+b2^2ab及(a+b+c)2=1證明不等式.

(2)a+b+c=l,原不等式可轉化為十+二+.+(a+b+c)22(a+b+c).兩兩結合,利用基本不等式證明.

bca

【三年模擬】

解答題(共80分)

1.(2020屆四J11天府名校第一輪聯(lián)考,23)關于x的不等式1x+m|Wn的解集為[-6,2].

(1)求實數(shù)m,n的值；

(2)若實數(shù)y,z滿足|my+z|<|,|y-nz|<|,求證：|z|

解析（1）由Ix+m|Wn,得-nWx+mWn,即-n-mWxWn-ni,

-n-m=-6,

n-m=2,

⑵證明：由⑴可知I2y+z|<1,y-4z|<|,

所以9|z|=|(2y+z)-2(y-4z)|W|2y+z|+2|y-4z|<|+2x1=l,

所以⑶

2.(2020屆四川成都外國語學校10月階段性檢測,23)已知a^O,b^O,f(x)=|x+a|+|2x-b|.

(1)若a=0,b=2,求f(x)W2的解集;

(2)若f(x)的最小值為1,求仿+VF的最大值.

3x-2,x>1,

2-x,0<%<1,

(-3%+2,x<0,

(x>1,<x<

(3x-2<

故f(x)W2的解集為［O.*

(2)易知f(x)min=f(a)=a+『l,?'.2a+b—2.

_/5、2(2a+b=2,(a=-,

??.(VH+VF)J/-y+VF-l)(2a+b)(|+1)=3(柯西不等式)，當且僅當叵=業(yè)即｝時等號成

(、后—2'b=-

立，

VH+VF的最大值為V5.

3.(2020屆遼寧沈陽鐵路實驗中學10月月考,23)已知函數(shù)f(x)=|x-a|.

(1)若不等式f(x)W3的解集為{x|TWxW5},求實數(shù)a的值；

⑵在⑴的條件下,若存在xGR使得f(x)+f(x+5)Wm成立,求實數(shù)m的取值范圍.

解析本題考查根據(jù)絕對值不等式的解集求解參數(shù)值,存在性問題,考查學生的數(shù)學運算能力.

(1)由f(x)W3得|x-a|W3,即-3Wx-aW3,解得a-3WxWa+3,

又f(x)W3的解集為{x|-lWxW5},.?.卜T=I,解得a=2.

(2)當a=2時，f(x)=|x-21,

???f(x)+f(x+5)二|x-21+1x+312|(x-2)-(x+3)|二5(當且僅當-3WxW2時取等號),

?，.m25時,存在xeR,使得f(x)+f(x+5)Wm,

???111的取值范圍為[5,+8).

4.(2020屆云南名校適應性統(tǒng)考,23)已知a,b,c,d為正數(shù),且滿足abcd=l,證明:

(1)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)(16;

證明本題考查了不等式的證明,重點考查了基本不等式的應用,意在考查等價轉化思想和邏輯推理能力.

⑴因為a,b,c,d為正數(shù),所以a+b^2Vab,b+c22A/瓦,c+d22d+a22V^2(當且僅當a二b二c二d時等號同時

成立)，

所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)^2\TabX2yfbcX2y[cdX2Vad=16abcd.

又abcd=l,所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)216(當且僅當a=b=c=d時等號成立).

(2)因為abcd=l,fifrUZ—+—+—+-^-=(―+—+—+—>)abcd=cd+ad+ab+bc.

abbecdad\abbecdadj

又2(a2+b2+c2+d2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+d2)+(d2+a2)22ab+2bc+2cd+2da(當且僅當a=b=c=d時等號成立),

所以2(a+b2+c2+d2)》2(92+3+專),

即=+三+尚+七石22+。2+(12(當且僅當a二b二c二d時等號成立).

abbecdad

5.(2020屆河南洛陽尖子生第一次聯(lián)考,23)設函數(shù)f(x)=x-1x+21-|x-3|-m,若Vx￡R,\-4Nf(x)恒成立.

⑴求實數(shù)m的取值范圍;

(2)求證：log(m+i)(m+2)>log(m+2)(m+3).

解析⑴TVx￡R,-42f(x)恒成立，

恒成立.

:.m+—m